相對論性多普勒效應(yīng)研究

潘營利

(渭南師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院，陜西渭南714099)

0 引言

多普勒效應(yīng)是一個(gè)非常重要的物理現(xiàn)象，在實(shí)際當(dāng)中有許多重要的應(yīng)用，因此在物理學(xué)教材［1－3］中，都要研究這一重要的物理現(xiàn)象。但教材中研究的都是低速情況下的多普勒效應(yīng)，沒有考慮其相對論效應(yīng)。高炳坤、王鳳林［4］給出了相對論性多普勒效應(yīng)的簡易推導(dǎo);彭學(xué)杰［5］指出光波多普勒效應(yīng)實(shí)際上是聲波多普勒效應(yīng)下的光學(xué)極限，光波多普勒效應(yīng)只是波源和觀察者相對速度的函數(shù)，表明光在真空中傳播時(shí)媒介物是多余的;黃興濱［6］給出了一個(gè)推導(dǎo)長度收縮和縱向多普勒效應(yīng)的新方法，該方法可更直觀理解在兩個(gè)慣性系中觀測一個(gè)縱向光波的波長與觀測沿縱向靜止于某個(gè)系中桿的長度的本質(zhì)區(qū)別;Nizar Hamdan［7］從洛倫茲力和相對論出發(fā)推導(dǎo)了相對論性多普勒效應(yīng)公式，給出了關(guān)系式:c=λf=λ0f0。

以上這些研究方法要么比較煩瑣，要么不夠全面，本文給出了推導(dǎo)相對論性多普勒效應(yīng)的一種簡單方法，同時(shí)從光子圖像和相對論的四維協(xié)變量出發(fā)推導(dǎo)出相對論性多普勒效應(yīng)公式。結(jié)果表明，在研究相對論性多普勒效應(yīng)時(shí)，光子觀點(diǎn)和波動(dòng)觀點(diǎn)可以給出完全相同的結(jié)果，從而進(jìn)一步證實(shí)了光的波粒二象性。

1 非相對論性多普勒效應(yīng)

1．1 波源靜止而觀察者運(yùn)動(dòng)

先分析靜止點(diǎn)波源的振動(dòng)在均勻各向同性介質(zhì)中傳播的情況，如圖1所示，O點(diǎn)表示點(diǎn)波源，同心圓表示波面，圖中任意波面上波點(diǎn)的相位與相鄰?fù)膱A上各點(diǎn)的相位差都是2π，所以兩相鄰?fù)膱A半徑之差是波長λ0。設(shè)波相對于靜止介質(zhì)以波速v0傳播，以f0表示波源振動(dòng)的頻率，則波長λ0、波速v0和頻率f0之間的關(guān)系為

圖1 波源靜止而觀測者運(yùn)動(dòng)時(shí)的多普勒效應(yīng)

觀察者觀測到的波速v與觀測到的波長λ之比稱為觀測頻率，記作f，即

顯然，若波源和觀察者都相對于介質(zhì)靜止，則f=f0。

如果觀察者相對于介質(zhì)以速率度u朝波源O運(yùn)動(dòng)。由于經(jīng)典力學(xué)不考慮相對論效應(yīng)，即從不同參考系測量同一物體的長度是相同的，所以，盡管觀察者以u運(yùn)動(dòng)，他測量上述球面波的波長λ仍等于λ0，但是觀察者相對介質(zhì)以速率u朝波源運(yùn)動(dòng)，所以他觀測到的波速應(yīng)為v0+u。觀測頻率f應(yīng)為

同理，若觀察者以速度u遠(yuǎn)離波源運(yùn)動(dòng)，則有

1．2 觀察者靜止而波源運(yùn)動(dòng)

假定點(diǎn)波源的振動(dòng)在均勻各向同性介質(zhì)中傳播，如圖2所示，設(shè)t=0時(shí)點(diǎn)波源在O點(diǎn)靜止不動(dòng)，波在介質(zhì)中的傳播速度為v0，一個(gè)周期T后波傳到S處，其波長為λ0=v0T，波的頻率為

現(xiàn)假定波源以速度v向觀察者運(yùn)動(dòng)，這樣一個(gè)周期后波源運(yùn)動(dòng)到O'點(diǎn)，但波仍然傳到S點(diǎn)，由于觀察者相對于介質(zhì)靜止不動(dòng)，波的傳播速度仍然是v0，但波長變?yōu)棣耍蓤D2知

所以

可見頻率變大了，對于聲波，相當(dāng)于聲調(diào)變高。

如果波源以速度v遠(yuǎn)離觀察者運(yùn)動(dòng)，同理可得

1．3 觀察者和波源在同一直線上同時(shí)運(yùn)動(dòng)

現(xiàn)假定波源相對于介質(zhì)以速度v向觀察者運(yùn)動(dòng)，觀察者相對于介質(zhì)以速度u向波源運(yùn)動(dòng)，此時(shí)波速為v0+u，而波長為λ=v0T－vT，故觀察者觀測到的波的頻率為

2 相對論性多普勒效應(yīng)公式的推證

圖2 波源運(yùn)動(dòng)時(shí)的多普勒效應(yīng)

圖3 光源以速度v向著觀察者運(yùn)動(dòng)

化簡，得

其中:f是在觀察者靜止的坐標(biāo)系中的頻率，而v是光源和觀察者的相對速度。式(5)中沒有涉及相對于媒質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，可以看出相對論性結(jié)果不支持兩個(gè)經(jīng)典結(jié)果中的任何一個(gè)，它和二者都不相符。

3 觀察者不在運(yùn)動(dòng)方向上的多普勒效應(yīng)

下面研究觀察者不在運(yùn)動(dòng)方向上的相對論性多普勒效應(yīng)。光源靜止時(shí)，發(fā)射光的頻率為f0，周期為T0，如圖4所示。當(dāng)光源以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，其發(fā)射光的頻率為f，周期為T，如圖5所示。

圖4 相對于觀察者靜止的光源的發(fā)光情況

圖5 光源以速度v沿水平方向運(yùn)動(dòng)

由圖5可知 λ =cT－vT cosθ=(c－v cosθ)T，

其中:θ是在觀察者靜止的坐標(biāo)系中測得的角度。若觀察者在運(yùn)動(dòng)方向上，則θ=0，結(jié)果與式(5)相同;當(dāng)這個(gè)“橫向”多普勒效應(yīng)是由于時(shí)間膨脹所引起的。

4 多普勒效應(yīng)的光子圖像

多普勒效應(yīng)不僅可以從波動(dòng)觀點(diǎn)研究，也可從光子觀點(diǎn)進(jìn)行研究?？紤]一個(gè)靜止質(zhì)量為M0的重原子，它處于穩(wěn)定態(tài)。如果它發(fā)射一個(gè)能量為hf0的光子，則它的靜止質(zhì)量由M'0c2=M0c2－h(huán)f0給定。

現(xiàn)假設(shè)原子在發(fā)射光子之前以速度v自由運(yùn)動(dòng)，如圖6所示，原子的能量為。在發(fā)射一能量為hf的光子后，原子的速度為u，靜止質(zhì)量為M″0，能量為E'，動(dòng)量為P'。

圖6 運(yùn)動(dòng)原子發(fā)射光子

為簡單，假定光子是沿運(yùn)動(dòng)方向發(fā)射的，由能量和動(dòng)量守恒定律得

按照能量－動(dòng)量關(guān)系得

將左邊展開，并采用E2－(Pc)2=(M0c2)2，考慮到是重原子，令M'0≈M″0，則得

將其化簡后得

結(jié)果與式(5)相同。可見用光的兩種完全不同的觀點(diǎn)(波動(dòng)觀點(diǎn)和粒子觀點(diǎn))對多普勒效應(yīng)描述的結(jié)果相同。

5 四維協(xié)變量與多普勒效應(yīng)

下面從相對論的四維協(xié)變量出發(fā)，推導(dǎo)相對論性多普勒效應(yīng)公式。

設(shè)想有一x'y'坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系以速度v相對于xy系在x方向運(yùn)動(dòng)，如圖8所示，在x'y'系中，動(dòng)量－能量四維協(xié)變量為

圖7 在靜止坐標(biāo)系觀察光子的頻率為f

圖8 在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系觀察光子的頻率為f0

由相對論知，一個(gè)四維協(xié)變量 Aμ=(A1，A2，A3，A4)的變換法則為

整理得

結(jié)果與式(6)相同。

6 結(jié)論

本文通過研究得出以下結(jié)論:

(1)給出了推導(dǎo)相對論性多普勒效應(yīng)公式的一種簡便方法;

(2)從光子圖像出發(fā)，推導(dǎo)出了相對論性多普勒效應(yīng)公式;

(3)從相對論的四維協(xié)變量出發(fā)，推導(dǎo)出了相對論性多普勒效應(yīng)公式;

(4)研究結(jié)果表明，在研究相對論性多普勒效應(yīng)時(shí)，光子觀點(diǎn)和波動(dòng)觀點(diǎn)可以給出相同的結(jié)果，從而進(jìn)一步證實(shí)了光的波粒二象性。