我們?yōu)楹芜x擇了“最糟糕的”十進制

苑津山

【摘要】人類對數(shù)的表示經(jīng)歷了漫長的過程，其中最值得探討的便是人類為何選擇了“十進制”.本文從柏拉圖的理性直觀與康德的感性經(jīng)驗直觀出發(fā)，分析兩人的數(shù)學哲學對人類選擇進制的影響，認為柏拉圖的理性直觀是用理性的思維告訴人們選擇最優(yōu)進制;而十個手指確定十進制以及人類最終選擇了十進制則可以用康德的感性經(jīng)驗直觀來解釋.

【關(guān)鍵詞】進制;數(shù)學哲學;直觀

【基金項目】中央高校青年教師科研發(fā)展基金（項目編號：2412019FZ032）.

一、關(guān)于數(shù)的表示的分析邏輯

對數(shù)的表示，我們首先要明晰一個邏輯：數(shù)，來源于對數(shù)量本質(zhì)的抽象.這個抽象過程經(jīng)歷了計數(shù)和符號兩個階段.計數(shù)的發(fā)展很容易理解.遠古時期，居住在巖洞里的原始人便有了對數(shù)的概念.在為數(shù)不多的事物中，如食物，他們能分辨出多與少，因為對食物的需要就來自人類的生存本能.逐漸地，人類就有了清晰的數(shù)的概念：1，2，3，…例如，部落的首領(lǐng)需要知道在他手下有多少人，放牧之人也需要知道他擁有多少只羊.最初的數(shù)字符號經(jīng)歷了20代表20只羊，20頭牛的具體含義，后來20表示兩個十，對這一階段，有學者稱其為準數(shù)字符號系統(tǒng)，它不利于運算，也不完備.

而當人們需要運用更深入的數(shù)字交流時，就必須將數(shù)的表示方法系統(tǒng)化.世界各地的部落或族群不約而同地采用了這種方法：把從1開始的若干連續(xù)的數(shù)字作為基本數(shù)字，用它們的組合來表示大于這些數(shù)字的數(shù).換言之，如果大于1的某個數(shù)b作為計數(shù)的基或進位制，同時確定出數(shù)目1，2，3，…，b的名稱，則任何大于b的數(shù)均可以用b個數(shù)的一個組合來表示.對以上內(nèi)容主要是一種社會歷史變遷的客觀事實，而對數(shù)的表示的最終體系化：進制的確立統(tǒng)一卻是一個漫長的過程，在歷史長河中人最終選擇哪一進制的問題上，依據(jù)柏拉圖的理性直觀和康德的感性經(jīng)驗直觀會有不同的解釋.

二、柏拉圖和康德的兩種數(shù)學直觀辨析

從柏拉圖和康德的數(shù)學哲學觀可以看到，他們都不否認數(shù)學在本質(zhì)上是需要直觀的，但是他們說的直觀是不同的.在康德看來，數(shù)學需要的直觀是純直觀，那什么是純直觀呢？康德曾說：“一般感性直觀的純粹形式將會先天地在內(nèi)心中被找到，在這種純粹形式中，現(xiàn)象的一切通過其中關(guān)系而得到直觀.”而柏拉圖的直觀卻是一種類似“心眼的直觀”，直觀者比方說是人，直觀的對象是“理性”，那它是不依賴于人地存在于柏拉圖的理性世界里的.

因此，奉行柏拉圖理性直觀的人并不需要“一般的感性直觀”也不需要把他們的“直觀”限制在“一般感性直觀的純粹形式”上，柏拉圖理性直觀的“直觀”在康德那里是屬于執(zhí)性直觀的，但康德并不否認這種直觀，他只是說人尚不具備這種直觀.“直觀”對柏拉圖來說，只是通向他認為的“理想王國”的一種途徑.即使，這種途徑對想通向“理想王國”的人類來說是不可或缺的.

康德認為的“純直觀”是可以在“內(nèi)心”中先天地被找到的，那么如果說數(shù)學是建立在“純直觀”上的，則數(shù)學就有了很強的主觀建構(gòu)味道.不過康德強調(diào)它不是因人而異的，對人來說，它是必然的和普遍的.康德的“數(shù)學客觀性”是一種“主體間的必然性”，而這一點與柏拉圖是很不相同的，對柏拉圖來說，“數(shù)學的客觀性”來源于客觀的、不依賴人的“理想王國”.柏拉圖理性直觀的客觀性并不僅僅是主體間的客觀性，它包含著更強意義上的客觀性.

三、以柏拉圖理性直觀探析人類選擇

筆者認為有些學者提出的柏拉圖理性主義下的十根手指頭確立十進制的說法有些欠妥，在古代，原始人出門很少不帶武器的，遇到要計數(shù)的時候，以右手持武器，左手計數(shù)，由此演變出來了五進制.此外還有些部落手腳并用衍生了二十進制，這顯然是一種對某一部落或地區(qū)根據(jù)其主體主觀上的生活經(jīng)驗，感性認識而來的進制系統(tǒng)，這其實是康德感性經(jīng)驗對進制由來觀點的一部分.

站在柏拉圖的理性直觀上考慮，如果讓一些理性學家來重新選擇進制的話，我們或許會看到在實用家和數(shù)學家之間的爭論.實用家堅持要用有最多因數(shù)的數(shù)，如八、十六之類為基底;而數(shù)學家則會用質(zhì)數(shù)，如二進制或五進制.

18世紀末的博物學家畢封就曾提議舉世使用十二進制.他指出：十二有四個除數(shù)，但十卻只有兩個，他認為，正是因為我們的十進制，長久以來，都感到極為不便，所以雖然十是世界公用的基底，但在生活中大多數(shù)的度量衡中，都有著以十二為基底的輔助單位.數(shù)學家拉格朗日從另一方面，認為：用質(zhì)數(shù)作基底有極大的好處.他認為：用質(zhì)數(shù)基底，每個整分數(shù)就不能被化簡，所以表示該數(shù)的方法有且只有一種.在我們現(xiàn)在的命數(shù)法中，譬如小數(shù)0.18，實際則代表著很多個分數(shù)：9/50，18/100，….如果用十一等質(zhì)數(shù)作為基底，這種不明之處就會大大減少了.

因此，運用柏拉圖的理性直觀，我們不管決定采用質(zhì)數(shù)還是合數(shù)作基底確立進制，我們敢肯定，十甚至是根本不會被考慮的，因為它既非質(zhì)數(shù)，又不含足夠多的因數(shù).相信如果在柏拉圖生活的時代十進制還沒有在古希臘普及，那么柏拉圖或許會以他的理性直觀的視角選擇一個別的進制.

四、以康德的感性經(jīng)驗直觀探析人類選擇

筆者認為的是，康德的感性經(jīng)驗對數(shù)的表示理解有兩層含義.第一，不同部落的人依據(jù)使用工具的不同程度，解放了一只手、兩只手或手與腳進而產(chǎn)生三種進制，具體選擇何種進制這是由某一地區(qū)人的生產(chǎn)生活經(jīng)驗決定的.第二，在人類歷史長河中，澳洲昆士蘭州原住民的2進制、南美部落的5進制、1英鎊為12盎司的金衡制、瑪雅文明中的20進制、古巴比倫人的60進制等等在不同地區(qū)不同歷史時期出現(xiàn)了不同的進制.可是人們最終接受了十進制，根據(jù)康德的感性經(jīng)驗直觀可以得出的是一個歷史演進與選擇的結(jié)果，古希臘的數(shù)學曾輝煌一時，十進制得以廣泛普及，再后來歐洲進一步強大，由歐洲展開的近代以來的對全球的各層面的文化傳播與侵略決定了一種數(shù)學進制的統(tǒng)一.

我們可以根據(jù)計算機鍵盤的最終統(tǒng)一與普及來論證一種進制何以最終確立.現(xiàn)在人類常用QWER鍵盤，可它最初出現(xiàn)，竟然是為了降低打字速度！因為在當時打字機技術(shù)很不成熟，某些鍵的組合很容易出現(xiàn)卡鍵的問題，于是Sholes發(fā)明了QWER鍵盤布局，他將最常用的幾個字母安置在相反方向，最大限度放慢敲鍵速度以避免卡鍵.后來一系列高速度鍵盤均有人提出，可是這些后世的發(fā)明者仿佛跟拉格朗日要求世界改變十進制的情況一樣，沒人理睬，直至今天依然采用著如此“糟糕”的鍵盤.根據(jù)康德的經(jīng)驗直觀分析如果歷史倒退，那么何種鍵盤迅速擴張至全球，那么就應該是何種鍵盤至今仍在使用.同樣，進制也是這個道理，歷史選擇了在某一地區(qū)數(shù)學最輝煌的時期向世界普及了十進制，按照康德的感性經(jīng)驗直觀，人們就用巨大的慣性保持著這種生產(chǎn)生活方式.

五、結(jié) 論

在人類進制選擇的問題上，我們可以看到康德的感性經(jīng)驗直觀可以很好地解釋人類為何選擇十進制，以及在歷史演進的角度確立的一種文化得以傳播主要得益于該種文化輝煌繁榮并迅速擴張至全球所致，而柏拉圖的理性直觀往往在多數(shù)事物的全球化統(tǒng)一上是不受歡迎的，即便新的東西可能不像舊的東西如此“糟糕”，可人類總是在某些生產(chǎn)生活方式上保持著巨大慣性，因此，十進制一直保留到了今天.

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