帶有漸近條件奇異微分方程的有界解

趙 進

(河海大學 理學院,南京 210098;揚州工業(yè)職業(yè)技術學院 基礎科學部，江蘇 揚州 225100)

0 引 言

考慮如下二階奇異微分方程:

x″=f(t,x)+e(t),t≥t0∈,

(1)

(2)

在物理學上更有意義,其中φ0>0是正常數(shù).

Constantin等[1]利用流函數(shù)的形式建立了海洋環(huán)流運動的數(shù)學模型,并將其轉化為如下一個半線性橢圓方程進行了研究:

(3)

Chu[2-4]借助文獻[1]導出的模型,運用鏡像對稱變換和指數(shù)變換,將方程(3)轉化為如下二階常微分方程:

(4)

以及漸近條件

(5)

并對渦度函數(shù)F在常數(shù)、Lipschitz連續(xù)、一般非線性連續(xù)的情形下進行了系統(tǒng)研究.此外,關于奇異微分方程有界解的存在性研究也引起廣泛關注,其中包括奇異周期問題[5-7]、奇異Dirichlet問題[8-9]等.常用的方法包括上下解、度理論和不動點定理.但目前已有的結果邊界條件大部分是周期邊界條件或其他分離邊界條件.本文主要考慮方程(4)的一般形式,并從物理學的角度增加相應的漸近條件(2),根據(jù)Schauder不動點定理證明方程(1)-(2)有界解的存在性.

1 預備知識

為了能運用Schauder不動點定理,先把方程(1)-(2)轉化成其等價的積分方程.事實上,若x(t)是方程(1)-(2)的解,則可得

(6)

此外,

其中需要假設條件

(7)

若滿足式(6)的第二個條件,則對于任意的t∈[t0,+∞),可得

(8)

本文用Schauder不動點定理[10]證明積分方程(6)至少存在一個正的有界解.

2 主要結果

(9)

其中對于所有的t∈[t0,+∞),均有a(t),b(t),c(t)>0,且α,β>0.對于每個φ0>0,均存在T0≥t0,使得積分方程(6)至少有一個正的有界連續(xù)解x: [T0,∞)→,且滿足

證明：設所有有界函數(shù)x∈C([T0,∞),)組成的集合為Banach空間X,定義

X1={x∈C([T0,∞),

(10)

這里

Ω={x∈X1: 0

其中r=φ0>0.

根據(jù)

可以證明算子T:Ω→X.此外,由

(11)

下面將應用Schauder不動點定理證明算子T在非空有界閉凸集Ω中至少有一個不動點,證明過程分三步.

1) 首先證明T(Ω)?Ω.對于每個x∈Ω和t≥T0,由于f和e都是非負的,可得(Tx)(t)≥φ0=r>0.根據(jù)不等式(11),有

因此,對于所有的t≥T0,有r≤(Tx)(t)≤R,從而算子T:Ω→Ω是可以定義的.

2) 證明T(Ω)在X中是相對緊的.根據(jù)Arzela-Ascoli定理,需證明T(Ω)是一致有界、等度連續(xù)和等度收斂的.令{xn}是Ω中一組任意的數(shù)列.

① 證明{Txn}在X中是一致有界的.顯然,對于所有的t≥T0,有

② 證明{Txn}在X中是等度連續(xù)的.將算子(10)兩邊對t同時求導,可得

(12)

根據(jù)式(11),(12),對于所有的t≥T0,有

因此,對于所有的x∈Ω,有

|(Tx)′(t)|≤M,t≥T0,

其中

若{xn}是Ω中一組任意的數(shù)列,則

|(Txn)′(t)|≤M,t≥T0,n≥1.

應用中值定理,有

|(Txn)(t1)-(Txn)(t2)|≤M|t1-t2|,t1,t2≥T0,n≥1,

從而{Txn}在X中是等度連續(xù)的.

③ 證明{Txn}在X中是等度收斂的.根據(jù)

可得

即對于每個ε>0,均存在Tε>T0,使得

|(Txn)(t)-φ0|≤ε,t≥Tε,n≥1.

從而{Txn}在X中是等度收斂的.

3) 證明算子T:Ω→Ω是連續(xù)的.對一個給定的正常數(shù)ε,均存在T*≥T0,使得

由于f: [t0,T*]×[r,R]→是一致連續(xù)的,故存在一個正常數(shù)δ,使得對任意的x,y∈[r,R],且滿足|x-y|<δ,均有

因此,對所有的x1,x2∈Ω且‖x1-x2‖<δ,有

由不等式

可得‖Tx1(t)-Tx2(t)‖<ε.所以算子T:Ω→Ω是連續(xù)的.

綜上,算子T:Ω→Ω滿足了Schauder不動點定理的所有假設條件.這里存在x∈Ω,使得T(x)=x,從而證明了積分方程(6)至少有一個邊界解x: [t0,∞)→,且滿足

由定理1可得：

推論1若方程(1)的非線性項滿足

例1考慮如下奇異微分方程:

(13)

證明：通過計算易得

由于

于是,有

通過計算可得方程(13)解的形式,即

顯然,對于t≥t0,均有x(t)>φ0.另一方面,由于

(責任編輯：李 琦，趙立芹)