方程思想在解析幾何大題中的地位

■陜西師范大學(xué)附屬中學(xué) 劉曦釗

近年來的高考數(shù)學(xué),不論各地省卷還是全國卷,都會(huì)有一道平面解析幾何準(zhǔn)壓軸大題,這道題既是重點(diǎn),更是難點(diǎn)。許多文章對(duì)這道題做了有益的研究,其常常分成弦長、面積、定點(diǎn)、定值等類型予以說明。仔細(xì)回顧近幾年的高考試卷不難發(fā)現(xiàn):任其出題方式如何變化,以方程思想為綱的核心考點(diǎn)從未改變,如果我們能緊緊把握這個(gè)要點(diǎn),就可以擺脫形式上的繁復(fù),以較小成本拿下該題。

例題(2017年全國卷Ⅰ理20)已知橢圓,四點(diǎn)P(1,1),

1中恰有三點(diǎn)在橢圓C上。

(1)求C的方程。

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點(diǎn)。

解答：(1)四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上共有4種情形:①P1,P2,P3在,P4不在;②P1,P2,P4在,P3不在;③P1,P3,P4在,P2不在;④P2,P3,P4在,P1不在。因?yàn)闄E圓C關(guān)于y軸對(duì)稱,P3,P4務(wù)必同在或者同不在,舍去情形①和②。又橢圓C關(guān)于x軸對(duì)稱,P1,P4如果同在橢圓C上,其縱坐標(biāo)應(yīng)互為相反數(shù),與實(shí)際矛盾,故舍去情形③。情形④符合,于是,解得a2=4,b2=1,故橢圓C的方程為

(2)如果直線l沒有斜率,設(shè)其方程為x=m(-2＜m＜2,且m≠0)。

聯(lián)立消去x可得y2+解得-2＜m＜2且m≠0。設(shè)交點(diǎn)A(m,y1),B(m,y2),則y1,y2是方程1=0的兩個(gè)實(shí)根,于是y1+y2=0,y1y2=

點(diǎn)評(píng):方程思想貫穿本題始終:

(1)在第一問中,確定了哪三個(gè)點(diǎn)在橢圓上后,利用待定系數(shù)法列方程求解橢圓中的重要參數(shù),這一步考生覺得好做的原因是:首先,參數(shù)已經(jīng)被題干設(shè)出來了;其次,方程的構(gòu)造方式很熟悉;再次,求解簡(jiǎn)單易行。如果我們能夠熟練掌握這樣的解題流程,那么平面解析幾何解答題就沒有攻克不了的!

(2)在第二問中,直線l是個(gè)對(duì)象,需要表示它,我們知道用方程,可是用哪個(gè)形式的方程呢?這就引出了對(duì)斜率的分類討論,分類之后,應(yīng)該把直線方程表示出來,很自然就該引進(jìn)參數(shù)m或者k,m了,有些考生這一步都做不到,何談方程思想呢?沒有未知數(shù),怎么列方程,未知數(shù)現(xiàn)在是k,m,而不是x,y,因?yàn)閗,m才是表示直線的關(guān)鍵!雖然它們現(xiàn)在都未知,但是我們通過構(gòu)造它們的方程就可以追蹤了,正所謂“未知數(shù)別害怕,列解方程來解圍”!

(3)在第二問中,直線和曲線的交點(diǎn)需要通過解方程組來研究,解方程組的過程其本質(zhì)就是用事先設(shè)定的參數(shù)k,m來描述解存在與否、解有多少個(gè)、解是什么這三個(gè)問題,雖然最后這個(gè)問題有時(shí)不便表示,但可以設(shè)而不解,這是代數(shù)思想的體現(xiàn),也可以理解增設(shè)未知數(shù)x1,x2,但是它們和參數(shù)k,m的關(guān)系通過根與系數(shù)的關(guān)系已經(jīng)說清,試問,根與系數(shù)的關(guān)系是方程組嗎?正所謂“未知數(shù)別害怕,列解方程來解圍”!

(4)因?yàn)樵鲈O(shè)了x1,x2,y1,y2,使得繼續(xù)描述成為可能,事情繼續(xù)發(fā)展:利用斜率和為-1,將x1,x2,y1,y2溝通起來,這是方程吧?通觀全局,我們列完了關(guān)于k,m,xi,yi的方程組,現(xiàn)在唯一剩下的就是根據(jù)需求有方向性地消元求解,正所謂“磨刀霍霍向豬羊”。

(5)因?yàn)橐C明直線過定點(diǎn),那么直線的直接決定因素k,m的信息就需要更新和細(xì)化,于是我們消去所有的xi,yi,保留k,m,終于得到了k,m的等量約束,正所謂“未知數(shù)別害怕,列解方程來解圍”!再經(jīng)過它們的不等量約束驗(yàn)證后出場(chǎng),直線的信息得到更新定點(diǎn)問題證明完成。

總結(jié)：是什么讓一個(gè)解題者可以堅(jiān)持做完這樣一道平面解析幾何解答題,筆者認(rèn)為是方程思想的光芒,它讓人相信,那么終將看見!無論它的形式如何變化,但是在解題的過程中不斷應(yīng)用文章中的“未知數(shù)別害怕,列解方程來解圍”這句話,一定能在最短的時(shí)間里找到問題的突破口,避免走一些彎路,而這也是這幾年全國卷出題人在解析幾何這道大題中給我們滲透的信息。