一類特殊數(shù)列前n項和的求法探究

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解決非等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和問題，主要有兩種思想：(1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列。(2)不能轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，往往通過裂項、并項、錯位相減、倒序相加等方法。由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)相乘得到的數(shù)列，我們常用錯位相減法來進(jìn)行求前n項和，但這一重要方法運算過程復(fù)雜且運算量大。就這一題型，下面介紹另外三種解法。

一、構(gòu)造等比數(shù)列法

若數(shù)列{an}的通項公式為=bn-bn-1(q≠1)，則數(shù)列{qnbn+An+B}是一個公比為q的等比數(shù)列。

例1求數(shù)列的前n項和。

解：此問題可以轉(zhuǎn)化為：已知b1=1，bn-，求bn。由得A=1，B=2。所以數(shù)列{3nbn+n+2}是一個首項為6，公比為3的等比數(shù)列。所以3nbn+n+2=6×3n-1。所以

二、裂項相消法

若數(shù)列{an}的通項公式為(q≠1)，則將an作如下裂項，其中

例2求數(shù)列的前n項和。

解：因為所以的前n項和

三、公式法

若數(shù)列{an}的通項公式為(q≠1)，則其中

上述公式的推導(dǎo)：由裂項相消法知an=所以Sn其中

例3求數(shù)列的前n項和。

解：因為，所以a=所以A=1，A+B=2，所以

上述三種方法蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想與方法，并且相對于我們常用的錯位相減法來說運算量大大地減少了，為我們解決這類數(shù)列求和問題提供了更加簡便的有效途徑。