等腰三角形解題策略：基本圖形+“兩頭湊”

陳亞楠

等腰三角形性質(zhì)與判定是《軸對稱圖形》這一章的難點，也是常考的知識點。隨著幾何學(xué)習(xí)的深入，部分同學(xué)出現(xiàn)了面對復(fù)雜問題不會分析，面對復(fù)雜圖形無從下手的情況。有時候題目中并沒有直接給出等腰三角形的條件，而是需要大家根據(jù)已知推理得到。那么，要構(gòu)成一個等腰三角形就必須要有相等的邊或相等的角。從相等的邊來看，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可構(gòu)造等腰三角形（如圖1）;從相等的角來看，“平行平分得等腰”是常見的基本圖形（如圖2）。

例1如圖3，已知在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD。求證：CD⊥AC。

【分析】讀完題之后我們要思考三方面問題：①已知什么？能得到什么？②求證什么？需要什么？③怎么解決？

首先，由AB=2AC，AD=BD可聯(lián)想到基本圖形圖1，取AB的中點E，連接DE，由“三線合一”得DE⊥AB;其次，要證明CD⊥AC，可證明∠ACD=∠AED=90°;最后，由AD平分∠BAC，證明△AED≌△ACD即可。

證明：取AB的中點E，連接DE。

∵AD=BD，

∴AB=2AE，DE⊥AB，

∴∠AED=90°。

∵AB=2AC，

∴AE=AC。

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠CAD。

在△AED和△ACD中，

[AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，]

∴△AED≌△ACD。

∴∠ACD=∠AED=90°。

∴CD⊥AC。

例2 如圖4，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，MN過點O，與AB、AC相交于點M、N，且MN∥BC，求證：△AMN的周長等于AB+AC。

【分析】首先，已知平行、平分，由基本圖形圖2可得△BMO和△CNO是等腰三角形;其次，求證C△AMN=AB+AC，需證MN=MB+NC;最后，由腰相等進行等量代換即可。

證明：∵BO平分∠ABC，

∴∠ABO=∠CBO。

∵MN∥BC，

∴∠MOB=∠CBO，

∴∠ABO=∠MOB，

∴BM=MO。

同理，CN=NO。

∴C△AMN=AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC。

以上兩道例題涉及了之前提到的兩個基本圖形，它能夠幫助我們快速地將復(fù)雜圖形分解成熟悉的簡單圖形。當(dāng)然，基本圖形也不能幫助我們完全解決復(fù)雜幾何題，還需要我們學(xué)會分析問題。在上面兩道題的分析中，陳老師要同學(xué)們思考三個方面的問題：①已知什么？能得到什么？②求證什么？需要什么？③怎么解決？其實這就是結(jié)合條件和所要證明的結(jié)論一起考慮，即“兩頭湊”，做到這些，遇到新題就不會束手無策了。

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗中學(xué)）