永磁三自由度電機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與動(dòng)力學(xué)聯(lián)合仿真

李爭(zhēng)　劉令旗

摘 要：為了解決三維空間中多自由度電機(jī)傳動(dòng)精度較低、運(yùn)動(dòng)控制較差等問題，在剛性體機(jī)械系統(tǒng)下，基于復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)強(qiáng)耦合、非線性的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種可聯(lián)動(dòng)控制的三自由度電機(jī)。采用電機(jī)自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)控制策略，分析了電機(jī)自轉(zhuǎn)運(yùn)行時(shí)的應(yīng)力分布和形變程度，建立了混合驅(qū)動(dòng)式電機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型，施加3個(gè)軸向轉(zhuǎn)矩作為驅(qū)動(dòng)力，規(guī)劃了電機(jī)基于混合驅(qū)動(dòng)式的三自由度運(yùn)動(dòng)，搭建并設(shè)計(jì)了機(jī)控一體化電機(jī)的動(dòng)力學(xué)聯(lián)合仿真接口。結(jié)果表明：通過激活有效階模態(tài)，對(duì)剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)下的電機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，可得到較小的偏心位移;多自由度電機(jī)的智能控制方案可自由設(shè)計(jì)被控對(duì)象的參數(shù)變化，降低了擾動(dòng)的靈敏性，使控制系統(tǒng)具有較好的魯棒性。結(jié)合三自由度電機(jī)的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型來搭建基于滑?？刂葡到y(tǒng)的聯(lián)合仿真平臺(tái)，可實(shí)現(xiàn)電機(jī)3個(gè)軸向角速度的軌跡跟蹤，且在整個(gè)動(dòng)力學(xué)聯(lián)合仿真時(shí)段內(nèi)均可實(shí)現(xiàn)跟蹤效果，為后續(xù)實(shí)物樣機(jī)的制造和測(cè)試提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：電機(jī)學(xué);三自由度電機(jī);偏心位移;虛擬樣機(jī)技術(shù);動(dòng)力學(xué)模型;聯(lián)合仿真接口;軌跡跟蹤

中圖分類號(hào)：TK172 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.7535/hbkd.2019yx05003

Kinematics analysis and dynamics co-simulation of

permanent magnet three-DOF motor

LI Zheng， LIU Lingqi

（School of Electrical Engineering， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang，Hebei 050018， China）

Abstract：In order to solve the problems of low precision and low motion control of multi-degree-of-freedom motor in three-dimensional space， under the rigid mechanical system， based on the characteristics of strong coupling and nonlinearity of complex mechanical systems， a three-degree-of-freedom motor capable of linkage control can be designed. The motor's rotation motion control strategy is used to analyze the stress distribution and deformation degree of the motor during the rotation. The dynamic model of the hybrid drive motor is established and three axial torques are applied as the driving force. The motor is based on the three-degree-of-freedom motion of hybrid drive， and the dynamic joint simulation interface of the machine-controlled integrated motor is built and designed. The results show that by activating the effective mode， the motor structure under the rigid-flexible coupling system can be optimized to obtain a small eccentric displacement. The intelligent control scheme of the multi-degree-of-freedom motor can freely design the parameter changes of the controlled object， reduce the sensitivity of the disturbance， and make the control system have better robustness. Combining the dynamic mathematical model of the three-degree-of-freedom motor to build a joint simulation platform based on the sliding mode control system， the trajectory tracking of the three axial angular velocities of the motor can be realized. The tracking effect can be achieved during the whole dynamics joint simulation period， which provides a theoretical basis for the subsequent manufacture and testing of the physical prototype.

Keywords：electrical engineering; three-degree-of-freedom motor; eccentric displacement; virtual prototype technology; dynamic model; joint simulation interface; trajectory tracking

隨著智能化運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)裝置的不斷創(chuàng)新發(fā)展，可于狹小空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)多個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)受到人們的廣泛關(guān)注。采用多臺(tái)電機(jī)驅(qū)動(dòng)需要依賴從動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行耦連控制，而由多自由度電動(dòng)機(jī)作為主動(dòng)機(jī)構(gòu)直接驅(qū)動(dòng)，可避免中間傳動(dòng)裝置所帶來的設(shè)備體積龐大、非線性耦合強(qiáng)、運(yùn)動(dòng)精度偏低等諸多不利因素[1-4]。球形電機(jī)因其特殊的結(jié)構(gòu)可于三維空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)3個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度的運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)有多自由度電機(jī)多為一個(gè)“整球體”的球型轉(zhuǎn)子，通過對(duì)沿球面經(jīng)、緯線排布的多組定子線圈施加不同幅值、相位的激勵(lì)，實(shí)現(xiàn)三維空間內(nèi)的多自由度運(yùn)動(dòng)。但此類電機(jī)難免存在體積龐大、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量過大等問題，在單獨(dú)實(shí)現(xiàn)高速旋轉(zhuǎn)運(yùn)行和定向傾斜操作時(shí)，易于產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)子偏心位移，且難以輸出恒定的轉(zhuǎn)矩[5-10]。從國(guó)內(nèi)外的參考文獻(xiàn)中可以看出，關(guān)于多自由度電機(jī)的分析和研究大多側(cè)重于本體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，而對(duì)電機(jī)三自由度的運(yùn)動(dòng)控制及軌跡規(guī)劃卻鮮有涉獵[11-14]。

在探究多自由度電機(jī)的動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，主要源于機(jī)械設(shè)計(jì)原理和經(jīng)典理論力學(xué)的結(jié)合，但受電機(jī)做多自由度運(yùn)動(dòng)時(shí)快速響應(yīng)的運(yùn)動(dòng)特性以及軸承摩擦、外部擾動(dòng)等因素的影響，很難連續(xù)、穩(wěn)定、精準(zhǔn)地控制電機(jī)，常規(guī)的PID控制和轉(zhuǎn)矩法控制往往無法滿足軌跡跟蹤精度的要求[14-17]。為此，基于復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)強(qiáng)耦合、非線性的特點(diǎn)，筆者提出了一種新型的適用于多自由度電機(jī)的智能控制方案[17-24]。

1 自轉(zhuǎn)控制策略下的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 多剛體系統(tǒng)下電機(jī)的自轉(zhuǎn)運(yùn)行

自轉(zhuǎn)永磁體為8極結(jié)構(gòu)，采用Halbach陣列充磁方式，永磁體磁路向內(nèi)延伸;自轉(zhuǎn)繞組采用單層分布式繞組，通三相工頻交流電，產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)與永磁體磁場(chǎng)相互作用，帶動(dòng)轉(zhuǎn)子以同步轉(zhuǎn)速自轉(zhuǎn)。自轉(zhuǎn)模塊轉(zhuǎn)子磁軛為偏轉(zhuǎn)模塊定子軛。偏轉(zhuǎn)繞組為集中式繞組，在垂直于平面的方向上呈四列分布，偏轉(zhuǎn)永磁體嵌于偏轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子軛上，與偏轉(zhuǎn)繞組對(duì)應(yīng)，給偏轉(zhuǎn)繞組通直流電，產(chǎn)生N極或S極磁場(chǎng)，與轉(zhuǎn)子永磁體對(duì)應(yīng)的磁極相互作用，驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子永磁體繞關(guān)節(jié)軸承偏轉(zhuǎn)，帶動(dòng)輸出軸偏轉(zhuǎn)。改變偏轉(zhuǎn)繞組通電策略，可實(shí)現(xiàn)空間內(nèi)的偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)[4]?；旌向?qū)動(dòng)式電機(jī)的三視圖如圖1所示，包括俯視圖、左視圖、正視圖，關(guān)于x-y角平分線的的軸測(cè)視圖如圖2所示。

電機(jī)的自轉(zhuǎn)運(yùn)行策略如圖3所示，時(shí)域內(nèi)的仿真時(shí)間為50 s，以角速度為參考量，設(shè)計(jì)電機(jī)加、減速階段均為三次函數(shù)的拋物線式變化，對(duì)應(yīng)角加速度曲線在相應(yīng)時(shí)段內(nèi)為二次函數(shù)的凸弧遞增和凹弧遞減，其加減速的時(shí)間均為10 s[7]。在中間時(shí)域內(nèi)勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)達(dá)到最高轉(zhuǎn)速，為31.4 rad/s，即達(dá)到電機(jī)高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的300 r/s，角加速度在此時(shí)為0，而在電機(jī)啟動(dòng)與停轉(zhuǎn)時(shí)刻達(dá)到最大值（10 rad/s2）。

1.2 剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)下的形變和應(yīng)力分析

剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)中電機(jī)的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)采取與多剛體系統(tǒng)相同的控制策略，如圖4所示，在仿真進(jìn)行到中間轉(zhuǎn)速最快的平穩(wěn)勻速時(shí)段內(nèi)，選取25 s處的時(shí)刻，運(yùn)行仿真步數(shù)為250時(shí)，觀測(cè)到電機(jī)形變程度最大，可見輸出軸依據(jù)幾何外形的特征被剖分為四棱柱體，顯然添加的旋轉(zhuǎn)副不再與十字型支撐連桿垂直，旋轉(zhuǎn)副施加的關(guān)聯(lián)點(diǎn)恰為電機(jī)輸出軸始端圓環(huán)的中點(diǎn)。不難看出，支撐輸出軸的十字連桿與輸出軸交界部分的凹面棱角較為明顯。電機(jī)自轉(zhuǎn)模塊運(yùn)行時(shí)的形變程度主要來自所施加驅(qū)動(dòng)的大小、方向和選取的一個(gè)位置點(diǎn)，故而靠近電機(jī)輸出軸的十字連桿部分形變量較大，反之遠(yuǎn)離部分的形變量較小，而電機(jī)外殼和與電機(jī)外殼相連部分的連桿幾乎沒有形變。所以僅在此分析電機(jī)連接軸與轉(zhuǎn)子軸的應(yīng)力變化，如圖5所示，最大應(yīng)力值位于二者的交界部位，應(yīng)力約為0.036 9 MPa，此后向四周均勻遞減，最小應(yīng)力值出現(xiàn)在連接軸一側(cè)的中間部位，約為0.007 38 MPa。

對(duì)生成的柔性體進(jìn)行編輯與模態(tài)優(yōu)化，計(jì)算柔體時(shí)輸入的模態(tài)階數(shù)為6，定義旋轉(zhuǎn)副的絞點(diǎn)有6個(gè)自由度，加上剛性體的6個(gè)模態(tài)，共需計(jì)算18階模態(tài)。需要根據(jù)電機(jī)實(shí)際運(yùn)行軌跡和控制策略，依據(jù)查看不同階模態(tài)對(duì)電機(jī)輸出軸、十字支撐連桿的位姿變化，考慮哪些階模態(tài)對(duì)計(jì)算結(jié)果無法做出貢獻(xiàn)后，使其失效，決定有哪些階模態(tài)參與運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的仿真計(jì)算。電機(jī)輸出軸、十字支撐連桿的柔體形變大小，是依據(jù)構(gòu)成模態(tài)的多個(gè)節(jié)點(diǎn)相對(duì)位移量的改變，再通過激活各階模態(tài)的疊加后所得。因而在觀測(cè)其各階模態(tài)的當(dāng)前位姿振型時(shí)，可調(diào)節(jié)形變比例因子至0.45，進(jìn)而控制節(jié)點(diǎn)位移量的大小，將輸出軸、十字支撐連桿的形變量調(diào)整到適度的位姿，以實(shí)現(xiàn)優(yōu)化輸出軸回轉(zhuǎn)精度、減小偏心位移的目的[8]。

在選擇電機(jī)輸出軸、十字支撐連桿柔體的有效階模態(tài)時(shí)，首先要保證輸出軸具有一定的剛度和強(qiáng)度，其形變量盡可能小，以動(dòng)畫播放的形式觀察各階模態(tài)振型，并設(shè)置模態(tài)過濾，將該階模態(tài)中最大位移點(diǎn)的量值小于設(shè)定值的模態(tài)都濾掉。確定激活柔體的第7階、8階、12階、13階作為有效階模態(tài)，參與電機(jī)自轉(zhuǎn)模塊的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真計(jì)算，如圖6所示。

研究電機(jī)自轉(zhuǎn)時(shí)的偏心問題，采用先前相同的控制策略，以柔性體的關(guān)節(jié)點(diǎn)為物理量，對(duì)繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)在x分量、y分量上的偏心位移進(jìn)行計(jì)算，如圖7和圖8所示。顯然，在電機(jī)勻速運(yùn)轉(zhuǎn)階段內(nèi)偏心量的變化速度快，偏心位移的量值卻很小;而在加速和減速過程中，偏心量的變化速度則相對(duì)緩慢，但其位移值相比較大。

首先從圖7中x分量的旋轉(zhuǎn)偏心位移變化可以看出，電機(jī)自轉(zhuǎn)時(shí)啟動(dòng)0→5 s內(nèi)偏心位移振幅呈現(xiàn)明顯的衰減趨勢(shì)，而在制動(dòng)的45→50 s呈現(xiàn)明顯的增幅趨勢(shì)，且在啟動(dòng)的最初與制動(dòng)的最末時(shí)刻，其振幅達(dá)到最大，為0.15 mm;在5→8 s的振幅衰減相較之前微弱一些，此后在8→10 s和40→42 s的2個(gè)過渡時(shí)期幾乎與中間平穩(wěn)運(yùn)行時(shí)段曲線相似，僅在偏離0刻度的位置小范圍波動(dòng)。觀察圖8中y分量的旋轉(zhuǎn)偏心位移，基本與x分量偏心位移曲線類似。在勻速平穩(wěn)運(yùn)行的前半段與啟動(dòng)至勻速的過渡階段觀測(cè)到有較小的衰減位移，在勻速平穩(wěn)運(yùn)行的后半段與勻速至制動(dòng)的過渡階段觀測(cè)到有較小的增幅位移。通過對(duì)比不難看出，勻速時(shí)段內(nèi)的位移量、波動(dòng)率較小，在加減速時(shí)段內(nèi)的位移量、波動(dòng)率較大，2個(gè)分量的偏心位移均大致呈現(xiàn)對(duì)稱的趨勢(shì)，由此體現(xiàn)出了規(guī)劃電機(jī)自轉(zhuǎn)控制策略與電機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理性。

2 混合驅(qū)動(dòng)式電機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

為了更好地描繪電機(jī)的多自由度運(yùn)動(dòng)，取多剛體仿真軟件中的系統(tǒng)全局坐標(biāo)系為靜態(tài)坐標(biāo)系Oxyz，取電機(jī)轉(zhuǎn)子軸標(biāo)記點(diǎn)的局部坐標(biāo)系為動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系Odpq，引入歐拉角旋轉(zhuǎn)序列的理論力學(xué)觀念，即在靜態(tài)坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)子軸由靜平衡位置處經(jīng)3次旋轉(zhuǎn)后，形成新的確定位形，以章動(dòng)角α、進(jìn)動(dòng)角β、旋進(jìn)角γ為一組獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)參量，完成電機(jī)俯仰、偏航、滾動(dòng)的三自由度運(yùn)動(dòng)[10]。

默認(rèn)電機(jī)轉(zhuǎn)子軸在靜平衡位置處的動(dòng)、靜態(tài)坐標(biāo)系重合，采用313的旋轉(zhuǎn)序列，將繞坐標(biāo)軸的由xyz相對(duì)運(yùn)動(dòng)到x″y″z″視為動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系Odpq。分別給出3次旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)公式：

聯(lián)立式（1）、式（2）、式（3）中3次旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)公式，得到由靜態(tài)坐標(biāo)系Oxyz向動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系Odpq的轉(zhuǎn)換公式和過渡矩陣，如式（4）所示。

為確切表征電機(jī)轉(zhuǎn)子軸的位姿變化與外部施加3個(gè)方向轉(zhuǎn)矩的關(guān)系，將所有轉(zhuǎn)子部分視為同一個(gè)聯(lián)動(dòng)的剛性體，依據(jù)拉格朗日力學(xué)的第二類方程推導(dǎo)如下：

式（5）中：E為局部動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系的的動(dòng)能; qj為動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系下第j個(gè)作用點(diǎn); Qj為作用點(diǎn)qj下施加的旋轉(zhuǎn)力矩。

電機(jī)在3個(gè)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩作用下運(yùn)動(dòng)到任一位姿時(shí)，均有與之相對(duì)應(yīng)歐拉參量的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)（α，β，γ）T，以向量形式表征電機(jī)轉(zhuǎn)子軸沿軸線上的旋轉(zhuǎn)角速度為w=（wx，wy，wz）T，依據(jù)動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系向靜態(tài)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，設(shè)定

為轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)（α，β，γ）T下的角速度，則動(dòng)力學(xué)計(jì)算時(shí)的旋轉(zhuǎn)角速度可由轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)下的過渡矩陣來表示[11-14]：

w1w2w3=

單以電機(jī)的三自由度運(yùn)動(dòng)而言，需滿足機(jī)械系統(tǒng)自由度大于約束驅(qū)動(dòng)數(shù)值的條件，有3個(gè)未被約束的自由度，即

n=3。廣義局部坐標(biāo)點(diǎn)q1=α，q2=β，q3=γ，廣義驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩Q1=τα-τfα，Q2=τβ-τfβ，Q3=τδ-τfδ。其中，τα，τβ，τδ表征電機(jī)轉(zhuǎn)子軸受到內(nèi)部載荷的影響，減速制動(dòng)時(shí)段內(nèi)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩在3個(gè)軸向分量上的幅值。

取笛卡爾全局坐標(biāo)系為靜止坐標(biāo)系，則混合驅(qū)動(dòng)式電機(jī)的自轉(zhuǎn)部分和偏轉(zhuǎn)部分同步推進(jìn)時(shí)的動(dòng)能為

為電機(jī)轉(zhuǎn)子部分的慣性張量矩陣，用以反映電機(jī)剛體系統(tǒng)中內(nèi)、外轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的慣性。

電機(jī)做多自由度運(yùn)動(dòng)時(shí)，在相對(duì)靜態(tài)坐標(biāo)系下沿不同軸線的旋轉(zhuǎn)有所不同，故需確定說明其相對(duì)運(yùn)動(dòng)的軸。其中Jd，Jp和Jq為該永磁三自由度電機(jī)在局部運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系dpq下，分別對(duì)于x軸、y軸、z軸的主軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其余慣性積均為0，且由于電機(jī)整體模型關(guān)于xoz和yoz兩個(gè)坐標(biāo)面對(duì)稱，則Jd=Jp≠Jq[14]。此處令Jd=Jp=Jdp，上述動(dòng)能表達(dá)式整合后如式（8）所示：

求解多自由度電機(jī)的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，主要是為了更好地描繪施加在電機(jī)3個(gè)方向上的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩與自轉(zhuǎn)、偏轉(zhuǎn)模塊中各部件的位姿變化，建立混合驅(qū)動(dòng)式電機(jī)在空間內(nèi)三自由度動(dòng)力學(xué)仿真的數(shù)學(xué)模型，如式（10）所示：

為其轉(zhuǎn)子輸出軸的慣性矩陣;[WTHX]τ為合分量轉(zhuǎn)矩的矩陣;[WTHX]C（q，[AKq·]）=

求解所建立的動(dòng)力學(xué)方程后，即得轉(zhuǎn)子輸出軸慣性矩陣的各個(gè)分量，如式（11）所示：

科氏離心力矩陣的各個(gè)分量如式（12）所示：

3 基于混合驅(qū)動(dòng)式電機(jī)協(xié)同控制下的動(dòng)力學(xué)聯(lián)合仿真

在電機(jī)整體內(nèi)部球面軸承與穿孔軸套的交界處添加球鉸鏈，并施加3個(gè)方向的旋轉(zhuǎn)力矩，作為驅(qū)動(dòng)電機(jī)三自由度運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)矩，其余內(nèi)、外轉(zhuǎn)子均以固定副相連，視為一個(gè)聯(lián)動(dòng)體，隨輸出軸運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，通過給定不同形式的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩，即可使混合驅(qū)動(dòng)式電機(jī)圍繞其靜平衡點(diǎn)做各式各樣的三自由度運(yùn)動(dòng)。基于三自由度運(yùn)動(dòng)的球鉸鏈中，約束3個(gè)滑移自由度，施加3個(gè)鉛直坐標(biāo)面的軸向轉(zhuǎn)矩，繼而實(shí)現(xiàn)電機(jī)的三自由度動(dòng)力學(xué)仿真。

為體現(xiàn)電機(jī)在自轉(zhuǎn)模塊與偏轉(zhuǎn)模塊協(xié)同下的聯(lián)動(dòng)控制，規(guī)劃一種在動(dòng)力學(xué)下典型的三自由度運(yùn)動(dòng)工況軌跡，同時(shí)實(shí)現(xiàn)圍繞z軸向左右兩側(cè)的搖擺運(yùn)動(dòng)和偏離z軸的傾斜運(yùn)動(dòng)，其合成為往復(fù)3次的閃電型運(yùn)動(dòng)。如圖9所示，設(shè)定仿真時(shí)間為24 s，仿真步數(shù)為1 500，以嵌套式IF函數(shù)給定3個(gè)軸向轉(zhuǎn)矩，控制繞x軸與繞z軸的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩為等幅的正余弦變化，相位差為90°，繼而驅(qū)動(dòng)電機(jī)完成每次往復(fù)運(yùn)動(dòng)的弧線偏移;控制繞y軸轉(zhuǎn)矩為周期性的正弦變化，其中每8 s為一個(gè)周期，每個(gè)周期內(nèi)間隔2 s進(jìn)行分割，其轉(zhuǎn)矩方向分別按照“+--+”的順序循環(huán)3次，完成電機(jī)繞y軸往復(fù)3次運(yùn)動(dòng)的閃電型軌跡。

如圖10所示，在上述3個(gè)軸向驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩的合力作用下，即可實(shí)現(xiàn)電機(jī)的閃電型運(yùn)動(dòng)軌跡，可用于異性復(fù)雜機(jī)械零件加工，走出單自由度電機(jī)不能實(shí)現(xiàn)有特殊要求的復(fù)雜路徑，譬如異形玻璃構(gòu)件有玻璃鋼絲纏繞時(shí)可有效躲避障礙物;同時(shí)實(shí)時(shí)測(cè)量3個(gè)軸向夾角，通過調(diào)試電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩的大小與質(zhì)心點(diǎn)位置，控制電機(jī)做閃電型運(yùn)動(dòng)時(shí)與x軸和y軸的軸向夾角為20°，與z軸的軸向夾角限制為25°[18]。

基于虛擬樣機(jī)技術(shù)與控制系統(tǒng)流程進(jìn)行協(xié)同控制，建立動(dòng)力學(xué)聯(lián)合仿真的接口模塊，創(chuàng)建6個(gè)狀態(tài)變量，設(shè)定3個(gè)軸向驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩為輸入變量，3個(gè)軸向角速度為輸出變量，并與電機(jī)模型對(duì)應(yīng)的外部載荷產(chǎn)生電氣關(guān)聯(lián)。確定3個(gè)輸入/輸出接口，以機(jī)械系統(tǒng)子模塊的形式導(dǎo)出，生成混合驅(qū)動(dòng)式電機(jī)的虛擬樣機(jī)模型adams_sub。如圖11所示。設(shè)定為離散、交互式的運(yùn)行模式，將電機(jī)的3個(gè)軸向驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩作為輸入函數(shù)，通過作為被控對(duì)象的虛擬樣機(jī)模型adams_sub，得到電機(jī)的3個(gè)軸向角速度，完成動(dòng)力學(xué)開環(huán)控制仿真。同時(shí)將電機(jī)的3個(gè)軸向角速度作為同步仿真數(shù)據(jù)存儲(chǔ)至3個(gè)特定的工作空間，便于實(shí)現(xiàn)電機(jī)后續(xù)的軌跡跟蹤控制[19]。

面對(duì)可能存在的輸入擾動(dòng)、軸承摩擦、參數(shù)攝動(dòng)的不定性系統(tǒng)因素，選取擁有不變性、可靠性高、魯棒性好的滑模變結(jié)構(gòu)控制算法，與混合驅(qū)動(dòng)式電機(jī)的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)協(xié)同控制下虛擬樣機(jī)與控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)交換。建立機(jī)控一體的聯(lián)合控制仿真平臺(tái)，通過編寫S-Function完成電機(jī)的控制器算法設(shè)計(jì)。以混合驅(qū)動(dòng)式電機(jī)的虛擬樣機(jī)模型作為被控對(duì)象，將此前開環(huán)控制得到的3個(gè)軸向角速度作為聯(lián)合仿真的3個(gè)輸入量，同時(shí)將虛擬樣機(jī)模型的3個(gè)軸向角速度輸出量反饋至輸入端，同樣作為聯(lián)合仿真的3個(gè)輸入量。圖12為滑?？刂葡到y(tǒng)框圖。

混合驅(qū)動(dòng)式電機(jī)的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型如下：

式中ε為虛擬樣機(jī)模型做多自由度運(yùn)動(dòng)逼近滑膜面s=0時(shí)的快慢程度。ε的取值大小直接影響電機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡中任意一點(diǎn)到達(dá)滑模面的速率。若ε取值過大，則相應(yīng)產(chǎn)生的“抖振”也越大。

經(jīng)整理后可得動(dòng)力學(xué)聯(lián)合仿真的控制律為

基于混合驅(qū)動(dòng)式電機(jī)的虛擬樣機(jī)在實(shí)現(xiàn)自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的協(xié)同控制時(shí)，很可能出現(xiàn)較大的偏心位移與軸承摩擦等不定性因素，為進(jìn)一步削弱抖振對(duì)滑膜控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的損害，使用飽和函數(shù)sat（s）替代控制器中的符號(hào)函數(shù)sgn（s），在邊界層內(nèi)部采用線性反饋，可于切換面附近形成平滑的趨近效果[20]。

圖13中的a），b），c）分別對(duì)應(yīng)x軸、y軸、z軸的角速度曲線，實(shí)線為混合驅(qū)動(dòng)式電機(jī)的角速度/時(shí)間曲線，虛線為其跟蹤曲線，z軸的輸出響應(yīng)于2.5 s后即可完全跟蹤輸入信號(hào)，而x軸與y軸的角速度輸出響應(yīng)則需在4 s后才能實(shí)現(xiàn)完全跟蹤。相比之下，y軸的角速度跟蹤于運(yùn)動(dòng)初始時(shí)誤差較大，約為10 °/s，此后0.5 s才可體現(xiàn)跟蹤效果，x軸與z軸的角速度跟蹤于運(yùn)動(dòng)初時(shí)誤差較小，分別約為0.5 °/s與1 °/s，在整個(gè)動(dòng)力學(xué)仿真時(shí)段內(nèi)均可實(shí)現(xiàn)跟蹤效果。

4 結(jié) 論

1）依據(jù)電機(jī)實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀況，制定了自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的控制策略，選擇通過激活有效階模態(tài)對(duì)剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)下的電機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，得到了較小的偏心位移。

2）在球鉸鏈的約束下，規(guī)劃了電機(jī)在空間內(nèi)的三自由度運(yùn)動(dòng)，檢測(cè)了與3個(gè)軸角度值的變化范圍以及位移變化趨勢(shì)，印證了實(shí)現(xiàn)電機(jī)三自由度運(yùn)動(dòng)的合理性與實(shí)用性，為后續(xù)實(shí)物樣機(jī)的制造和測(cè)試提供了更多理論依據(jù)。

3）結(jié)合三自由度電機(jī)的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型搭建基于滑?？刂葡到y(tǒng)的聯(lián)合仿真平臺(tái)，可實(shí)現(xiàn)電機(jī)3個(gè)軸向角速度的軌跡跟蹤。

4）本研究?jī)H對(duì)三自由度電機(jī)在空載狀態(tài)下一種典型運(yùn)動(dòng)工況進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)聯(lián)合仿真分析，并未實(shí)際考慮摩擦影響與帶載情況，控制系統(tǒng)也僅為單閉環(huán)角速度積分反饋的滑?？刂?。因此，實(shí)現(xiàn)電機(jī)多自由度運(yùn)動(dòng)的滑?？刂扑惴ㄟ€有待進(jìn)一步研究和完善。今后研究可選擇合適的帶載狀態(tài)，基于球面軸承下點(diǎn)接觸的摩擦系數(shù)進(jìn)行測(cè)定，采用對(duì)角速度和角位置的雙閉環(huán)積分滑模控制，實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)輸出軸期望軌跡與響應(yīng)速度的一并跟蹤。

參考文獻(xiàn)/References：

[1]HALL C E， YAO Z，CHOI M，et al.Progressive motor neuron pathology and the role of astrocytes in a human stem cell model of VCP-related ALS[J].Cell Reports，2017，19（9）：1739-1749.

[2]GMYREK Z，LEFIK M.Influence of geometry and assembly processes on the building factor of the stator core of the synchronous reluctance motor[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics，2017，64（3）：2443-2450.

[3]ZHOU Huawei，ZHAO Wenxiang，LIU Guohai，et al.Remedial field-oriented control of five-phase fault-tolerant permanent-magnet motor by using reduced-order transformation matrices[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics，2017，64（1）：169-178.

[4]? 胡斌，陶征，劉旭.多自由度超聲電機(jī)構(gòu)建腕關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)關(guān)鍵問題的研究[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2017（11）：1-4.

HU Bin，TAO Zheng，LIU Xu.Study on key issues exsisted in the construction of the wrist joint structure based on the ultrasonic motor with MDOF[J]. Mechanery Design & Manufacture，2017（11）：1-4.

[5]? 邱楓，楊臻，韓曉明.用于高轉(zhuǎn)速球形電機(jī)的球形轉(zhuǎn)子變形分析[J].機(jī)械設(shè)計(jì)， 2017（11）：38-41.

QIU Feng，YANG Zhen，HAN Xiaoming.Analysis of spherical rotor deformation for high speed spherical motors[J].Journal of Mechanine Design，2017（11）： 38-41.

[6]? 胡波，王安東，李周斌，等.一種基于新型4-UPS+PSPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)感座椅運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析[J].燕山大學(xué)學(xué)報(bào)，2018，42（1）：11-21.

HU Bo，WANG Andong，LI Zhoubin，et al.Analysis of kinematics and dynamics of a dynamic seat based on 4-UPS + PSPR parallel manipulator[J].Journal of Yanshan University，2018，42（1）：11-21.

[7] 韓善凱，李欣業(yè)，侯書軍，等.鉆桿縱-扭耦合振動(dòng)兩自由度模型的動(dòng)力學(xué)分析[J].燕山大學(xué)學(xué)報(bào)， 2017， 41（3）：240-245.

HAN Shankai，LI Xinye，HOU Shujun，et al.Dynamics analysis of couple axial-torsional vibrations of drill-strings with two degrees of freedom[J].Journal of Yanshan University，2017，41（3）：240-245.

[8]? 史婷娜，辛雄，夏長(zhǎng)亮.采用虛擬電機(jī)的改進(jìn)偏差耦合多電機(jī)同步控制[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2017， 37（23）：7004-7013.

SHI Tingna，XIN Xiong，XIA Changliang.Multi-motor speed synchronous control based on improved relative coupling structure with a virtual motor[J]. Proceedings of the CSEE，2017，37（23）：7004-7013.

[9]? 李富娟，李仕華，王凱，等.基于廣義雅可比矩陣的空間并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)研究[J].燕山大學(xué)學(xué)報(bào)，2018，42（4）：296-302.

LI Fujuan，LI Shihua，WANG Kai，et al.Kinematics analysis of space parallel robot based on generalized Jacobian matrix[J].Journal of Yanshan University， 2018，42（4）：296-302.

[10]李睿，吳鳳英，張登權(quán)，等.三自由度永磁球形電機(jī)軌跡規(guī)劃仿真[J].計(jì)算機(jī)仿真，2018，35（4）：342-347.

LI Rui，WU Fengying，ZHANG Dengquan，et al.Trajectory planning simulation of 3-DOF PM spherical motor[J].Computer Simulation，2018， 35（4）：342-347.

[11] 薛增濤，郭穎穎，李爭(zhēng).基于改進(jìn)型滑模觀測(cè)器的電動(dòng)汽車用永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子位置估算[J].電機(jī)與控制應(yīng)用， 2017，44（1）：1-5.

XUE Zengtao，GUO Yingying，LI Zheng.Estimation of permanent magnet synchronous motor rotor position for electric vehicle based on improved sliding mode observer[J].Electric Machines & Control Application，2017，44（1）：1-5.

[12]DOBZHANSKYI O，GOUWS R.Performance analysis of a permanent magnet transverse flux generator with double coil[J].IEEE Transactions on Magnetics，2015，52（1）：1-11.

[13]LI Hongfeng，LI Tianmeng.End-effect magnetic field analysis of the halbach array permanent magnet spherical motor[J].IEEE Transactions on Magnetics，2018，54（4）：1-9.

[14] 李爭(zhēng)，邢殿輝，乜瑋，等.永磁轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)式三自由度電機(jī)熱特性分析[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，36（3）：279-285.

LI Zheng，XING Dianhui，NIE Wei，et al.Thermal characteristics analysis of a novel 3-DOF deflection type PM motor[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2015，36（3）：279-285.

[15] 張建華，李楊，吳學(xué)禮，等.基于U模型的非線性系統(tǒng)Super-Twisting滑?？刂蒲芯縖J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，37（4）：377-382.

ZHANG Jianhua，LI Yang，WU Xueli，et al.Study of Super-Twisting sliding mode control for U model based nonlinear system[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2016，37（4）：377-382.

[16]WESSEL J R，ARON A R.On the globality of motor suppression：unexpected events and their influence on behavior and cognition[J].Neuron，2017， 93（2）：259-280.

[17]夏長(zhǎng)亮，李洪鳳，宋鵬，等.基于Halbach 陣列的永磁球形電動(dòng)機(jī)磁場(chǎng)[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2007，22（7）：126-130.

XIA Changliang，LI Hongfeng，SONG Peng，et al.Magnetic field model of a PM spherical motor based on halbach array[J]. Transactions of China Electrotechnical Society， 2007，22（7）：126-130.

[18]王群京，陳軍，姜衛(wèi)東，等.一種新型混合勵(lì)磁爪極發(fā)電機(jī)的建模和計(jì)算[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2003，23（2）：67-70.

WANG Qunjing，CHAN Jun，JIANG Weidong，et al.The modeling and calculating on a new type hybrid Claw-Pole alternator[J].Proceedings of the CSEE，2003，23（2）：67-70.

[19] 李爭(zhēng)，郭智虎，張玥.新型永磁轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)式三自由度電機(jī)磁場(chǎng)特性分析[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，33（5）：422-428.

LI Zheng，GUO Zhihu，ZHANG Yue.Magnetic field analysis of a novel 3-DOF deflection type PM motor[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2012，33（5）：422-428.

[20] 李爭(zhēng)，劉朝英，宋雪玲.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的無刷直流電機(jī)故障診斷和容錯(cuò)控制方法的研究[J].河北工業(yè)科技，2009，26（5）：411-414.

LI Zheng，LIU Chaoying，SONG Xueling.Study on fault diagnosis and fault tolerant control of BLDC motor based on neural networks[J].Hebei Journal of Industrial Science and Technology，2009，26（5）：411-414.

[21]MASMOUDI A，MASMOUDI A.3-D analytical model with the end effect dedicated to the prediction of PM eddy-current loss in FSPMMs[J].IEEE Transactions on Magnetics，2015，51（4）：1-11.

[22] 顏文旭，寧金，孫強(qiáng)，等.一種新型欠驅(qū)動(dòng)型并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與仿真[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，38（2）：190-195.

YAN Wenxu，NING Jin，SUN Qiang，et al.Kinematics analysis and simulation of a new underactuated parallel robot[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2017，38（2）：190-195.

[23] 王永婧，張冬雯，于健騏.基于T-S模型的一類時(shí)滯非線性系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制[J].河北工業(yè)科技，2018，35（1）：37-42.

WANG Yongjing，ZHANG Dongwen，YU Jianqi.Model predictive control for a class of nonlinear systems with time-delay based on T-S model[J].

Hebei Journal of Industrial Science and Technology，2018，35（1）：37-42.

[24] 戴建國(guó)，趙志國(guó)，劉臺(tái)鳳，等.AFPM型輪轂驅(qū)動(dòng)電機(jī)研究綜述[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2018，39（1）：17-23.

DAI Jianguo，ZHAO Zhiguo，LIU Taifeng，et al.Review of AFPM hub motor[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2018，39（1）：17-23.