基于擴展有限元的薄板裂紋損傷分析*

余 鼐，蔣占四，謝鳳樂，徐 飛，宋威震

(桂林電子科技大學(xué) 機械工程學(xué)院, 廣西 桂林 541000)

0 引言

板類結(jié)構(gòu)被廣泛地應(yīng)用，如火箭尾翼、太陽能板等。如果這些機體中的板存在裂紋，會使裝備在服役過程中因裂紋的擴展形成斷裂或者變形，使機體的強度與振動特性等方面發(fā)生變化,從而影響機體的使用性能，甚至產(chǎn)生重大的事故。而早期初始裂紋源比較小且受工作環(huán)境的影響不易被發(fā)現(xiàn) ，因此監(jiān)測并預(yù)示早期裂紋發(fā)生的位置與深度是損傷識別領(lǐng)域的一個重要研究方向[1]。

板的裂紋識別，從原理上講,與其他傳統(tǒng)檢測方式類似。首先由探頭測量出缺陷對外界激勵的響應(yīng), 再使用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗ髯R別分析[1]。不同于傳統(tǒng)的檢測方式，在得到外界的激勵響應(yīng)后，建立裂紋板的數(shù)值分析模型，在模型上結(jié)合算法反演推算出裂紋的參數(shù)信息是一種新的檢測方式。1999年，美國西北大學(xué)的學(xué)者提出了一種用最小重構(gòu)網(wǎng)格的有限單元法模擬彈性裂紋擴展[2]；隨后采用階躍函數(shù)加強裂紋貫穿單元，用裂尖函數(shù)加強裂尖單元，進(jìn)一步完善了該數(shù)值分析方法[3]。

在國內(nèi)外已有研究中，Krawczuk等通過特殊譜單元分析確定裂紋的位置[4]。Horibe和Watanabe應(yīng)用遺傳算法來識別裂紋的位置[5]，但以上方法都只能尋優(yōu)平行于板邊界的裂紋；ChatziE N,用擴展有限元法采用橢圓形孔洞模擬出了靜態(tài)薄板在受拉狀態(tài)下任意形狀的缺陷，反問題用的是遺傳算法進(jìn)行尋優(yōu)[6]。這一改進(jìn)雖然能夠不再局限于平行裂紋，但該算法效率低且在反問題尋優(yōu)中容易陷入局部最優(yōu)解。Rabinovich D,基于擴展有限元法和遺傳算法識別出了靜、動載下平板薄膜內(nèi)部的裂紋[7-8]；江守燕[9]給出了用擴展有限元結(jié)合蜂群算法求解任意裂紋的策略；王珍蘭等[10]提出了一種改進(jìn)的蜂群算法，改善了反演過程中局部最優(yōu)解的情況。但算法的改進(jìn)較復(fù)雜，且尋多變量問題耗時很長。

本文通過結(jié)合擴展有限元法與粒子群算法。首先用水平集法模擬裂紋位置并引入模擬裂紋不連續(xù)面的加強函數(shù)，建立板類結(jié)構(gòu)正問題分析模型，避免了網(wǎng)格重劃分和網(wǎng)格細(xì)化帶來的影響。在此基礎(chǔ)上用近似模型(RBF)代替原有的結(jié)構(gòu)參數(shù)與動力響應(yīng)關(guān)系，最大程度降低正問題中的計算量。反問題中粒子群算法反演尋優(yōu)求解出與輸入值相差最小的樣本點從而定量預(yù)測出裂紋的相關(guān)參數(shù)，并討論了不同邊界條件對模型準(zhǔn)確性帶來的影響。

1 擴展有限元建模

擴展有限元的基本原理也是基于單位分解的思想。只是在處理一些強，弱不連續(xù)問題中，它用一些加強函數(shù)反映間斷特性。而沒有間斷部分依然采用有限元處理。

1.1 單元的選擇

等參單元,即單元坐標(biāo)變換和位移函數(shù)采用相同的插值形函數(shù)。選用等參單元能很好的適應(yīng)非正交的直線邊界,單元大小也方便調(diào)節(jié)。單元的位移模式一般如下:

(1)

其中形函數(shù)為：

(2)

式中，ξ、η為該四邊形單元的局部坐標(biāo),ξi、ηi為4個角節(jié)點的局部坐標(biāo)值，其取值如下：

(3)

1.2 含裂紋單元的處理

裂紋作為一種強不連續(xù)問題，位移模式中為了反映不連續(xù)性的存在，需要在裂紋單元形函數(shù)中增加與內(nèi)部的幾何或物理界面有關(guān)的加強函數(shù)。裂紋單元由裂尖單元和裂紋貫穿單元組成。裂紋貫穿單元兩側(cè)位移的特征是不連續(xù)，因此整體加強函數(shù)只要能反映裂紋兩側(cè)位移的不連續(xù)即可，一般選取階躍函數(shù)H(X)[3]進(jìn)行加強:

(4)

式中，X*是考察點X在裂紋面上的投影點；n為裂紋面的單位外法向。

含裂尖單元的整體加強函數(shù)要能夠反映裂尖主要的奇異項和各種可能的位移狀態(tài)。通過裂尖改進(jìn)函數(shù)Fj(X)[3]進(jìn)行表示：

(5)

其中，r和θ為裂尖局部極坐標(biāo)。

1.3 裂紋的定位

建模過程分析的裂紋不止一條，裂紋的定位采用水平集函數(shù)。水平集函數(shù)由正交的符號距離函數(shù)Ψ(x,t)和波前水平集φk(x,t) (k=1,2)組成。Ψ(x,t)的零水平集Ψ(x,t)=0表示裂紋面，表達(dá)式[11]如下：

(6)

式中，x為考察點p的坐標(biāo)；x*為考察點p在裂紋面上的投影點坐標(biāo)；n為裂紋面的單位外法向。

sign(x)為符號函數(shù):

(7)

波前水平集函數(shù)：

φk(x,t)=(x-xk)·t

(8)

xk為第k個裂尖坐標(biāo);t為第k個裂紋尖端處的單位切向矢量。

1.4 擴展有限元位移模式

(9)

2 反問題求解與近似模型

2.1 反問題分析

在反問題中，缺陷對外界激勵的響應(yīng)是已知的。即可以在板的邊緣設(shè)計一些方便測量的點，用傳感器接收數(shù)據(jù),得到結(jié)構(gòu)在這些測量點的位移或者是應(yīng)力，所得到的結(jié)果稱為實際測量結(jié)果。在此基礎(chǔ)上反問題的目的就是憑借實際測量結(jié)果盡可能定量診斷出裂紋的損傷情況(位置，形狀等)。

反問題分析過程中在描述單個裂紋時，參數(shù)用如下向量表示：

δi=(X1,Y1,X2,Y2)

(10)

其中，(X1,Y1)表示的是裂紋起點坐標(biāo)；(X2,Y2)表示的是裂紋終點坐標(biāo)。

為準(zhǔn)確定位裂紋的損傷情況，通常需要結(jié)合一些優(yōu)化算法(粒子群算法)在正問題擴展有限元模型中計算出結(jié)構(gòu)關(guān)鍵點的響應(yīng)，并與實際測量結(jié)果進(jìn)行比較，使得二者之間誤差即目標(biāo)函數(shù)最小化。從而實現(xiàn)定量預(yù)測裂紋位置。

其目標(biāo)函數(shù)[6]可設(shè)為：

(11)

本文用的粒子群算法(PSO)屬于智能算法的一種，是通過模擬鳥群捕食行為設(shè)計的。假設(shè)區(qū)域里就只有一塊食物，鳥群的任務(wù)是找到這個食物源，群體中的每個成員通過學(xué)習(xí)它自身的經(jīng)驗和其他成員的經(jīng)驗來不斷改變其搜索模式。其一般參數(shù)如下：

(1)初始粒子數(shù)25；

(2)粒子的尋優(yōu)范圍(-0.5，0.5)；

(3)粒子速度的最大值Vmax設(shè)置為0.1，即最大尋優(yōu)范圍的0.1；

(4)加速系數(shù)C1，C2設(shè)置為2；

(5)隨機數(shù)r1，r2設(shè)置為[0,1]。

2.2 近似模型的引入

在模型生成之后，直接尋優(yōu)容易陷入局部最優(yōu)解，有時需要建立與裂紋參數(shù)相對應(yīng)的響應(yīng)數(shù)據(jù)庫。而每生成數(shù)據(jù)庫中的一個數(shù)據(jù)點，都要計算一次該狀態(tài)下的位移。這樣不僅非常耗時，而且不利于實際工程應(yīng)用。因此本文在此基礎(chǔ)上引入徑向基(RBF)代理模型，減少建模過程中的計算量，其流程圖如圖1所示。

RBF代理模型[12]是通過用樣本點的輸入和輸出信息，來模擬源模型中目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計變量之間的關(guān)系，從而替代復(fù)雜的源模型進(jìn)行計算。RBF 模型可表示為：

(12)

其中，N是插值樣本點的個數(shù),φ是徑向距離。

Aλ=f

(13)

3 數(shù)值算例

如圖2所示，含裂紋的方形板，板長W和寬L都為1m。在數(shù)值計算時，假設(shè)板處于平面應(yīng)力狀態(tài)。板的下端施加合適的約束條件消除剛體位移，上端受水平向拉伸(切向)荷載σ=1.0 MPa 的作用；板的彈性模量為E=2E11Pa，泊松比ν=0.3。本次邊界條件分兩種情況進(jìn)行討論，板被離散成41×31的等參單元網(wǎng)格。在板四周合適的位置布置有參數(shù)點，用以方便通過傳感器測得該處結(jié)構(gòu)的真實響應(yīng)。

(a) 邊界受拉力 (b) 邊界受切向力 圖2 幾何尺寸及載荷分布圖

為了驗證此次建模的正確性，取工況一為研究對象，將正問題擴展有限元建模所得的數(shù)據(jù)與商業(yè)ANSYS的有限元計算結(jié)果進(jìn)行比較，如圖3所示。

(a) 有限元計算結(jié)果 (b) 擴展有限元計算結(jié)果 圖3 中心裂紋板的擴展有限元模型

從圖3可以看出，裂紋在受力作用后的張開程度和位移變化點基本吻合，從而驗證了所用擴展有限元數(shù)據(jù)的正確性。

按照裂紋識別步驟用擴展有限元計算出拉丁超立方抽樣的20組裂紋參數(shù)(位置坐標(biāo))對應(yīng)的位移，以此建立初始RBF模型。粒子群法參數(shù)設(shè)置如上。裂紋板上有8種位置工況 A～H ，識別結(jié)果如表1、表2所示。從表1薄板在受拉下和表2薄板在切向力作用下的結(jié)果可以看出，在8種工況中，即使邊界條件不一樣，識別的結(jié)果也與真實裂紋參數(shù)十分接近，基本上在2%之內(nèi)?？梢詼?zhǔn)確地描述裂紋位置與結(jié)構(gòu)的位移之間的關(guān)系。

表1 薄板受拉情況下裂紋真實值與識別結(jié)果比較

表2 薄板受切向力情況下裂紋真實值與識別結(jié)果比較

4 結(jié)論

(1)通過等參單元劃分單元網(wǎng)格，并用水平集法確定單元類型，從而引入加強函數(shù)對裂紋單元進(jìn)行改進(jìn)，建立了損傷薄板的擴展有限元模型。簡化了損傷薄板仿真的步驟。

(2)反問題中不需對算法進(jìn)行太大改進(jìn)。引入近似模型代替原有結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)輸入、輸出關(guān)系，在很大程度上避免了正問題優(yōu)化迭代過程，適合工程應(yīng)用。且仿真結(jié)果表明：所建立的反演結(jié)構(gòu)能夠準(zhǔn)確地識別出結(jié)構(gòu)內(nèi)部單個缺陷的位置和大小。