圓錐曲線離心率的求解策略

廖永福

(福建省廈門第二中學 361009)

離心率是圓錐曲線的一個重要性質，求圓錐曲線的離心率是解析幾何中的重要題型，也是高考數(shù)學的高頻考點.下表給出了近5年全國卷考查離心率的情況，其中文5表示文科數(shù)學第5題.本人對近幾年高考試題進行了認真的分析、歸納和整理，總結出求圓錐曲線離心率的幾種有效策略，闡述如下，希望對廣大師生有所幫助.

20152016201720182019卷Ⅰ文5理15文4文10理16卷Ⅱ理11理11理9文11理12文12理11卷Ⅲ文12理11文11理10理11

分析由已知c=2，求出a，就可以求出橢圓的離心率．

點評本題考查橢圓簡單性質的應用，考查計算能力．

例2(2018·新課標Ⅱ文11)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為( ).

分析設橢圓的焦距為2c，利用已知條件求出|PF1|和|PF2|，根據(jù)橢圓的定義列出關于a、c的方程，即可求出橢圓的離心率．

圖1

點評本題考查橢圓的簡單性質的應用，考查計算能力．

圖2

分析根據(jù)題意求出直線AP的方程和點P的坐標，再把點P的坐標代入直線AP的方程，得到關于a、c的方程，即可求出橢圓的離心率．

點評本題考查橢圓的性質，直線方程的應用，考查轉化思想，屬于中檔題．

圖3

分析畫圖，根據(jù)圖形特征找出相等關系，列出關于a、c的方程，即可求出橢圓的離心率．

解答如圖，連結OP、PF、FQ、QO，由題意知PQ和OF互相垂直、平分且相等.

點評本題考查雙曲線和平面幾何的簡單性質，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．

分析同例3.

點評本題考查橢圓和平面幾何的簡單性質，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．

點評本題考查雙曲線的簡單性質，考查同角三角函數(shù)基本關系式的應用，是基礎題．

圖5

點評本題考查雙曲線的定義及離心率的求解，關鍵是找出幾何量之間的關系，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題．

例8(2015·新課標Ⅱ理11)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，頂角為120°，則E的離心率為( ).

點評本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查雙曲線的離心率的求法，運用任意角的三角函數(shù)的定義求得M的坐標是解題的關鍵．

分析利用已知條件，通過點A到漸近線的距離的兩種不同表示式，列出關于a、b的方程，即可求出雙曲線的離心率．

點評本題考查雙曲線的簡單性質的應用，點到直線的距離公式以及圓的方程的應用，考查轉化思想以及計算能力．

解答畫出圖形，由已知可得線段OA是△BF1F2的中位線，∴OA∥F2B.

點評本題考查雙曲線和平面幾何的簡單性質，考查數(shù)形結合的思想方法和計算能力，是中檔題．

分析設出橢圓的方程，求出直線的方程，利用已知條件列出關于b、c的方程，即可求解橢圓的離心率．

點評本題考查橢圓的簡單性質的應用，點到直線的距離公式，橢圓的離心率的求法和計算能力．

四、列出關于a、b、c的方程，再結合a、b、c之間的平方關系，消去一個量，即可求出圓錐曲線的離心率.

點評本題考查了雙曲線的簡單性質，點到直線的距離，余弦定理和離心率的求法，屬于中檔題．

可以看出，求圓錐曲線離心率的關鍵在于尋找相等關系，列出關于a、b、c的方程.常用的途徑有：①借助已知的相等關系，如例1、例6和例11；②利用圓錐曲線的定義，如例2和例7；③根據(jù)“若點在曲線上，則點的坐標滿足曲線的方程”，如例3和例8；④利用正、余弦定理，如例12；⑤根據(jù)圖形的幾何性質，如例4、例5、例9和例10.