D-S證據(jù)理論改進(jìn)算法對比研究

徐孫慶

（92493部隊60分隊，葫蘆島 125000）

0 引言

證據(jù)理論最早是由美國的數(shù)學(xué)教授Dempster A P于1967年提出來的，在他研究多值映射問題時，最早給出了上限概率以及下限概率的定義[1]。Shafer[2]對這一理論進(jìn)行了深入的拓展研究，并將基本概率分配函數(shù)引進(jìn)進(jìn)一步發(fā)展，形成了一套完整的理論體系。1981年，人工智能專家Barnett[3]將這一理論正式引進(jìn)了人工智能領(lǐng)域，并建議將這一理論定名為DS證據(jù)理論，此后證據(jù)理論迅速發(fā)展，在各領(lǐng)域的研究開花結(jié)果，文獻(xiàn)成果眾多，并且已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于圖像處理、模式識別、故障診斷、風(fēng)險評估、技術(shù)狀態(tài)評估等相關(guān)領(lǐng)域。

盡管目前的研究如火如荼的展開著，但仍存在一些問題亟需解決。特別是對沖突證據(jù)進(jìn)行合成時，D-S證據(jù)理論并不能很好地對其進(jìn)行合成，甚至?xí)a(chǎn)生反直覺的結(jié)果。Zadeh[4]最早發(fā)文指出，這種情況是由于合成規(guī)則的固有不足造成的。查閱相關(guān)的文獻(xiàn)可知，目前大多數(shù)文獻(xiàn)對沖突證據(jù)融合的研究成果、改進(jìn)方法主要可以歸納為兩個方面：一方面是對合成規(guī)則進(jìn)行改進(jìn)。在這類方法中，較為經(jīng)典的是Yager[5]提出的將沖突分配給空集。另一方面是在證據(jù)融合前對證據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，修改證據(jù)源模型。Murphy[6]提出的修改模型是較為經(jīng)典的加權(quán)平均法，通過對證據(jù)進(jìn)行簡單的加權(quán)處理進(jìn)而達(dá)到改善沖突證據(jù)融合結(jié)果精確性的目的。

不同方法有著不同的優(yōu)缺點。有些方法可能對高沖突證據(jù)的融合效果較好，但對差異性較小的證據(jù)的合成可能效果不好；有些方法可能會有較快的收斂速度和較高的可靠性，但可能公式更復(fù)雜，計算量更大。目前沒有一個解決方法能夠被廣泛的接受。因此，本文主要對沖突證據(jù)合成的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了介紹，對兩種典型的改進(jìn)算法進(jìn)行對比研究，并運(yùn)用算例對不同方法的合成效果進(jìn)行了驗證。本文的結(jié)論能夠為后續(xù)改進(jìn)算法研究提供借鑒。

1 D-S證據(jù)理論及其不足

本節(jié)主要介紹證據(jù)理論的基本概念，以及在處理證據(jù)沖突時存在的不足。

1.1 基本概念

定義1-1：假設(shè)在識別框架中，若集函數(shù)m：2Θ→[0，1]表示從集合2Θ映射到區(qū)間[0，1]（2Θ為Θ的冪集），并且滿足以下條件：

則稱m為識別框架Θ上的基本信任分配函數(shù)。

定義 1-2：假設(shè)在識別框架 Θ 中，m：2Θ→[0，1]是識別框架Θ上的基本信任分配函數(shù)，則由公式（3）定義的函數(shù)Bel：2Θ→[0，1]稱作識別框架Θ上的信度函數(shù).

假設(shè)E1，E2分別是識別框架下的兩個證據(jù)，Bel1，Bel2是同一識別框架上的兩個信任函數(shù)，m1、m2分別是兩個證據(jù)所對應(yīng)的基本信任分配函數(shù)，焦元分別為 A1，…，Ak和 B1，…，Bj，若：

那么D-S證據(jù)理論的合成規(guī)則為：

1.2 D-S證據(jù)理論存在的不足

證據(jù)間的差異性較小時，Dempster合成規(guī)則能夠較好地對證據(jù)進(jìn)行合成，以較高的信度得到目標(biāo)命題。但是當(dāng)證據(jù)間的差異性較大甚至完全對立、沖突時，則無法很好地合成證據(jù)，甚至無法對證據(jù)進(jìn)行合成。

算例1：全沖突悖論的計算

假設(shè)存在某一識別框架為Θ＝{A，B}，給定兩個證據(jù)E1，E2，對應(yīng)的焦元分別是 A，B，相應(yīng)的基本概率分配為：

根據(jù)前述介紹，此例中的沖突系數(shù)k=1×1+0×0＝1，表明兩個證據(jù)完全對立，不能利用Dempster合成規(guī)則進(jìn)行合成，D-S證據(jù)理論失效。由于DS證據(jù)理論在這種情況下將不能使用，不能對證據(jù)進(jìn)行有效的處理。此即為Zadeh悖論，也稱為全沖突悖論。D-S證據(jù)理論無法解決全沖突悖論問題。

算例2：絕對信任悖論的計算

假設(shè)存在某一識別框架為Θ ＝{A，B，C}，給定兩個證據(jù)E1，E2，對應(yīng)的焦元分別是A，B，C相應(yīng)的基本概率分配為：

利用Dempster合成規(guī)則，沖突系數(shù)k＝0.09+0.81+0.09=0.99。證據(jù)E1，E2高度沖突。兩個證據(jù)分別以0.9的信度分別支持命題A和命題B。

利用合成規(guī)則進(jìn)行計算有：

兩個證據(jù)合成的結(jié)果顯示為支持命題C的概率值為1，這個結(jié)果是與常理相悖的，說明證據(jù)合成失效，D-S證據(jù)理論也不能用于處理此類問題。

2 典型的兩類改進(jìn)方法

D-S證據(jù)理論經(jīng)過幾十年的發(fā)展在各領(lǐng)域開花結(jié)果，但是對沖突證據(jù)的合成仍然沒有一個很好的解決方法。為了解決沖突證據(jù)的合成，已經(jīng)有很多研究給了一些方法。目前對D-S證據(jù)理論的改進(jìn)主要有兩個思路：一個是從證據(jù)源模型進(jìn)行改進(jìn)，其代表方法是Yager法；另一個是從合成規(guī)則進(jìn)行改進(jìn)，其代表方法是Murphy法。

2.1 Yager法

Yager認(rèn)為證據(jù)融合失效時由于組合規(guī)則的不足引起的，因此假設(shè)識別框架是封閉的，將沖突部分全部分配給未知，其組合公式如下：

2.2 Murphy法

Murphy提出改進(jìn)原始證據(jù)的方法以彌補(bǔ)D-S證據(jù)組合規(guī)則的不足。首先求出所有證據(jù)的基本概率分配值的算術(shù)平均，然后利用經(jīng)典的D-S組合規(guī)則進(jìn)行n-1次融合。該方法的計算過程如下：

3 算例驗證

本節(jié)主要通過幾個算例來對比不同改進(jìn)方法的優(yōu)劣。

算例3假設(shè)識別框架為Θ ={A，B，C}，各證據(jù)的基本概率賦值為：

根據(jù)計算，各算法的合成結(jié)果如表1、表2所示。

表1 兩個證據(jù)的合成結(jié)果

表2 三個證據(jù)的合成結(jié)果

由表1和表2可以看出，D-S證據(jù)理論對高沖突的證據(jù)無法很好地進(jìn)行合成。由于m2（A）=0，導(dǎo)致命題A被完全否定，即使后續(xù)有更多的證據(jù)支持命題A，合成結(jié)果永遠(yuǎn)顯示命題A的支持度為0。Yager方法也不能很好地解決沖突證據(jù)的合成問題，其合成結(jié)果過于保守，命題的不確定性增強(qiáng)，特別是在證據(jù)數(shù)量較多時，無法很好地為決策服務(wù)。Murphy法對證據(jù)進(jìn)行簡單的算術(shù)平均，沒有考慮各證據(jù)間的權(quán)重及沖突，但是其合成效果較前兩種方法好。算例結(jié)果表示Murphy能夠較好地解決沖突證據(jù)的合成問題，結(jié)論也更加科學(xué)合理。

4 結(jié)束語

通過算例的對比計算可知，相較于改進(jìn)合成規(guī)則這一方法，對證據(jù)體本身的改進(jìn)更為有效。對合成規(guī)則的改進(jìn)破壞了可交換原則且容易喪失其良好的數(shù)學(xué)特性。實際上，如果是由于證據(jù)不可靠造成的證據(jù)沖突，那么這種情況下對合成規(guī)則進(jìn)行改進(jìn)也是沒有意義的。因此，為了更好地解決證據(jù)沖突問題，需要在證據(jù)合成前對證據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，這樣能使合成結(jié)果更為科學(xué)準(zhǔn)確。然而，由于證據(jù)沖突的客觀存在，目前仍沒有一個統(tǒng)一的被廣泛接納的解決方法，需要進(jìn)一步加以研究。