思維可視化：一種重要的思維方式

崔萍

［摘 ?要］ 思維可視化是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式。思維可視化是一種直觀形象化的思維，是一種感受體驗(yàn)性的思維，是一種靈動(dòng)轉(zhuǎn)換性的思維。在當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)中，存在著思維過(guò)度抽象化、概括化、嚴(yán)謹(jǐn)化的弊病，因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)、用圖形表達(dá)、用動(dòng)作表達(dá)。思維可視化，能讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深度、走向深刻。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；思維可視化；思維方式

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維質(zhì)量、思維品質(zhì)，優(yōu)化學(xué)生的思維生態(tài)，促進(jìn)學(xué)生的思維素養(yǎng)發(fā)展，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，學(xué)生的思維往往是內(nèi)隱的。如何讓學(xué)生的思維顯現(xiàn)出來(lái)？一個(gè)重要的方法就是讓學(xué)生的思維可視化。將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維顯現(xiàn)、敞亮，能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

一、思考：思維可視化的意蘊(yùn)和價(jià)值

思維可視化是思維的內(nèi)在要求。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師發(fā)現(xiàn)，學(xué)生具有一種思維可視化的內(nèi)在需要，他們總是期望自己的思維、想法、點(diǎn)子能敞亮地展示出來(lái)，尤其渴望自己的思維、想法、點(diǎn)子被他人接納，更期望自己的思維、想法、點(diǎn)子等被推廣。這樣的一種外化思維的過(guò)程，就是思維的可視化。

1.思維可視化是一種直觀形象化的思維

可視化的數(shù)學(xué)思維往往是一種直觀性的思維，是通過(guò)一些具體的、形象的、直觀的東西來(lái)表征思維的一種方式。在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生善于用自己的語(yǔ)言直觀、動(dòng)作直觀、圖形直觀等來(lái)表征題意，助推自己思考問(wèn)題。思維的直觀化、形象化等不僅是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體，同時(shí)也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的工具。教師要善于激發(fā)學(xué)生的可視化思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生的可視化思維，讓學(xué)生的可視化思維能有效地引導(dǎo)學(xué)生表征、思考、探究。比如學(xué)生在學(xué)習(xí)“一個(gè)數(shù)的幾倍”這樣的問(wèn)題時(shí)，總是喜歡畫(huà)線段圖，教師就可以讓學(xué)生借助于線段圖將題意表征出來(lái)，從而讓線段圖成為學(xué)生思維的一個(gè)“拐杖”，推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)自主性學(xué)習(xí)。

2.思維可視化是一種感受體驗(yàn)性的思維

可視化的數(shù)學(xué)思維還是一種感受性思維、體驗(yàn)性思維。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生總是喜歡用相關(guān)的動(dòng)作來(lái)表征題意、思考問(wèn)題，他們總是竭盡全力地將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、動(dòng)作化。在動(dòng)作的驅(qū)動(dòng)、引領(lǐng)之下，學(xué)生能有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)。比如判斷“任意三條線段能否圍成三角形”，教師就要引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，分別設(shè)定讓兩根小棒小于第三根小棒，或者讓兩根小棒等于第三根小棒等情境。通過(guò)體驗(yàn)性活動(dòng)，能催生學(xué)生的可視化思維，將“三角形的三邊關(guān)系”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”等公理性的問(wèn)題。教學(xué)中，教師只有放開(kāi)手腳、充分賦予學(xué)生探究的權(quán)利，才能讓學(xué)生有效地探究三角形的三邊關(guān)系。當(dāng)學(xué)生獲得了深刻的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感受、體驗(yàn)，學(xué)生的可視化思維自然能生成。學(xué)生會(huì)描述、比畫(huà)、說(shuō)明“三角形的三邊關(guān)系”。

3.思維可視化是一種靈動(dòng)轉(zhuǎn)換性的思維

如上所述，思維可視化就是在抽象性思維和直觀、形象性思維之間進(jìn)行不斷的轉(zhuǎn)換。一方面要將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為可理解的方式，用可理解的方式去表征、探究數(shù)學(xué)知識(shí)；另一方面，要將可視化的直觀、具體、形象的思維轉(zhuǎn)換為抽象的數(shù)學(xué)邏輯性思維。從這個(gè)意義上說(shuō)，思維可視化是一種靈活轉(zhuǎn)換性的思維。這種在具體直觀形象與抽象邏輯思維之間的思維轉(zhuǎn)換有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)新。比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者就引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造“二分之一”這樣的一個(gè)分?jǐn)?shù)。學(xué)生會(huì)積極地應(yīng)用圖形進(jìn)行表征。與此同時(shí)，學(xué)生對(duì)相關(guān)的圖形也用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。尤其是，當(dāng)一個(gè)圖形表面上看沒(méi)有平均分而事實(shí)上通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)就可以發(fā)現(xiàn)平均分的圖形，學(xué)生也能創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)、描述出來(lái)，這不能不說(shuō)是學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)新。

思維可視化還是一種審辯性的思維，是一種展示性思維等，具有一種質(zhì)疑性、批判性等的特質(zhì)［１］。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，充分應(yīng)用可視化的思維策略，能化抽象為直觀、化被動(dòng)為主動(dòng)，化客體為主體。這種可視化的數(shù)學(xué)思維的能力是學(xué)生面對(duì)現(xiàn)實(shí)世界、現(xiàn)實(shí)事物所不可或缺的一種思維方式。

二、審視：思維可視化的應(yīng)用缺位

當(dāng)前，在應(yīng)用思維可視化的方面還存在著一種遮蔽、遺忘或缺席等的缺位現(xiàn)象。思維可視化的應(yīng)用沒(méi)有成為一種理性自覺(jué)。由此導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的很多思考、探究契機(jī)、載體的流失。思維可視化不僅要成為一種思維策略，還應(yīng)成為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的重要組成。教師必須對(duì)學(xué)生的思維可視化缺位現(xiàn)象予以關(guān)注。

1. 思維過(guò)度抽象化

抽象性是思維的基本特性。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)發(fā)展學(xué)生的抽象性思維，但卻不能將思維過(guò)度抽象化。過(guò)度抽象化的思維，必然會(huì)扼殺學(xué)生的思維積極性，泯滅學(xué)生思維的創(chuàng)造性［２］。比如一位教師教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”這一部分內(nèi)容時(shí)，用抽象性的符號(hào)來(lái)表征“圓周長(zhǎng)的一半”和“半圓的周長(zhǎng)”等相關(guān)內(nèi)容，其結(jié)果是搞得學(xué)生云里霧里。千言萬(wàn)語(yǔ)，莫若一圖，如果教師能夠?qū)⑾嚓P(guān)的知識(shí)可視化，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出“半圓的周長(zhǎng)”和“周長(zhǎng)的一半”，就能讓學(xué)生進(jìn)行直觀的、形象的比較，就能讓學(xué)生深刻理解“周長(zhǎng)的一半”和“半圓的周長(zhǎng)”的內(nèi)涵。將學(xué)生的思維可視化，就能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，就能引導(dǎo)學(xué)生步入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大道。

2. 思維過(guò)度嚴(yán)謹(jǐn)化

嚴(yán)謹(jǐn)是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一個(gè)優(yōu)良的品質(zhì)。但對(duì)于小學(xué)生而言，如果過(guò)度嚴(yán)謹(jǐn)，就會(huì)讓學(xué)生陷入一種“細(xì)枝末節(jié)”的瑣碎之中。在這樣的一種思維過(guò)度嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)狀態(tài)中，學(xué)生往往不敢進(jìn)行跳躍性的思維，因而就少了一些直覺(jué)的猜想、創(chuàng)新的發(fā)現(xiàn)。比如一位教師教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”，就不滿足于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)性探究，而組織學(xué)生進(jìn)行初中階段的借助于“平行線中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角”等相關(guān)概念的邏輯推演。其結(jié)果是學(xué)生學(xué)得“吃力”，而且沒(méi)有產(chǎn)生更為深刻的領(lǐng)悟。其實(shí)，對(duì)于“三角形的內(nèi)角和”這樣的一種超驗(yàn)性知識(shí)，教師完全可以引導(dǎo)學(xué)生基于直觀、基于直覺(jué)進(jìn)行猜想，在學(xué)生的猜想基礎(chǔ)上放手讓學(xué)生驗(yàn)證。如此，就會(huì)調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)驗(yàn)證的積極性，發(fā)掘?qū)W生數(shù)學(xué)驗(yàn)證的創(chuàng)造性，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向豐富、走向多樣、走向創(chuàng)新。

3. 思維過(guò)度概括化

概括同樣是學(xué)生思維的一種重要品質(zhì)。但學(xué)生的數(shù)學(xué)思維需要概括而不是概括化。如果學(xué)生的思維概括化，學(xué)生就容易走向思維固化，就容易在學(xué)習(xí)過(guò)程中顧此失彼，就不能掙脫思維的慣性。概括化的數(shù)學(xué)思維，往往容易讓學(xué)生滿足于、糾纏于空洞的數(shù)學(xué)概念，或者滿足于記憶一些無(wú)意義的符號(hào)等，而不能理解概念、符號(hào)背后的意義。比如一位教師教學(xué)“平均數(shù)”這一部分內(nèi)容時(shí)，直接告訴學(xué)生計(jì)算方法之后，就引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行計(jì)算應(yīng)用。學(xué)生僅僅滿足于這樣的“萬(wàn)能”的計(jì)算方法，但卻對(duì)“平均數(shù)”的統(tǒng)計(jì)意義不甚了解，因而就不能進(jìn)行有效的平均數(shù)問(wèn)題的分析，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)膚淺就在所難免了。而如果教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過(guò)程，對(duì)平均數(shù)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行細(xì)化的分析，讓學(xué)生對(duì)平均數(shù)的意義理解不僅僅停留在概括性的意義上，學(xué)生就能有效解決問(wèn)題。

思維可視化是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式。教師要注重引導(dǎo)學(xué)生把思維講出來(lái)。思維的可視化包括思維的直觀化、具體化、細(xì)節(jié)化，包括思維的直覺(jué)化、靈感化等。教師可以引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言直觀、圖形直觀、動(dòng)作直觀來(lái)表征，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深度、走向深刻。

三、轉(zhuǎn)型：思維可視化的回歸

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要引導(dǎo)學(xué)生將思維可視化。思維可視化一方面可以助推學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維走向深入；另一方面能讓教師觸摸到學(xué)生的思維，進(jìn)而能讓教師更有效地引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。思維可視化不僅具有工具性意義，更具有實(shí)踐性意義、解放性的意義［３］，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生命獲得舒展。

1. 語(yǔ)言直觀：讓思維表達(dá)

語(yǔ)言與思維是關(guān)聯(lián)著的，語(yǔ)言是思維的外殼，而思維則是語(yǔ)言表達(dá)的依據(jù)、依靠，是學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)的支撐、支持。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)自己的思維。用語(yǔ)言表達(dá)自己的思維，是思維可視化的常態(tài)方式。在語(yǔ)言直觀表達(dá)中，可以允許學(xué)生打比方，甚至可以允許學(xué)生用擬人化的手段來(lái)表征。比如教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”這一部分內(nèi)容時(shí)，在引導(dǎo)學(xué)生思考“半徑有無(wú)數(shù)條”時(shí)，有學(xué)生借助于語(yǔ)言這樣可視化地表達(dá)思維：圓周上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段都是半徑，所以半徑有無(wú)數(shù)條。這樣的一種語(yǔ)言直觀，一下子讓學(xué)生的認(rèn)知敞亮。不得不說(shuō)，比起“畫(huà)半徑”等相關(guān)的方法，這種語(yǔ)言直觀具有一種啟迪人心的力量和智慧。

2. 圖形直觀：讓思維外顯

圖形直觀是指在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用圖表、導(dǎo)圖、草圖、表格等來(lái)表征思維。圖表、圖形的可視化，不僅能幫助學(xué)生梳理相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，更能為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注入活力。如教學(xué)“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”這一部分內(nèi)容時(shí)，如何讓學(xué)生理解“0”的意義是一個(gè)難點(diǎn)。教師切忌抽象地說(shuō)教“0”的意義，而應(yīng)當(dāng)借助于圖形，直觀地表征正數(shù)和負(fù)數(shù)，將正數(shù)和負(fù)數(shù)的界限用“0”的來(lái)表示。通過(guò)圖形的直觀表征，能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解“0”的意義，即“0”不僅僅表示“一個(gè)物體也沒(méi)有”，而且表示一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”。當(dāng)確定了“標(biāo)準(zhǔn)”之后，正負(fù)數(shù)也就確定了。通過(guò)思維的可視化，學(xué)生能深刻地認(rèn)識(shí)、理解“正負(fù)數(shù)的意義”，即“正負(fù)數(shù)是表示具有相反意義的量”。圖形表征，讓學(xué)生的思維觸手可及。

3. 動(dòng)作直觀：讓思維可循

“動(dòng)手做”的直觀是一種動(dòng)作的直觀，這種直觀不僅能促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知理解，而且能促進(jìn)學(xué)生的感受體驗(yàn)。在教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生“動(dòng)手做”，將知識(shí)“再造”或者“創(chuàng)造”出來(lái)。動(dòng)手做，能促進(jìn)學(xué)生的具身認(rèn)知，讓學(xué)生的多種感官協(xié)同參與建構(gòu)知識(shí)。如在教學(xué)“有余數(shù)的除法”這一部分內(nèi)容時(shí)，如何讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“余數(shù)”的意義、內(nèi)涵、功能等，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)具有十分重要的意義。教學(xué)中，如果教師苦口婆心地說(shuō)教，學(xué)生就不能有效地理解余數(shù)的意義。而如果教師引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)“平均分”的活動(dòng)，就能讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到“余數(shù)必須比除數(shù)小”的道理。在反復(fù)的操作過(guò)程中，學(xué)生能自主建構(gòu)“被除數(shù)等于商乘除數(shù)加余數(shù)”的關(guān)系式，進(jìn)而能有效解決有關(guān)“余數(shù)”的相關(guān)問(wèn)題。

思維可視化是學(xué)生本真性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種回歸。思維可視化策略契合學(xué)生的認(rèn)知、心理特征。語(yǔ)言直觀讓學(xué)生的思維敞露，圖形直觀能讓學(xué)生的思維外顯，而動(dòng)作直觀則讓學(xué)生的思維有跡可循、觸手可及、動(dòng)態(tài)展現(xiàn)。思維可視化打開(kāi)了學(xué)生的思維“黑匣子”，讓學(xué)生的思維“看得見(jiàn)”［４］，從而能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

思維可視化是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要形態(tài)，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要策略。在引導(dǎo)學(xué)生思維可視化的過(guò)程中，教師要注重對(duì)學(xué)生的思維方法的指導(dǎo)，注重激活、發(fā)掘?qū)W生的數(shù)學(xué)思維的潛質(zhì)、潛能。思維可視化，需要面對(duì)各種復(fù)雜性的情境，是一種十分重要的、不可或缺的思維策略。教師只有應(yīng)用思維可視化策略，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更加靈活、更富有創(chuàng)造性。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 徐萌. 聚焦思維“可視化”，引領(lǐng)學(xué)生走向數(shù)學(xué)意義的深刻理解［Ｊ］. 教育觀察，２０１９（０８）：１００－１０１.

［２］ 陳志凱.指向思維可視化的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略［Ｊ］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，２０２２（０４）：１７－１８.

［３］ 徐慧萍.講究教學(xué)策略 ?提升思維品質(zhì)［Ｊ］. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，２０１８（０９）：１６－１７.

［４］ 陳華忠.提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的五個(gè)著眼點(diǎn)［Ｊ］. 江西教育，２０１６（２９）：７３－７４.