挖掘立體幾何教學(xué)資源，培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯推理能力

范永明

隨著教育改革的不斷推進(jìn)，教師對學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)也愈發(fā)重視起來，并利用課堂的教學(xué)資源，培養(yǎng)學(xué)生的相關(guān)素養(yǎng)，適應(yīng)社會的快速發(fā)展.對高中數(shù)學(xué)而言，其學(xué)科核心素養(yǎng)有六個(gè)主要方面，它們在數(shù)學(xué)與生活中都有深刻的意義.以邏輯推理能力的培養(yǎng)為例，教師可以挖掘立體幾何教學(xué)資源，通過變式練習(xí)、多元轉(zhuǎn)化、循序漸進(jìn)等方式，有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力.

一、變式練習(xí)，指導(dǎo)歸納與類比

數(shù)學(xué)問題是無窮無盡的，但大多有其規(guī)律性，有的是特殊的情況可以推廣為一般的情況，有的則是特殊的情況可以推導(dǎo)出另一個(gè)特殊的情況.這兩種推導(dǎo)被稱為“歸納”與“類比”.教師在變式練習(xí)中指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納與類比，能夠提高教學(xué)效率.

比如，在教學(xué)“推理與證明”這一單元時(shí)，筆者利用幾何教學(xué)資源，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)歸納與類比這兩種合情推理的方法.立體幾何圖形具有點(diǎn)、線、面這三個(gè)結(jié)構(gòu)元素，那么它們之間是否滿足一定的數(shù)量關(guān)系呢？筆者讓學(xué)生對這一關(guān)系進(jìn)行探究.學(xué)生探究后發(fā)現(xiàn)它們的和差關(guān)系存在規(guī)律并做出了歸納推理，即對立體幾何而言，面數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)=2.然后，筆者指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了類比推理并提問，“幾何圖形有二維和三維之分，但同屬于圖形的平面與立體幾何是否在結(jié)構(gòu)上可以進(jìn)行一定的類比呢？”學(xué)生思考并回答，“平面的點(diǎn)可以與空間的線類比，線段長度可以與面的面積類比，整個(gè)面積可以和整個(gè)體積類比.”“總結(jié)得很好！下面來練習(xí)一下，直角三角形滿足勾股定理，在立體幾何中是否可以找出類似的結(jié)論呢？”學(xué)生回答道，“直角三角形可以類比成直四面體，將兩條直角邊的平方和與三個(gè)直角三角形的面積的平方和類比，斜邊的平方與斜面面積的平方類比，即可得到.”

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，在平常的教學(xué)實(shí)踐中，潛移默化地滲透對學(xué)生思維能力的培養(yǎng).為此，開展變式訓(xùn)練，在訓(xùn)練中強(qiáng)化歸納與總結(jié)可以收到明顯的效果.從上面的例子可以看出，在變式練習(xí)的過程中，學(xué)生可以通過歸納與類比，對思維進(jìn)行訓(xùn)練，邏輯推理能力得到了培養(yǎng)與提高.

二、多元轉(zhuǎn)化，嘗試演繹與證明

證明題是高考中必考的題型之一，而演繹與證明也是邏輯推理能力的重要組成部分之一，因此，對這一邏輯推理能力的培養(yǎng)是一舉多得的.證明的方式有很多，但不是每一種都是能夠簡單高效地證明出結(jié)論的，重要的是合理利用條件，進(jìn)行多元轉(zhuǎn)化.

比如，在教學(xué)“空間中的平行關(guān)系”這一節(jié)時(shí)，筆者為學(xué)生講解了平行關(guān)系這一個(gè)在幾何學(xué)習(xí)中非常重要的概念，而證明是否平行通常是通過線與面的轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明.在這一節(jié)中有幾個(gè)十分常用的定理及其推論，都可以用來證明是否平行.縱觀這些定理，學(xué)生發(fā)現(xiàn)面與面的平行最終都轉(zhuǎn)化成了線與面或線與線的平行，而線與線的平行則是學(xué)生十分熟悉的內(nèi)容.在講解完教學(xué)內(nèi)容后，筆者為學(xué)生布置了一道練習(xí)題，“面θ與面μ都與面γ平行，求證面θ與面μ平行.”學(xué)生做出了一個(gè)輔助平面，并假設(shè)與平面θ，μ，γ分別相交于L1，L2，L3，即可以得到結(jié)論L1∥L3，L2∥L3，推出L1∥L2∥L3，再做該輔助面的相交面，并與另外三個(gè)面相交于L4，L5，L6，即可得到L4∥L6，L5∥L6，推出L4∥L5∥L6，而且L1，L2，L3與L4，L5，L6分別相交，所以可以證明面θ平行于面μ.

通過多元轉(zhuǎn)化，題目中的每個(gè)條件都可以得到充分高效的利用，更好地為證明過程服務(wù)，使整個(gè)過程更加高效簡單.從上面的例子也可以看出，基礎(chǔ)定理的熟練掌握對多元轉(zhuǎn)化來說是很重要的，對升華學(xué)生的邏輯推理能力能夠起到顯著的效果.

三、循序漸進(jìn)，學(xué)會反思與建構(gòu)

學(xué)習(xí)的過程都是由簡單到復(fù)雜的，邏輯推理能力的培養(yǎng)也不是一蹴而就的.因此，教師要注意循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，使學(xué)生學(xué)會反思與建構(gòu)，對自己的思維結(jié)果等進(jìn)行反思、再次認(rèn)識，進(jìn)而建構(gòu)起更加正確的觀點(diǎn).

比如，在教學(xué)“點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系”這一單元時(shí)，筆者就注重循序漸進(jìn)，從平面到空間，從點(diǎn)到線再到面，鼓勵(lì)學(xué)生對公理、定理的推論進(jìn)行反思，建構(gòu)出更加正確的推論.學(xué)生知道如果兩條直線都與另一條直線相對垂直，那么兩條直線平行.那么是否可以做推論：如果兩條直線都相對另一條直線平行，那么兩條直線垂直嗎？顯然不能，結(jié)論應(yīng)為兩條直線平行，這是在前面就學(xué)習(xí)過的.那如果把這一定理推廣至三維層面，即如果平面θ和平面μ都垂直于平面γ，則平面θ∥平面μ，是否正確呢？學(xué)生反思后很快就能舉出反例來，墻角就是三個(gè)平面互相垂直的幾何形狀，顯然上述結(jié)論不成立，從而說明了這一結(jié)論的錯(cuò)誤.但是如果平面θ和面μ都平行于面γ，那么面θ∥面μ這一結(jié)論成立，即直線平行的傳遞性可以推廣為平面平行的傳遞性，從而建構(gòu)起了這一個(gè)新的認(rèn)識.

人都是在發(fā)展的，思維的形成也是一個(gè)不斷修正的過程.循序漸進(jìn)，對思維結(jié)果等進(jìn)行及時(shí)的反思與再認(rèn)識，總結(jié)并建立起新的認(rèn)識與觀點(diǎn)，學(xué)生的思維將會更加成熟，邏輯推理能力也會得到極大提升，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都會自然得以發(fā)展.

總而言之，立體幾何具有點(diǎn)、線、面等豐富結(jié)構(gòu)以及大量的定理和公理，通過挖掘立體幾何教學(xué)資源，教師可以有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力.變式練習(xí)，使學(xué)生充分練習(xí)歸納與類比;多元轉(zhuǎn)化，使學(xué)生巧妙進(jìn)行演繹與證明;循序漸進(jìn)，使學(xué)生及時(shí)總結(jié)反思與建構(gòu)，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力大大提升，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得以培養(yǎng).