兩個(gè)變量乘積微分式的物理推導(dǎo)及其應(yīng)用

朱文惠 許冬保

(1.江西省九江市濂溪區(qū)第一中學(xué) 332000；2.江西省九江市第一中學(xué) 332000)

許冬保(1963-)，男，江西省九江人，本科，中學(xué)特級(jí)教師，從事習(xí)題教學(xué)與物理科學(xué)方法教育的研究.

一、兩個(gè)變量乘積微分式的物理推導(dǎo)

數(shù)學(xué)上微分式的導(dǎo)出，是根據(jù)通過對(duì)變量求增量，取極限而得到的．下面用物理方法推導(dǎo)兩個(gè)變量乘積的微分式．

假設(shè)一長方形金屬薄片，初態(tài)時(shí)，邊長分別為u、v．如圖1所示，當(dāng)溫度發(fā)生變化時(shí)，金屬薄片的面積會(huì)發(fā)生變化．金屬薄片受熱膨脹后，若薄片各方向熱膨脹系數(shù)不同．邊長由u變到u+Δu，另一邊長由v變到v+Δv．由圖1知，面積u·v的增量由三部分組成，即

Δ(u·v)=v·Δu+u·Δv+Δu·Δv

若Δu→0，Δv→0．則Δu·Δv→0，因此

Δ(u·v)=v·Δu+u·Δv．

寫成微分式

d(u·v)=v·du+u·dv．

對(duì)該式作簡(jiǎn)單討論：

(1)對(duì)于正方形來說，邊長相等，v=u．微分式為

d(u2)=2u·du．

(2)若u=常量(或v=常量)，則

d(u·v)=u·dv(或d(u·v)=v·du)．

二、例題分析

例1 做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其位移與時(shí)間的關(guān)系為x=4+2t2，其中x、t為國際單位制單位．求經(jīng)過多長時(shí)間它的速度為4 m/s？

解析對(duì)表達(dá)式x=4+2t2進(jìn)行微分，得dx=4tdt．

例2 一定量的理想氣體從狀態(tài)a開始，經(jīng)歷等溫或等壓過程ab、bc、cd、da回到原狀態(tài)，其p-T圖像如圖2所示．其中對(duì)角線ac的延長線過原點(diǎn)O．試證明：在過程bc中外界對(duì)氣體做的功等于在過程da中氣體對(duì)外界做的功．

解析由克拉珀龍方程知pV=nRT，式中n為摩爾數(shù)，R為摩爾氣體常量．方程兩邊微分，在壓強(qiáng)一定時(shí)，得到W=pdV=nRdT．由圖2可知，在過程bc中，氣體體積減小，外界對(duì)氣體做功；在過程da中，氣體體積增大，氣體對(duì)外界做功，兩個(gè)過程的溫度變化量相等，即dT相同，因此，在過程bc中外界對(duì)氣體做的功等于在過程da中氣體對(duì)外界做的功．

點(diǎn)評(píng)該題源于2016年全國高考理綜卷Ⅱ物理選考試題第33(1)題，原題為選擇題，文中取了一個(gè)關(guān)鍵選項(xiàng)進(jìn)行分析．抽樣統(tǒng)計(jì)難度僅為0.26．在過程bc中，外界對(duì)氣體做的功為Wbc=pb(Vb-Vc)；在過程da中，氣體對(duì)外界做的功為Wda=pa(Va-Vd)．由玻意耳定律知，paVa=pbVb及pcVc=pdVd，且pa=pd、pb=pc．聯(lián)立解得，Wbc=Wda．本題應(yīng)用微分式，得到W∝dT，優(yōu)化了思維過程．

例3如圖3所示，電源內(nèi)阻不可忽略．現(xiàn)使滑動(dòng)變阻器R的滑片向左滑動(dòng)一小段距離，測(cè)得電壓表V1、V2的示數(shù)變化大小分別為ΔU1、ΔU2，若電流表A的示數(shù)變化大小為ΔI．電壓表、電流表均可視為理想電表．則( ).

B．R0兩端的電壓的變化量大小等于ΔU2-ΔU1

C．路端電壓的增加量等于ΔU2

點(diǎn)評(píng)電路中的電阻、電壓與電流相互制約，應(yīng)明確變量與不變量，根據(jù)歐姆定律、閉合電路歐姆定律，串聯(lián)及并聯(lián)規(guī)律，建立有關(guān)表達(dá)式，通過對(duì)表達(dá)式進(jìn)行微分，能簡(jiǎn)潔、高效地處理有關(guān)變量問題．

例4小燈泡通電后其電流I隨所加電壓U變化的圖線如圖4所示，P為圖線上一點(diǎn)，PN為圖線的切線，PQ為U軸的垂線，PM為I軸的垂線．求對(duì)應(yīng)P點(diǎn)小燈泡的電阻，并判斷隨電壓的增大，電阻如何變化？