用極限定義證明數(shù)列極限的幾種方法

摘 要：在高等數(shù)學(xué)中，極限是一個(gè)非常重要的概念，是研究微積分的必備工具，也是我們的教學(xué)中的重難點(diǎn)之一。本文簡(jiǎn)單介紹了數(shù)列極限定義證明數(shù)列極限的四種方法：直接法、適當(dāng)放縮法、適當(dāng)放大條件法、反證法。

關(guān)鍵詞：極限;放縮;反證

我們知道初等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象基本上是不變的量，而高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象則是變動(dòng)的量。所謂函數(shù)關(guān)系就是變量之間的依賴關(guān)系，極限方法是研究變量的一種基本方法。極限概念是在探求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解答過(guò)程中產(chǎn)生的。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正六邊形的面積來(lái)推算圓面積的方法——割圓術(shù)[1]，就是極限思想在幾何上的應(yīng)用。在本文中主要介紹了幾種不同的方法來(lái)加深對(duì)數(shù)列極限定義的理解和掌握.但在實(shí)際的教學(xué)中我們看到，學(xué)生在運(yùn)用數(shù)列極限定義證明極限存在還是有一定的困難，這是由于學(xué)生對(duì)極限ε-N定義中的“任意”、“存在N”、“使得xn-a<ε”等術(shù)語(yǔ)及它們之間的關(guān)系了解的還不夠完整，深刻。

首先介紹數(shù)列極限ε-N的定義[2]：設(shè)xn為以數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無(wú)論它多么?。偞嬖谡麛?shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式|xn-a|<ε都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限，或者稱數(shù)列xn收斂SymboleB@ xn=aε>0， 正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有|xn-a|<ε。

我們應(yīng)該注意到：定義中的正整數(shù)N是與任意給定的正數(shù)ε有關(guān)的，它隨著ε的給定而選它。那么，要如何根據(jù)ε來(lái)確定N？N的取值是唯一的嗎？這些問(wèn)題都將是在解題過(guò)程中遇到的。接下來(lái)簡(jiǎn)單介紹幾種常用的解題方法。

一、直接法

對(duì)常見(jiàn)的一些簡(jiǎn)單的極限問(wèn)題可以直接由不等式|xn-a|<ε解出N。其過(guò)程如下：

首先對(duì)ε>0，從|xn-a|<ε分析出n>φ（ε），然后取N=[φ（ε）]。

SymboleB@ 1n2=0。

證明：對(duì)ε>0，由|1n2-0|=1n2<ε成立，解得n>1ε。取N=[1ε]，則當(dāng)n>N時(shí)有|1n2SymboleB@ 1n2=0。

二、適當(dāng)放縮法

很多時(shí)候，我們不能直接由不等式|xn-a|<ε得到N，此時(shí)我們可以采用適當(dāng)?shù)姆趴s，具體過(guò)程如下：首先將|xn-a|適當(dāng)放大成f（n），即不等式|xn-a|0，分析出f（n）<ε成立時(shí)n所要滿足的條件n>φ（ε）;最后取N=[φ（ε）]。

例2.已知xn=（-1）n（n+1）2，證明數(shù)列xn的極限是0。

證明：對(duì)ε>0，欲使|xn-0|=|（-1）n（n+1）2|=1（n+1）2<（1）1n2<（2）ε成立，由不等式1n2<ε解得：n>1ε，由于上述式子中的等式和不等號(hào)（1）對(duì)于任意的正整數(shù)n都是成立的，因此取N=[1ε]，則當(dāng)n>N時(shí)，不等號(hào)（2）成立，進(jìn)而上述系列等式和不等式均成立，所以當(dāng)n>N時(shí)，|xn-0|<ε。

注：在利用數(shù)列極限的定義來(lái)論證某個(gè)數(shù)a是數(shù)列xn的極限時(shí)，重要是對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，要能夠指出定義中所說(shuō)的這種正整數(shù)N確實(shí)存在。如果知道xn-a<ε當(dāng)然也成立。若令這個(gè)量小于ε能推出符合定義要求的正整數(shù)N必定存在，就可采用這種方法。例2便是這樣做的。當(dāng)然，在利用極限定義證明極限時(shí)，如果能夠具體找出一個(gè)滿足定義要求的正整數(shù)N，那么也就證明了這種N的存在。在例2中，若設(shè)ε<1，就可取N=1。在以后的證明中，多采取這種找出一個(gè)符合定義要求的正整數(shù)N的方法。

三、適當(dāng)放大條件法

有時(shí)需要對(duì)n加以限制的條件下，對(duì)|xn-a| 進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯螅凶鲞m當(dāng)放大條件法。過(guò)程如下：首先把|xn-a|作為條件適當(dāng)放大成f（n），亦當(dāng)n>N1時(shí)，有|xn-a|

其次對(duì)任意的ε>0，分析出f（n）<ε成立時(shí)滿足的條件N2。最后：取N=maxN1，N2。

SymboleB@ n+4n2+n+1=0。

證明：當(dāng)n>4時(shí)，

n+4n2+n+1-0=n+4n2+n+1

要使n+4n2+n+1-0<ε，只要使2n<ε成立，即n>2ε。故取N=max4，2ε，則當(dāng)n>N時(shí)，SymboleB@ n+4n2+n+1=0。

注：對(duì)于一個(gè)有多項(xiàng)組成的代數(shù)式，可適當(dāng)放大或者縮小為這個(gè)代數(shù)式的一部分。如：

n2+n+1>n2

n2+n+1>n

n2-n

n（n+1）2>n+1

四、反證法

在文章中反證法主要是為了解決關(guān)于數(shù)列發(fā)散的問(wèn)題。但本質(zhì)上還是利用極限的定義，只不過(guò)是從另一個(gè)角度來(lái)闡述數(shù)列極限的定義，鞏固我們對(duì)其定義的理解。

例4.證明數(shù)列xn=（-1）n+1，n=1，2，…，是發(fā)散的。

SymboleB@ xn=a，取ε=14。存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，|xn-a|<14成立。

即當(dāng)n>N時(shí)，xn都在開(kāi)區(qū)間a-14，a+14內(nèi)。但這是不可能，因?yàn)閚→

SymboleB@ 時(shí)，xn不斷的重復(fù)取得-1和1這兩個(gè)數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)不可能同時(shí)屬于長(zhǎng)度為12的開(kāi)區(qū)間a-14，a+14內(nèi)。所以數(shù)列xn=（-1）n+1是發(fā)散的。

以上是數(shù)列極限定義證明數(shù)列極限的幾種常用的方法，但對(duì)于不同的題目所用的方法不是唯一的，也不是一成不變的，有的題目可能需要結(jié)合幾種不同的方法，這需要我們做題時(shí)認(rèn)真觀察，深入思考，通過(guò)不斷的做題總結(jié)，相信初學(xué)者一定能夠更好的掌握，運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室，高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（11626032），安徽省高校自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2016A426）

作者簡(jiǎn)介：解曉娟，碩士，助教，環(huán)模理論。