Thomas數(shù)組的再發(fā)現(xiàn)

【摘要】本文通過對Chaudhari-Deshpande數(shù)組和Thomas數(shù)組研究，提出了雙色數(shù)和完美雙色數(shù)的概念.

【關(guān)鍵詞】Thomas數(shù)組;雙色數(shù);完美雙色數(shù)

1996年印度數(shù)學(xué)家Chaudhari和Deshpande發(fā)現(xiàn)了一組具有奇妙特性的連續(xù)數(shù)956～968（Chaudhari-Deshpande數(shù)組），這組數(shù)的奇妙性在于：該組數(shù)中每個(gè)數(shù)的平方數(shù)，平均分拆成兩部分的分段和是一個(gè)完全平方數(shù)，并且這些完全平方數(shù)的算術(shù)平方根從43一個(gè)不漏地到31也是一組連續(xù)數(shù).

如，9562=913936913+936=1849=432.

美國數(shù)學(xué)家Thomas對此做了進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)另一組連續(xù)數(shù)9859～9900（Thomas數(shù)組）具有與Chaudhari-Deshpande數(shù)組完全相同的性質(zhì).

如，98842=97693456，9769+3456=13225=1152.

現(xiàn)在我們將Chaudhari-Deshpande數(shù)組和Thomas數(shù)組的平方數(shù)的性質(zhì)一般化，給出雙色數(shù)的概念.

定義1：如果一個(gè)k（k≥2）次方冪數(shù)，將其平均分拆成r部分的分段和也是一個(gè)k次方冪數(shù)，則稱其為k階r元雙色數(shù).特別地，當(dāng)r=k時(shí)，稱其為k階純雙色數(shù).

如，121=112，1+2+1=4=22，121是二階三元雙色數(shù);

7396=862，7+3+9+6=25=52，73+96=169=132，7396既是二階四元雙色數(shù)，又是二階純雙色數(shù);

35937=333，3+5+9+3+7=27=33，35937是三階五元雙色數(shù);

357911=713，35+79+11=125=53，357911是三階純雙色數(shù).

要在n位數(shù)中找一個(gè)雙色數(shù)是非常容易的事，因?yàn)?+0+…+0=1n，所以10n是一個(gè)n階（n+1）元雙色數(shù);或在36后面添加若干個(gè)0都可以得到大量的雙色數(shù)，這些10的倍數(shù)的雙色數(shù)只能算作平凡雙色數(shù).現(xiàn)在要問：在任意n位數(shù)中都存在非平凡雙色數(shù)嗎？

先看一下能否找到扎堆的雙色數(shù).

有趣的是，著名的楊輝三角中就有幾個(gè).

不難發(fā)現(xiàn)，Chaudhari-Deshpande數(shù)組956～968和Thomas數(shù)組9859～9900的平方數(shù)都是二階雙色數(shù).事實(shí)上，可找到批量“生產(chǎn)”偶數(shù)階雙色數(shù)的方法：n取足夠大的正整數(shù)，S在kk2×10n≤S

一、四階雙色數(shù)

n取不小于4的正整數(shù)，S在42×10n與43×10n之間取整數(shù)值，則（10n-S）4是四階雙色數(shù).

繼續(xù)對n取值，可得到更多的四階雙色數(shù).

二、六階雙色數(shù)

n取不小于8的正整數(shù)，S在63×10n與64×10n之間取整數(shù)值，則（10n-S）6是六階雙色數(shù).

n=9，S=39，38.9999999616，9999999626都是六階純雙色數(shù)，請讀者自己驗(yàn)證.

同樣，繼續(xù)對n取值，可得到更多的六階雙色數(shù).

要得到高于六階的偶數(shù)階雙色數(shù)，可將n取得足夠大，參照上述方法如法炮制.

下面我們再討論一類特殊的雙色數(shù).

如，7396=862，7396所有可能的平均分拆方法只有兩種，且每種分拆的分段和都是完全平方數(shù).

再看Thomas數(shù)組9859～9900中連續(xù)的兩個(gè)數(shù)9884、9885的平方數(shù)：

97693456、97713225所有可能的平均分拆方法只有三種，且每種分拆的分段和都是完全平方數(shù).

另外，99912029035741034256=999784，這個(gè)20位數(shù)的所有平均分拆方法只有5種：分成20段、10段、5段、4段、2段.而

不難發(fā)現(xiàn)20段、10段、5段、4段的分段和都是完全平方數(shù)，再看2段之和：

9991202903+5741034256=15732237159不是一個(gè)完全平方數(shù)，有點(diǎn)美中不足，可惜！

下面給出完美雙色數(shù)的概念：

定義2：一個(gè)n位（n為合數(shù)）k階非平凡雙色數(shù)所有平均分拆的分段和都是k次方冪數(shù)，稱這個(gè)數(shù)為完美雙色數(shù).

令人驚奇的是Thomas數(shù)組9859～9900中連續(xù)的兩個(gè)數(shù)9884、9885的平方數(shù)都是完美雙色數(shù).且三種不同平均分拆的分段和的平方根也是連續(xù)數(shù)，分別是114、115;15、16;6、7.

筆者目前找到的最小的完美雙色數(shù)是1521.萬以內(nèi)的完美雙色數(shù)一共有多少個(gè)？是否存在奇數(shù)階的完美雙色數(shù)？請讀者思考.

關(guān)于雙色數(shù)，筆者提出以下問題，供讀者思考：

（1）證明或否定任意位數(shù)中都存在非平凡雙色數(shù);

（2）證明或否定完美雙色數(shù)有無窮多個(gè);

（3）證明或否定存在任意階的非平凡雙色數(shù).

【參考文獻(xiàn)】

[1]俞潤汝.Chaudhari-Deshpande數(shù)組的廣義解[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006（2）：53-54.

[2]鄭成生.雙色完全平方數(shù)的構(gòu)造[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，1997（9）：39-40.