“向量法解決直線與平面所成角問題”的教學(xué)與思考

李琳

立體幾何模塊是高中階段學(xué)習(xí)的重點，學(xué)生在《數(shù)學(xué)必修2》的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，結(jié)合空間向量又在選修2-1中補充學(xué)習(xí)，這不是簡單的重復(fù)學(xué)習(xí)，而是從新的視角對空間圖形的位置關(guān)系與度量問題進(jìn)行學(xué)習(xí)，而且為解決立體幾何中某些用綜合法解題時技巧性較大、隨機性較強的問題提供了一些通法，從而進(jìn)一步提升學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力.教師在教學(xué)過程中如何做到既注重基礎(chǔ)知識的教學(xué)，又能拓展學(xué)生的思維進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生能力的目的？下面筆者以“向量法解決直線與平面所成角問題”的教學(xué)為例展開論述.

一、教學(xué)設(shè)計

（一）課前導(dǎo)入有的放矢

由于本節(jié)課不是概念課，也不是新授課，師生已經(jīng)對教材（人教A版選修2-1）《立體幾何中的向量方法》進(jìn)行了學(xué)習(xí)，對空間向量這個工具的使用有了一定的基礎(chǔ)和認(rèn)識，所以筆者設(shè)計了以下三道小題給學(xué)生課前完成：

1.已知空間向量a=（1，1，0），b=（x，-1，1），若〈a，b〉=π3，則x=（）.

A.0或4

B.0

C.4

D.1

2.已知A（3，-1，4），B（2，1，3），若AP=λAB，則P點的坐標(biāo)是（）.

A.（3-λ，2λ-1，4-λ）

B.（λ，λ-1，2λ）

C.（λ，2λ，2-λ）

D.（3λ，2-λ，λ，）

3.如圖1所示，在棱長為4的正方體中，點P在B′C′上，且C′P=14C′B′，則直線PA與平面ABCD所成角的余弦值為.

圖1

習(xí)題1的設(shè)計是檢測學(xué)生向量夾角公式的掌握情況，結(jié)果絕大部分學(xué)生錯選成了A，究其原因是學(xué)生忽視了向量夾角的范圍，未注意到在計算過程中對方程兩邊平方會擴大變量的范圍.如果學(xué)生在求解過程中列出了式子：12=x-12x2+2，注意到向量夾角為銳角時其數(shù)量積為正數(shù)，就可得出x>1，可以選出正確答案C;習(xí)題2的設(shè)計是為后面例題1的變式做鋪墊的，檢測的知識點是向量共線的應(yīng)用，答題效果比較好.習(xí)題3的設(shè)計是借助一個正方體求直線與平面所成角的余弦值，這里有兩個設(shè)計意圖：其一是此題用向量法和綜合法都很容易入手，學(xué)生可以自由選擇方法，其二是題目求的是直線與平面所成角的余弦值，若學(xué)生用向量法解題的話這里是個易錯點，不少學(xué)生對向量法求出的值到底是正弦值還是余弦值還有些混淆.因此，本節(jié)課的課前導(dǎo)入就是通過習(xí)題幫助學(xué)生查缺補漏，并圍繞本節(jié)課的教學(xué)重點進(jìn)行歸納小結(jié)，讓學(xué)生明晰知識點、明確考點，學(xué)習(xí)過程中做到心中有數(shù).

（二）課中題型精選典型

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué)，解題教學(xué)的首要工作就是精選例題.高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多的是通過培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，達(dá)到提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力的目的，因此，教師選取的例題需有基礎(chǔ)性、典型性和示范性的特征.筆者選取了如下題作為課堂例題：

例1 如圖2所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為PC的中點，PA=AC=4，BC=2.E為AD的中點，求PE與平面ADB所成角的正弦值.

圖2

用向量法求直線與平面所成角本身難度不大，學(xué)生的難點主要集中在建立空間直角坐標(biāo)系和找空間點的坐標(biāo)這兩項.筆者選取的這道例題無論是建系還是找點的坐標(biāo)學(xué)生都很容易入手，題目比較基礎(chǔ)，解答方法也有典型示范的功能.設(shè)計意圖是強化用向量法求直線與平面所成角的“三步曲”：化為向量問題——進(jìn)行向量運算——回到圖形問題.第一步是向?qū)W生滲透化歸與轉(zhuǎn)化的思想，第二步考查學(xué)生的運算能力和綜合能力，第三步強化學(xué)生對知識的理解和掌握.為了拓展學(xué)生的思維，例題講完后筆者設(shè)計了一道探究題：你還有哪些方法得出E點的坐標(biāo)？由于學(xué)生最容易想到直接求E點坐標(biāo)，所以容易想到的方法有：用中點坐標(biāo)公式求的;先找E點在底面投影再求E點坐標(biāo)的;這時筆者提示學(xué)生：根據(jù)A，E，D三點共線及課前演練的第二小題，你有什么啟發(fā)嗎？有些學(xué)生馬上領(lǐng)悟到可用向量共線設(shè)AE=λAD，直接求出E點坐標(biāo)進(jìn)而求PE的坐標(biāo)形式;又有學(xué)生提出可由PE=PA+λPC直接表示出PE的坐標(biāo).接下來筆者向?qū)W生提問：這些方法中各有何優(yōu)缺點？我們在日后的學(xué)習(xí)和解題過程中如何快速選取更優(yōu)的方法？經(jīng)過學(xué)生的思考和探討，學(xué)生明白了：1.當(dāng)且僅當(dāng)點E為中點時方可用中點坐標(biāo)公式得出E點坐標(biāo);2.當(dāng)點E在xOy平面上的投影位置比較特殊（如在坐標(biāo)軸上等）時可以用投影法求點E的坐標(biāo);3.建立坐標(biāo)系的方式與求點E坐標(biāo)的難度有關(guān)，比如，以A為原點比以C為原點更好求點E的坐標(biāo);4.無論點E在線段（或直線）AD上什么位置，都可用向量共線法求其坐標(biāo)，且計算難度與E點位置沒有明顯關(guān)系.經(jīng)過這樣一番思考與討論，筆者馬上引導(dǎo)學(xué)生解例題1的變式和練習(xí)題：

變式 在上述例題中，線段AD上是否存在一點M，使得直線PM與平面ADB所成角的正弦值為66？若存在，請求出M點坐標(biāo)，若不存在請說明理由.

練習(xí) 如圖3所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=135°，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E為BC的中點，點M在線段PD上.如果直線ME與平面PBC所成角和直線ME與平面ABCD所成角相等，求PMPD的值.

圖3

（三）課后練習(xí)方向明確

練習(xí) 1.（2013全國高考）如圖4所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.（1）證明：AB⊥A1C;（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的余弦值.

圖4

2.如圖5所示，ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M，N分別是PC，AB中點，（1）求證：MN⊥平面PCD;（2）求NM與平面ABCD所成的角的大小.

圖5

圍繞本節(jié)課的教學(xué)重點筆者設(shè)計了兩道解答題作為課后練習(xí).兩道練習(xí)題難度均不大，其中第1題是2013年的全國高考題，學(xué)生掌握了用向量求線面角的方法就可以建立空間直角坐標(biāo)系解答，大部分學(xué)生采用了此法，另外也讓學(xué)生了解了這個知識點在高考中的重要性和考試的難易程度.第2題兩種常用的解法向量法和綜合法都容易入手.

由于本節(jié)課的重點是向量法解決直線與平面所成角問題，通過已有的學(xué)習(xí)學(xué)生對向量法解決立體幾何問題有了一些基本的認(rèn)識和方法，再加上前面有例題1和探究思考的鋪墊，所以變式和習(xí)題都能解答出來，最后師生共同小結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容和重難點問題.

二、教學(xué)思考

（一）例題、習(xí)題選取要有目的性和典型性.

由于高中數(shù)學(xué)知識點多、又有一定的抽象性、綜合性和難度，再加上高中生的學(xué)習(xí)任務(wù)又重，這就要求教師在備課時對例題和習(xí)題要精心選取，圍繞本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)內(nèi)容在教材中的地位和知識體系中的作用以及學(xué)生的學(xué)習(xí)情況等諸多因素有目的地選取一些典型的題目.一題多解和一題多變可以實現(xiàn)這一目標(biāo).比如，前面教學(xué)設(shè)計中選取的例題，結(jié)合馬上要處理的二面角問題可以變?yōu)椋壕€段AD上是否存在一點M，使得平面PMB與平面ADB所成角的余弦值為66？若存在請求出M點坐標(biāo)，若不存在請說明理由.有了前面求線面角的鋪墊，學(xué)生很快能找出解題思路和方法.

（二）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是數(shù)學(xué)知識的“再發(fā)現(xiàn)”過程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個知識的“發(fā)現(xiàn)”過程.知識的“再發(fā)現(xiàn)”是從觀察、分析和概括具體事例開始的.由于認(rèn)知水平的限制，學(xué)生不可能獨立地完成“再發(fā)現(xiàn)”過程，而必須通過教師的啟發(fā)引導(dǎo).因此，在本節(jié)課的教學(xué)中筆者設(shè)計了一個思考題：你是怎么求點E的坐標(biāo)的？還有其他方法嗎？讓學(xué)生通過對點E的位置和不同建系的方式的觀察，去分析和思考有哪些途徑和方法可以找出E點的坐標(biāo)，最后對各種方法進(jìn)行比較歸納，概括出具體的結(jié)論.從而為“再發(fā)現(xiàn)”創(chuàng)造條件.以后學(xué)生再遇到找空間點的坐標(biāo)時就有了“捷徑”可走，可以降低解題難度，也可以減少解題過程中的彎路.

另外在實施教學(xué)過程中，教師講完例題后總結(jié)用向量法的“三步曲”：化為向量問題——進(jìn)行向量運算——回到圖形問題，實際是讓學(xué)生經(jīng)歷從具體事例中概括出數(shù)學(xué)理論，完成從具體到抽象的過程，再通過變式和習(xí)題的練習(xí)實現(xiàn)從抽象到具體，從而達(dá)到鞏固所學(xué)知識的目的.具體——抽象——具體是數(shù)學(xué)教學(xué)的顯著特點，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本形式.