RV減速器擺線輪磨床磨削系統(tǒng)誤差分析及建模*

張躍明，秦?zé)▔?，?青，李偉峰

(北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124)

0 引言

RV減速器目前被廣泛應(yīng)用于世界上許多國(guó)家的高精度工業(yè)機(jī)器人[1]。擺線輪加工要求尺寸誤差為正負(fù)2μm、表面粗糙度Ra0.4以及齒與齒之間的分度誤差為一弧分[2]，加工要求極高。擺線輪齒成型磨削為最后一道工序，磨齒機(jī)自身的運(yùn)動(dòng)精度將直接影響擺線輪齒廓精度。

目前，針對(duì)擺線輪的加工誤差研究，國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者主要對(duì)擺線齒輪誤差的產(chǎn)生來(lái)源及齒廓生成原理進(jìn)行分析[3-6]，沒(méi)有從機(jī)床誤差的角度進(jìn)行具體分析。機(jī)床的誤差建模經(jīng)歷了機(jī)構(gòu)學(xué)建模、幾何建模、誤差矩陣、二次關(guān)系模型和剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)等方法，但它們?nèi)源嬖谶m用性差、邏輯表達(dá)混亂、易產(chǎn)生人為推導(dǎo)錯(cuò)誤等問(wèn)題[7-11]。本文運(yùn)用多體系統(tǒng)理論，建立數(shù)控?cái)[線輪磨床空間誤差的通用模型，提出了有誤差情況下實(shí)現(xiàn)擺線輪精密磨削約束條件方程，并對(duì)該方程進(jìn)行了求解。

1 相鄰體坐標(biāo)系及運(yùn)動(dòng)方程的建立

多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論是將復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)拆分成簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)體，分析兩相鄰體之間的運(yùn)動(dòng)，再通過(guò)耦合來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的分析。

1.1 無(wú)誤差情況

如圖1所示，為無(wú)誤差情況下典型相鄰體Bi體和Bj體的相互關(guān)系，其中Bi為低序體，Qj為固定在Bi體上的點(diǎn)，Bj體的運(yùn)動(dòng)參考點(diǎn)，Oi和Oj分別為兩相鄰體的體坐標(biāo)系原點(diǎn)，Bj對(duì)Bi的相對(duì)位置用qj表示，Bj對(duì)Bi的相對(duì)移動(dòng)用sj表示，R為慣性坐標(biāo)系。由以上幾何描述法可知，Bj體相對(duì)于Bi體的位置和姿態(tài)的變化可用相鄰體上的坐標(biāo)系Oj-xjyjzj和Oi-xiyizi之間的位置姿態(tài)的變化來(lái)表示，從而將多體系統(tǒng)復(fù)雜的相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的相鄰體坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。分析可知，兩相鄰體之間的相互關(guān)系包括相對(duì)定位及運(yùn)動(dòng)，因此Bj對(duì)Bi的定位關(guān)系可用Qj-xiyizi坐標(biāo)系相對(duì)于Oi-xiyizi坐標(biāo)系的位置姿態(tài)描述。

圖1 無(wú)誤差情況下典型相鄰體的相互關(guān)系圖

圖1中Bj體中任意一點(diǎn)P在Oi-xiyizi坐標(biāo)系中的位置矢量表達(dá)式為[12]：

P=qj+sj+rj

(1)

通過(guò)Denavit-Hartenberg(4×4)齊次變換矩陣可表示為：

Pji=SijpSijsSjr

(2)

式中，rj為P點(diǎn)在坐標(biāo)系Oj-xjyjzj中的位置矢量；Sjr為P點(diǎn)在Oj-xjyjzj中的位置矩陣表達(dá)式；Pji為P點(diǎn)在Oi-xiyizi中的位置矩陣表達(dá)式；Sijp、Sijs分別為Bj體相對(duì)于Bi體的相對(duì)位置和相對(duì)運(yùn)動(dòng)變換矩陣。

1.2 有誤差情況

為了更加有效地分析實(shí)際情況下相鄰體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，就必須建立符合實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況下有誤差的分析模型及幾何描述方法。如圖2所示，與無(wú)誤差情況相比較，有誤差情況下增加了位置誤差和位移誤差。Bj體在Bi體參考坐標(biāo)系Oi-xiyizi內(nèi)的理想和實(shí)際運(yùn)動(dòng)參考點(diǎn)分別用Qjl和Qj表示，對(duì)應(yīng)的qjl表示理想位置矢量，qj表示實(shí)際位置矢量，qje表示位置誤差矢量。Bj體參考坐標(biāo)系原點(diǎn)在坐標(biāo)系Qj-xjyjzj中的理想運(yùn)動(dòng)位置和實(shí)際運(yùn)動(dòng)位置分別用Ojl和Oj表示，對(duì)應(yīng)的sjl表示理想位移矢量，sj表示實(shí)際位移矢量，sje表示位移誤差矢量。

圖2 有誤差情況下典型相鄰體的相互關(guān)系圖

由圖2可知，Bj體上任意一點(diǎn)P在Oi-xiyizi坐標(biāo)系中的位置矢量表達(dá)式為：

P=qjl+qje+sjl+sje+rj

(3)

通過(guò)Denavit-Hartenberg齊次變換矩陣可表示為：

Pji=SijpSijpeSijsSijseSjr

(4)

式中，Sijpe、Sijse分別為Bj體相對(duì)于Bi體的相對(duì)位置和相對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差變換矩陣。

2 磨削系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)誤差分析

陸聯(lián)LFG-3540型數(shù)控?cái)[線磨床結(jié)構(gòu)如圖3所示，該機(jī)床為四軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床，磨削原理為成型法磨削。加工過(guò)程中砂輪主軸旋轉(zhuǎn)、Z軸帶動(dòng)擺線輪左右移動(dòng)、Y軸控制吃刀量、X軸控制砂輪主軸上下移動(dòng)、A軸實(shí)現(xiàn)分度功能。

機(jī)床各運(yùn)動(dòng)體的誤差可分為靜止誤差和運(yùn)動(dòng)誤差，與位置點(diǎn)無(wú)關(guān)的靜態(tài)誤差參數(shù)與刀具所在位置無(wú)關(guān)，各相鄰軸之間的靜態(tài)誤差參數(shù)主要由方向和位置誤差組成。如圖4a所示為各線性軸之間的靜態(tài)誤差參數(shù)示意圖，其中εxy、εxz、εyz為三軸之間的垂直度誤差。圖4b為x、y軸和旋轉(zhuǎn)A軸之間的靜態(tài)誤差參數(shù)示意圖，其中εxa、εya為x、y軸和旋轉(zhuǎn)A軸的垂直度誤差。機(jī)床導(dǎo)軌等部件在使用過(guò)程中，會(huì)因摩擦及熱變形而產(chǎn)生與位置點(diǎn)有關(guān)的誤差。由剛體空間運(yùn)動(dòng)學(xué)理論可知，物體有6個(gè)自由度，在運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生6項(xiàng)誤差。以X軸為例如圖4c所示進(jìn)行說(shuō)明，圖中δx(x)、δy(x)、δz(x)為沿x軸移動(dòng)時(shí)在x,y,z方向上產(chǎn)生的線位移誤差。其它移動(dòng)軸誤差和旋轉(zhuǎn)軸角位移誤差同理列于表1中。

1.床身 2.Z向溜板 3.頭架 4.A軸 5.擺線輪 6.Y向溜板 7.X向溜板 8.砂輪架 9.砂輪圖3 陸聯(lián)LFG-3540型數(shù)控?cái)[線磨床結(jié)構(gòu)

(a) X、Y、Z軸之間的靜態(tài)誤差參數(shù)

(b) x、y軸和旋轉(zhuǎn)A軸之間 的靜態(tài)誤差參數(shù) (c) 沿X軸的運(yùn)動(dòng)誤差參數(shù) 圖4 誤差參數(shù)

誤差性質(zhì)線位移誤差角位移誤差誤差方向沿x、沿y、沿z繞x、繞y、繞z沿x平移δxx()、δyx()、δzx()εxx()、εyx()、εzx()沿y平移δxy()、δyy()、δzy()εxy()、εyy()、εzy()沿z平移δxz()、δyz()、δzz()εxz()、εyz()、εzz()繞a轉(zhuǎn)動(dòng)δxa()、δya()、δza()εxa()、εya()、εza()交叉εxz、εyz、εxy、εxa、εya

3 磨削系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及低序體陣列描述

由前面介紹的多體系統(tǒng)相鄰體理論，可以建立擺線輪磨床磨削系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和低序體陣列。拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖5所示，從中可以看出磨削系統(tǒng)共有兩條運(yùn)動(dòng)鏈，分別為由1-2-3-4-5體組成的“床身-擺線輪”分支和1-6-7-8-9體組成的“床身-砂輪”分支，其中床身為分支起點(diǎn)。

圖5 機(jī)床磨削系統(tǒng)低序體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

在多體系統(tǒng)理論中，Bj的低階序列體可通過(guò)下面公式得到[13]：

Ln(j)=i

(5)

式中，L稱為低序體算子，Bi為Bj的n階低序體，并且滿足：

Ln(j)=L(Ln-1(j))

(6)

由圖5所示的磨削系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖以及式(5)、式(6)，k為運(yùn)動(dòng)體，得到表2所示的磨削系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)低序體陣列。

表2 機(jī)床磨削系統(tǒng)的低序體陣列

4 磨削系統(tǒng)誤差建模

圖6為由圖5所示的低序體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖建立的磨削系統(tǒng)多體系統(tǒng)拓?fù)鋱D，其中點(diǎn)P為擺線輪和砂輪磨削接觸點(diǎn)。通過(guò)公式(4)可得加工點(diǎn)P分別按“床身-擺線輪”分支和“床身-砂輪”分支在慣性坐標(biāo)系中的位置陣列分別為：

Pw=Pw0=P21P32P43P54P5r=
S12pS12peS12sS12seS23pS23peS23sS23seS34pS34peS34sS34seS45pS45peS45sS45seS5r

(7)

Pt=Pt 0=P61P76P87P98P9r=
S16pS16peS16sS16seS67pS67peS67sS67seS78pS78peS78sS78seS89pS89peS89sS89seS9r

(8)

式中，Pw為P點(diǎn)按擺線輪分支到與床身固連的慣性坐標(biāo)系中的矩陣表達(dá)式；Pt為P點(diǎn)按砂輪分支到與床身固連的慣性坐標(biāo)系中的矩陣表達(dá)式；S5r為P點(diǎn)在擺線輪上的位置陣列；S9r為P點(diǎn)在砂輪上的位置陣列。

圖6 機(jī)床磨削系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

擺線輪成型磨削過(guò)程中，要加工出精密齒廓，砂輪和擺線輪需按給定的約束條件運(yùn)動(dòng)，即磨削點(diǎn)P按擺線輪分支和按砂輪分支在慣性坐標(biāo)系中的矩陣表達(dá)式相等，Pw=Pt，該條件滿足與否是實(shí)現(xiàn)擺線輪精密加工的關(guān)鍵。該條件為這就是擺線輪精密磨削的約束方程。對(duì)磨削系統(tǒng)各運(yùn)動(dòng)體建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，然后寫(xiě)出相鄰運(yùn)動(dòng)體間變換矩陣表達(dá)式。

4.1 磨削系統(tǒng)各運(yùn)動(dòng)體坐標(biāo)系的確定

各運(yùn)動(dòng)體坐標(biāo)系設(shè)立的初始設(shè)定條件為其體參考坐標(biāo)系與運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系重合。因物體在三維坐標(biāo)系中的方位由方向和位置組成，因此兩個(gè)都要確立，先設(shè)定體坐標(biāo)系的方向，以機(jī)床自身坐標(biāo)系為基準(zhǔn)，因?yàn)榇采斫拥夭粍?dòng)，所以將慣性坐標(biāo)系設(shè)在床身上。設(shè)定床身坐標(biāo)系(低序體1)與機(jī)床坐標(biāo)系重合，“床身-擺線輪”分支中，設(shè)定Z向溜板(低序體2)的坐標(biāo)系與機(jī)床相同。因?yàn)轭^架(低序體3)和Z向溜板為焊接，所以坐標(biāo)系相同。A軸(低序體4)的坐標(biāo)系方向由床身坐標(biāo)系繞X、Y軸旋轉(zhuǎn)垂直度εxa、εya后獲得。因擺線輪(低序體5)通過(guò)夾具與A軸相對(duì)固定，所以坐標(biāo)系的方向與A軸相同?！按采?砂輪”分支中，Y向溜板(低序體6)的坐標(biāo)系與機(jī)床相同。X向溜板(低序體7) 的坐標(biāo)系方向經(jīng)床身坐標(biāo)系繞Y向旋轉(zhuǎn)垂直度εxy、εxz、εyz后獲得。因砂輪架(低序體8)和砂輪(低序體9)與X向溜板固連，所以坐標(biāo)系方向與X向溜板相同，以上設(shè)定了初始條件下各運(yùn)動(dòng)體坐標(biāo)系的方向。下面確定各運(yùn)動(dòng)體坐標(biāo)系的位置，初始設(shè)定條件為磨削系統(tǒng)各運(yùn)動(dòng)體在機(jī)床零點(diǎn)位置，令床身、Z向溜板、頭架、Y向溜板、X向溜板、砂輪架的坐標(biāo)系原點(diǎn)在A軸端面中心處，砂輪和擺線輪的體參考坐標(biāo)系分別位于體心處 。

S23p=E,S23pe=E,S23s=E,S23se=E

S34p=E

S45pe=E,S45s=E,S45se=E,“機(jī)床—砂輪”分支：

S67p=E,

S78p=E,S78pe=E,S78s=E,S78se=E

4.2 磨削系統(tǒng)誤差建模

將上述“機(jī)床—擺線輪”和“機(jī)床—砂輪”兩分支的變換矩陣帶入式(5)、式(6)，通過(guò)MATLAB矩陣運(yùn)算，得點(diǎn)P分別按兩分支在慣性坐標(biāo)系中的位置矩陣表達(dá)式分別為：

(9)

(10)

砂輪磨削過(guò)程中，砂輪磨削點(diǎn)應(yīng)與擺線輪的理論磨削點(diǎn)在任意時(shí)刻重合，將上述計(jì)算結(jié)果帶入公式Pw=Pt中，求出該擺線輪磨削系統(tǒng)精密磨削約束方程為：

(11)

精密加工約束方程中的29項(xiàng)誤差參數(shù)可按照精密加工中心的幾何精度檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)JB/T 8772.1-1998查出，代入E=Pw-Pt可實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)床加工精度的預(yù)測(cè)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于多體系統(tǒng)理論，對(duì)陸聯(lián)LFG-3540型數(shù)控?cái)[線輪磨床的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，構(gòu)建了磨削系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和低序體陣列。對(duì)機(jī)床磨削系統(tǒng)進(jìn)行空間幾何誤差分析，通過(guò)Denavit-Hartenberg齊次變換矩陣，推導(dǎo)出了擺線輪磨削點(diǎn)運(yùn)動(dòng)約束方程的表達(dá)式，通過(guò)查閱誤差參數(shù)求解方程，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)床加工精度的預(yù)測(cè)。本文對(duì)后續(xù)擺線輪加工誤差分析以及修砂系統(tǒng)誤差建模提供了理論基礎(chǔ)。