分次投射蓋和交換分次完全環(huán)

謝雅靜, 王芳貴, 吳小英

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

1 引言與預(yù)備知識

完全環(huán)的研究可以追溯到1957年Eilenberg等[1]的工作,他們引入了“極小滿同態(tài)”的概念.Eilenberg[2]稱一個(gè)模范疇為“完全的”,如果每個(gè)模都存在極小滿同態(tài).極小滿同態(tài)也是Bass討論的所謂投射蓋[3].模范疇的完全性也就是后來學(xué)者所說的完全環(huán).Bass證明了環(huán)R為左完全環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每一個(gè)左R-模的平坦維數(shù)與投射維數(shù)相等,等價(jià)于R/J(R)是半單環(huán),且J(R)是左T-冪零理想,也等價(jià)于R有關(guān)于右主理想的降鏈條件.完全環(huán)的研究引發(fā)了許多環(huán)類的研究.例如,文獻(xiàn)[4-5]把任意非零R-模都有極大子模的環(huán)R稱為Bass環(huán),并給出了系統(tǒng)的刻畫.

分次環(huán)起源于代數(shù)幾何學(xué)的研究發(fā)展,分次環(huán)的研究與群環(huán)、交叉積、不動(dòng)子環(huán)等理論有密切聯(lián)系.20世紀(jì)80年代以來,很多學(xué)者將一些重要的環(huán)類與模類的研究應(yīng)用于分次環(huán)上,產(chǎn)生了對應(yīng)的分次環(huán)類與模類，例如,分次投射模、分次半單模與分次半單環(huán)等分次模類和分次環(huán)類的基本概念,參見文獻(xiàn)[6-7].其他分次模類與分次環(huán)類例如:文獻(xiàn)[8]刻畫了分次Gorenstein平坦模的性質(zhì),繼而文獻(xiàn)[9]討論了Gorenstein分次投射蓋的存在性.文獻(xiàn)[10]定義(左)分次Bass環(huán)為每個(gè)非零分次(左)R-模都有極大分次子模的分次環(huán),也給出了相應(yīng)的刻畫.

交換的完全環(huán)還有一些更精細(xì)的結(jié)構(gòu).例如,文獻(xiàn)[14]得到交換完全環(huán)可以表示為有限個(gè)局部完全環(huán)的直積.本文也通過類比未分次完全環(huán)的刻畫,展開對分次多余子模、分次投射蓋與分次半完全環(huán)的討論,在交換條件下給出了分次完全環(huán)的其他等價(jià)刻畫.盡管未分次模范疇的許多命題在分次模范疇都有一條對應(yīng)的命題,但這些對應(yīng)命題的實(shí)現(xiàn)仍需要做好細(xì)致的轉(zhuǎn)換工作.文獻(xiàn)[15]沿用未分次情形的多余子模和投射蓋的研究路線,引入和成功刻畫了分次半完全環(huán).從文獻(xiàn)[15]的研究中可以看到該文命題2.4的證明就是一個(gè)細(xì)致轉(zhuǎn)換的例子.本文為了給出分次完全環(huán)的一些等價(jià)刻畫,需要改造Bass的T-冪零方法,更明確地,即改造文獻(xiàn)[16]的定理3.10.19,使之適合于分次情形.最后也給出了是分次完全環(huán),但不是完全環(huán)的例子.

設(shè)σ,τ∈G,令M(σ)τ=Mτσ,則

是分次模,稱為M的σ-平移.

給定分次同態(tài)f:M→N,σ∈G,則f誘導(dǎo)同態(tài)fσ:M(σ)→N(σ),使得fσ(x)=f(x),x∈M(σ)τ,τ∈G.因此有fσ是單分次同態(tài)(或滿分次同態(tài),分次同構(gòu))當(dāng)且僅當(dāng)f是單分次同態(tài)(或滿分次同態(tài),分次同構(gòu)).容易看到,若0→A→B→C→0是分次正合列,則誘導(dǎo)序列0→A(σ)→B(σ)→C(σ)→0也是分次正合列.

用Homgr(M,N)表示從M到N的分次同態(tài)的集合.盡管假設(shè)R是交換環(huán),但Homgr(M,N)只是一個(gè)Re-模.

令HomR(M,N)σ=Homgr(M,N(σ)),則

是分次模.

用Extngr(-,-)表示Homgr(-,-)的右導(dǎo)出函子,令ExtnR(M,N)σ=Extngr(M,N(σ)),以及

以下用R-gr表示分次R-模范疇,gr-pdRM表示分次模M的分次投射維數(shù).相關(guān)的概念和符號,函子Hom、Ext的諸多性質(zhì),均參見文獻(xiàn)[6-7].未分次模范疇的相關(guān)概念和符號是常規(guī)的,可參見文獻(xiàn)[16-17].

2 分次多余子模

分次多余子模對分次投射蓋的刻畫極為重要,本節(jié)討論分次多余子模的相關(guān)性質(zhì).在文獻(xiàn)[7]中,設(shè)M是分次模,N是M的分次子模.稱N為M的分次多余子模,是指對于M的分次子模U,由N+U=M能推出U=M.顯然分次多余子模的分次子模仍然是分次多余子模.為了確定分次多余子模的范圍,需要模的分次Jacobson根概念(參見文獻(xiàn)[7]).設(shè)M是分次模,M的全部極大分次子模的交叫做M的分次Jacobson根,用Jg(M)表示,即

Jg(M)=∩{A|A是M的極大分次子模}.

若M無極大分次子模,則規(guī)定Jg(M)=M.

引理 2.1設(shè)M是分次模.1) 設(shè)A是M的分次子模,則A是M的極大分次子模當(dāng)且僅當(dāng)對任何齊次元素x∈M-A,有Rx+A=M.

2) 設(shè)x∈h(M),則Rx不是分次多余子模當(dāng)且僅當(dāng)存在M的極大分次子模A,使得x?A.

證明1) 類似于未分次情形的證明.

2) 設(shè)Rx不是M的分次多余子模.令Γ是使得Rx+B=M的真分次子模B的集合.顯然,當(dāng)B∈Γ時(shí),x?B.由條件,Γ非空.由Zorn引理,Γ中有極大元A.若B是M的分次子模,且A?B.由于Rx+A=M,故Rx+B=M.由A的極大性,有B=M.故A是M的極大分次子模.

反之,設(shè)A是M的極大分次子模,且x?A,則Rx+A=M,從而有A≠M(fèi).故Rx不是M的分次多余子模.

引理 2.21) 設(shè)M是分次單模,a∈Jg(R),則aM=0.

2) 設(shè)M是分次模,A是M的極大分次子模,則Jg(R)M?A.

證明1) 由文獻(xiàn)[6]的引理1.7.2,存在R的極大分次理想m,以及σ∈G,使得M?(R/m)(σ).于是M也是分次R/m-模.由于a∈m,故有aM=0.

2) 對任何a∈Jg(R),由于M/A是分次單模[6],故由1)有a(M/A)=0,從而有aM?A.由此得到Jg(R)M?A.

命題 2.3設(shè)M是分次模,N是M的分次子模.

1)Jg(R)M?Jg(M).

2)Jg(N)?Jg(M).

證明不失一般性,設(shè)M有極大分次子模.

1) 設(shè)A是M的極大分次子模,由引理2.2,Jg(R)M?A,由此得到Jg(R)M?Jg(M).

2) 設(shè)A是M的極大分次子模,若N∩A,則Jg(N)?A.若NA,則對任何齊次元素x∈N-N∩A,有Rx+A=M.故N=N∩M=Rx+N∩A.由引理2.1,從而有N∩A是N的極大分次子模.因此Jg(N)?N∩A?A,即有Jg(N)?Jg(M).

分次模范疇的自由對象稱為分次自由模,即基底為齊次元素的自由模[7].

命題 2.4設(shè){Mi}是一簇分次模,則

命題 2.5設(shè)M是分次模,N是M的分次子模.

1) 若N是M的分次多余子模,則N?Jg(M).

2) 若M的每個(gè)分次真子模包含在一個(gè)極大分次子模中,則N是M的分次多余子模當(dāng)且僅當(dāng)N?Jg(M).特別地,Jg(M)是M的分次多余子模.

證明1) 設(shè)齊次元素x∈N,則Rx是分次多余子模.若x?Jg(M),則存在M的極大分次子模A,使得x?A.由引理2.1,Rx不是分次多余子模,矛盾.

2) 必要性由1)即得.反之,設(shè)N?Jg(M).設(shè)U是M的分次子模,且N+U=M.若U≠M(fèi),由條件,存在M的包含U的極大分次子模A.由于N?Jg(M)?A,得到N+U?A≠M(fèi),矛盾.故N是M的分次多余子模.

推論 2.6設(shè)M是有限生成分次模,則有:

1)M一定有極大分次子模;

2) 設(shè)N是M的分次子模,則N是M的分次多余子模當(dāng)且僅當(dāng)N?Jg(M).

例 2.71) 設(shè)M是有限生成分次模.由文獻(xiàn)[7]的定理6.3.10,當(dāng)G是有限群時(shí),有Jg(M)?J(M),其中J(M)是M的Jacobson根,即M的極大子模的交.特別地,當(dāng)G是有限群時(shí),Jg(R)?J(R),其中J(R)是環(huán)R的Jacobson根.

2) 一般來說,未必有Jg(R)?J(R).例如,設(shè)K是域,多項(xiàng)式環(huán)R=K[x]視為Z-分次環(huán),即當(dāng)n≥0時(shí),Rn=Kxn,當(dāng)n<0時(shí),Rn=0,則J(R)=0.但(x)是R的分次多余子模,故Jg(R)≠0.這也說明了分次多余子模未必是多余子模.

命題 2.8[15]記J=Jg(R).設(shè)P是非零的分次投射模,則Jg(P)=JP≠P,從而P有極大分次子模.

3 分次投射蓋

分次模M的分次投射蓋在文獻(xiàn)中常常表述為R-gr中的投射蓋(參見文獻(xiàn)[7]的推論6.3.11),即存在分次投射模P,與分次滿同態(tài)φ:P→M,使得Ker(φ)是P的分次多余子模.

引理 3.1設(shè)M是分次模,P是分次投射模,φ:P→M是滿分次同態(tài),且Ker(φ)是P的分次多余子模,則有:

1) 設(shè)P1是分次投射模,g:P1→M是滿分次同態(tài),h:P1→P是分次同態(tài),且φh=g,則h是滿分次同態(tài).

2) 若M是分次投射模,則φ是分次同構(gòu).

證明1) 設(shè)x∈P.由于g是滿分次同態(tài),故存在y∈P1,使得g(y)=φ(x)=φh(y).于是u:=x-h(y)∈Ker(φ).從而有Ker(φ)+h(P1)=P.由Ker(φ)是P的分次多余子模,有h(P1)=P,即h是滿分次同態(tài).

2) 由條件,Ker(φ)是P的直和加項(xiàng),又Ker(φ)是P的分次多余子模,故Ker(φ)=0.因此φ是分次同構(gòu).

定理 3.21) 設(shè)J=Jg(R).

2) 設(shè)I是R的分次理想,且I?J,P是有限生成分次投射模.設(shè)π:P→P/IP是自然分次同態(tài),則(P,π)是P/IP的分次投射蓋.

證明1) 由命題2.5,Ker(π)=IP是P的分次多余子模,故(P,π)是P/IP的分次投射蓋.

其中頂行是分次正合列,從而底行也是分次正合列.由命題2.5與命題2.8,N?JP,故

Im(N/JN→P/JP)=(N+JP)/JP=0,

定理 3.3設(shè)I是R的分次理想,且I?Jg(R).設(shè)P是有限生成分次投射模,F是有限生成分次模.

2) 若F分次投射模,且F/IF?P/IP,則F?P.

證明1) 由條件有下面的兩行是分次正合列的交換圖:

2) 設(shè)g:F/IF→P/IP是分次同構(gòu).由于F是分次投射模,故存在分次同態(tài)f:F→P,使得下圖可交換:

由1)有f是分次同構(gòu)的.

引理 3.4設(shè)I是R的分次理想,M是分次模,x,z1,…,zn∈M是一組齊次元.

1) 若有不全為零的a1,…,an∈I,使得

a1z1+…+anzn=0,

則有不全為零的齊次元b1,…,bn∈I,使得

b1z1+…+bnzn=0.

2) 若有a1,…,an∈I,使得

x=a1z1+…+anzn,

則有齊次元b1,…,bn∈I,使得

x=b1z1+…+bnzn,

且deg(bi)deg(zi)=deg(x),i=1,2,…,n.

從而對任何μ∈G,只要σiτi=μ,就有

(a1)σ1z1+…+(an)σnzn=0.

因?yàn)閍1,…,an不全為0,不妨設(shè)a1≠0.故存在σ1∈G,使得(a1)σ1≠0.令μ=σ1τ1,σi=μτi-1,i=2,3,…,n.再令bi=(ai)σi,i=1,2,…,n,則b1,…,bn即為所求.

2) 證明方法與1)類似的.

引理 3.5設(shè)K是分次域,M是分次K-模,則M是分次自由模.

證明不妨設(shè)M≠0.欲證M是分次自由模,只要證明M有一個(gè)由齊次元素構(gòu)成的基底即可.

下面證明X就是M的生成系,從而M是以X為基底的分次自由模.設(shè)F是M的由X生成的分次子模,則F是M的分次自由子模.下證M=F.若不然,則存在x∈h(M),x?F.于是x不可由X中的有限個(gè)元素線性表示.令X1=X∪{x},則對任何有限個(gè)元素x1,x2,…,xn∈X,x,x1,…,xn是線性無關(guān)的,即X1是分次線性無關(guān)的子集.事實(shí)上,若有不全為零的k,k1,…,kn∈K,使得

kx+k1x1+…+knxn=0.

由引理3.4,不妨設(shè)k,k1,…,kn都是齊次元.若k=0,則由x1,…,xn是分次線性無關(guān)得到k1=…=kn=0,這是不可能的,故k≠0,于是k是可逆元,因此有

x=-k-1(k1x1+…+knxn)∈F.

這與x?F矛盾.于是X1是分次線性無關(guān)子集,這又與X的極大性矛盾.故M=F是分次自由模.

設(shè)M是有限生成分次模,則M的生成元可取作齊次元.

設(shè)x1,…,xn是齊次元且生成M,則稱X={x1,…,xn}為M的齊次生成系.若X中刪除任何一個(gè)齊次元素后都不再是M的齊次生成系,則X稱為M的齊次極小生成系.回顧分次環(huán)R稱為分次局部環(huán),是指R只有一個(gè)極大的分次理想.若該唯一極大理想記作m,則也常用(R,m)來表達(dá)R是以m為唯一極大分次理想的分次局部環(huán),此時(shí)有Jg(R)=m,且R/m是分次域(參見文獻(xiàn)[18]的定義2.1和定理2.2).由引理3.5,每個(gè)分次R/m-模是分次自由模.

引理 3.7設(shè)(R,m)是分次局部環(huán),M是有限生成分次模.設(shè)x1,…,xn是M的齊次極小生成系,F是以齊次元e1,…,en為基底的分次自由模.設(shè)分次同態(tài)φ:F→M,使得φ(ei)=xi,i=1,…,n,則(F,φ)是M的分次投射蓋.從而分次局部環(huán)上任何有限生成分次模有分次投射蓋.

故有Ker(φ)?mF.由推論2.6,Ker(φ)是F的分次多余子模.從而(F,φ)是M的分次投射蓋.

推論 3.8設(shè)(R,m)是分次局部環(huán),P是有限生成分次投射模,則P是分次自由模.

證明設(shè)φ:F→P是P的分次投射蓋.從定理3.7的證明過程看到,F是有限生成分次自由模.由引理3.1,φ是分次同構(gòu).因此P是分次自由模.

例 3.9由文獻(xiàn)[7]的推論6.3.11,若G是有限群,則分次投射蓋一定是投射蓋.但一般來說,分次投射蓋未必有投射蓋.仍沿用例2.7之分次環(huán)R=K[x],則R→R/(x)是分次投射蓋,但不是投射蓋.

4 分次完全環(huán)

由文獻(xiàn)[15]引入的分次半完全環(huán)的定義:若R/Jg(R)是分次半單環(huán),且次數(shù)為e的冪等元ε模Jg(R)可以提升到R,則R稱為分次半完全環(huán).可以用齊次冪等元來代替次數(shù)為e的冪等元的說法.

引理 4.1設(shè)ε∈R是齊次冪等元,則ε∈Re.

證明設(shè)ε∈Rσ,不妨設(shè)ε≠0.由于ε=ε2∈Rσ2,有σ2=σ,故σ=e.

引理 4.31)R=I⊕J,其中I和J是R的分次理想,則I=Rε,J=R(1-ε),其中ε是齊次冪等元.

2) 若上面的I是分次單理想(亦稱分次極小理想),則I是以ε為單位元的分次域.

證明1) 由于R=I⊕J,則可設(shè)I=Rε,J=Rε′,其中ε∈I,ε′∈J,ε和ε′是冪等元,且1=ε+ε′.記

2) 令J=R(1-ε),則J是R的分次理想,且R=I⊕J.考慮投影映射p:R→I,使得p(a+b)=a,其中a∈I,b∈J.則顯然有p是分次環(huán)的滿分次同態(tài).由于I是R的分次單理想,以及I?R/J,則J是R的極大分次理想[6].由文獻(xiàn)[18]的定義2.1與定理2.2,因此有I?R/J是分次域.

回顧非零的分次模M稱為分次單模,是指M只有平凡的分次子模.M稱為分次半單模,是指M可表示為分次單子模的直和.分次環(huán)R稱為分次半單環(huán),是指R作為R-模是分次半單模.在文獻(xiàn)[6]中指出分次環(huán)R是分次半單環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R=L1⊕…⊕Ln,其中每個(gè)Li是R的分次單理想.若R為分次半單環(huán),則Re是半單環(huán)[6].分次半單環(huán)也有所謂的分次版本的Weddenburn定理如下.

命題 4.4設(shè)R為分次半單環(huán),則R?K1×…×Kn,其中每個(gè)Ki是分次域.

定理 4.5對于分次環(huán)R,以下各條等價(jià):

1)R是分次半完全環(huán);

2)R/Jg(R)是分次半單環(huán),且R/Jg(R)中的齊次冪等元可以提升到R;

3)R有一個(gè)齊次冪等元的完全正交系ε1,…εn,使得每個(gè)εiR是分次局部環(huán);

4)R是有限個(gè)分次局部環(huán)的直積,即R?R1×…×Rn,其中每個(gè)Ri是分次局部環(huán);

5) 每個(gè)分次循環(huán)模都有分次投射蓋.

證明記J=Jg(R).

1)?2) 由引理4.1即得.

1)?3) 由于R/J是分次半單環(huán),由命題4.4,可設(shè)R/J=K1×…×Kn,其中Ki是分次域.設(shè)1i表示Ki的單位元,則xi=(0,…,0,1i,0,…,0)是R/J的齊次冪等元.故存在R的齊次冪等元εi,使得εi=xi,i=1,…,n.由于i≠j時(shí),xixj=0,故εiεj∈J∩Re=J(Re).注意J(Re)中的冪等元只有0,故εiεj=0.由此可得ε1+…+εn=1,即{ε1,…,εn}是R的齊次冪等元的完全正交系.于是R=ε1R⊕…⊕εnR.由于J=ε1J⊕…⊕εnJ,故R/J=(ε1R/ε1J)⊕…⊕(εnR/εnJ).由命題2.4,εiJ=Jg(εiR).由于εiR/εiJ?Ki是分次域,故εiR是分次局部環(huán).

3)?4)?2) 顯然.

1)?5) 由文獻(xiàn)[15]的定理3.5可得.

5)?1) 設(shè)x∈R/J是齊次冪等元,由假設(shè),分次模Rx有分次投射蓋.設(shè)φ:P→Rx是分次投射蓋.設(shè)g:R→Rx是自然分次同態(tài),即g(r)=rx,其中r∈R.由于x∈(R/J)e,故g是滿分次同態(tài).由引理3.1,存在滿分次同態(tài)h:R→P,使得下圖

設(shè)J?A?R,則R/A是分次循環(huán)模.上面證明過程已經(jīng)說明,存在齊次冪等元ε∈R,及分次同態(tài)φ:εR→R/A,使得φ:εR→R/A是分次投射蓋.記I=Ker(φ),則I是εR的分次多余子模,從而I?Jg(εR)?J.于是I=εI,且

R/A?εR/εI,Jg(εR/εI)=Jg(εR)/εI=εJ/εI.

推論 4.61) 設(shè)R是分次半完全環(huán),I是R的分次理想,則R/I也是分次半完全環(huán).

2) 分次半單環(huán)和分次局部環(huán)都是分次半完全環(huán).

命題 4.71) 設(shè)P是分次投射模,則對任何σ∈G,P(σ)也是分次投射模.

2) 設(shè)F是分次自由模,則對任何σ∈G,F(σ)也是分次自由模.

3) 設(shè)τ1,τ2,…,τn,…是G中的元素序列,則存在分次自由模F,其基底為x1,x2,…,xn,…,使得xn∈Fτn,n=1,2,….

證明1) 設(shè)0→A→B→C→0是分次正合列,則

0→A(σ-1)→B(σ-1)→C(σ-1)→0

也是分次正合列.于是有下面的交換圖:

由于P是分次投射模,故頂行是正合列,因此底行也是正合列.于是有P(σ)是分次投射模.

2) 對F=R證明即可.由于R是以x:=1∈Re為基底的分次自由模,則容易看到R(σ)是以xσ:=x∈R(σ)σ-1為基底的分次自由模.

引理 4.8設(shè)a1,…,an,…是R中的齊次元素序列,deg(an)=τn.由命題4.7,存在分次自由模F,其基底為齊次元x1,…,xn,…,其次數(shù)為

令

yn=xn-anxn+1,n=1,2,…,

則y1,…,yn,…是齊次元.設(shè)K是F的由y1,…,yn,…生成的分次子模,則有:

1)K是以y1,…,yn,…為基底的分次自由模;

2) 對任何n,y1,…,yn,xn+1,xn+2,…也是F的基底;

3)K=F當(dāng)且僅當(dāng)對任何正整數(shù)k,存在一個(gè)n>k,使得ak…an=0;

4) 若K是F的直和項(xiàng),則分次主理想降鏈

(a1)?(a1a2)?…?(a1…an)?…

是穩(wěn)定的.

證明由引理3.4得

故yn是齊次元,且deg(yn)=deg(xn).其余部分引用文獻(xiàn)[16]的定理3.10.19即得.

定理 4.9設(shè)J是R的分次理想,則以下各條等價(jià):

1)J是T-冪零理想;

2)J是分次T-冪零理想,即如果a1,…,an,…是J中的任何齊次元素序列,則存在正整數(shù)m,使得a1…am=0;

3) 對任何非零分次模M,JM≠M(fèi);

4) 對任何非零分次模M,JM是M的分次多余子模;

5) 對任何分次模M,N(M):={x∈M|Jx=0}是M的分次本性子模.

證明1)?2) 見文獻(xiàn)[12]的引理1.1.

1)?3)?4) 由文獻(xiàn)[16]的定理3.10.20即得.

4)?2) 設(shè)a1,…,an,…∈h(J).由引理4.8,存在分次自由模F,其基底為齊次元素x1,…,xn,…,且yn=xn-anxn+1還是齊次元,n=1,2,….令K是由齊次元素y1,…,yn,…生成的分次子模.于是有F=K+JF.由假設(shè)有K=F.由引理4.8的3),J是分次T-冪零理想.

1)?5) 由文獻(xiàn)[16]的定理3.10.20即得.

5)?2) 類似于未分次情形(參見文獻(xiàn)[16]的定理3.10.20)的證明.

Rafael把滿足分次平坦(左)R-模是(分次)投射模的條件的分次環(huán)叫做左(分)次完全環(huán)[11].定義如果每個(gè)分次R-模有分次投射蓋,則稱R是分次完全環(huán).由定理4.5,顯然有分次完全環(huán)是分次半完全環(huán).在文獻(xiàn)[12]中,設(shè)R是完全分次環(huán)(完全環(huán)又是分次環(huán)),則有R/Jg(R)是分次半單環(huán),且Jg(R)是T-冪零理想;與每個(gè)分次平坦模是(分次)投射模是等價(jià)的.其就是分次完全環(huán)的兩條等價(jià)刻畫.下面為了證明分次完全環(huán)的其他等價(jià)刻畫,先證明分次環(huán)R中的齊次冪等元模分次理想可以提升到R.

1=(x+(1-x))2n=

令

則有

于是可把e與1-e分別表示為

e=xng(x), 1-e=(1-x)nh(x).

因此

e(1-e)=xn(1-x)ng(x)h(x)=0,

定理 4.11(分次版本的Bass定理) 對分次環(huán)R,以下各條等價(jià):

1)R是分次完全環(huán);

2)R/Jg(R)是分次半單環(huán),且每個(gè)非零分次模都有極大分次子模;

3)R?R1×…×Rn,其中每個(gè)Ri是分次局部環(huán),且每個(gè)Jg(Ri)是T-冪零理想;

4) 對任何分次模M,有g(shù)r-pdRM=gr-fdRM;

5)R有關(guān)于分次主理想的降鏈條件;

6) 每個(gè)分次模有關(guān)于分次循環(huán)子模的降鏈條件;

7)R/Jg(R)是分次半單環(huán),且任何非零分次模有分次單子模.

證明令J=Jg(R).

1)?2) 設(shè)R是分次完全環(huán).由定理4.5,R/J是分次半單環(huán).設(shè)M是非零分次模,f:P→M是分次投射蓋,記K=Ker(f).由命題2.8,P有極大分次子模A.由于K是P的分次多余子模,故K?A,因此f(A)就是M的極大分次子模.

2)?3) 設(shè)M是非零分次模.由條件,M有極大分次子模,因此有JM≠M(fèi).由定理4.9,J是T-冪零理想.又R是交換環(huán),則J也是詣零理想.由引理4.10,齊次冪等元關(guān)于J可以提升,因此R是分次半完全環(huán).于是有R?R1×…×Rn,其中每個(gè)Ri是分次局部環(huán).從而每個(gè)Jg(Ri)是T-冪零理想.

3)?1) 由條件,可設(shè)R是分次局部環(huán),且J是T-冪零理想,也是R的唯一的極大分次理想.設(shè)M是非零分次模,由引理3.5,M/JM是分次域R/J上的分次自由模.故存在分次自由模F,使得F/JF?M/JM.因此存在分次同態(tài)g:F→M,使得下圖可交換:

于是有g(shù)(F)+JM=M.由于J是T-分次冪零理想,由定理4.9,JM是M的分次多余子模.從而有g(shù)(F)=M,即g是滿分次同態(tài).由于K:=Ker(g)?JF,從而K是F的分次多余子模,故F→M是M的分次投射蓋.于是得到R是分次完全環(huán).

1)?4) 由文獻(xiàn)[12]的引理1.2易得.

4)?5) 由條件,顯然有分次平坦模是分次投射模.R的分次主理想降鏈可以表示為

(a1)?(a1a2)?…?(a1…an)?…,

其中a1,…,an∈h(R),構(gòu)造分次模F與K如同引理4.8,證M=F/K是分次平坦模,從而M是分次投射模,K是F的直和項(xiàng).再次引用引理4.8,得到該降鏈?zhǔn)欠€(wěn)定的.

5)?6) 設(shè)M=Rx是分次模.則x是齊次元素.若M有不穩(wěn)定的分次子模降鏈Rx?Ra1x?Ra1a2x?…,則每個(gè)ai是齊次元.由于對應(yīng)有R的不穩(wěn)定的分次主理想降鏈R?Ra1?Ra1a2?…,這與假設(shè)矛盾.

6)?7) 先證明任何非零分次模有分次單子模,不妨設(shè)M=Rx是分次循環(huán)模.如果M無分次單子模,則M有一個(gè)非零的分次真子模Ra1x.由于Ra1x也沒有分次單子模,故Ra1x也有一個(gè)非零的分次真子模Ra1a2x.如此下去,得到M的分次子模降鏈Rx?Ra1x?Ra1a2x?…,這與假設(shè)矛盾.因此,M有分次單子模.

欲證R/J是分次半單環(huán),由于R/J也有給定的性質(zhì),于是不妨設(shè)J=0.由條件,R有分次單子模I1.記I1=Rx,x∈h(R),令m1=ann(x),則m1是R的極大分次理想.由于Jg(R)=0,故m1∩I1=0,因此有R=I1⊕m1.若m1≠0,則m1有分次單子模I2,對應(yīng)又得到R=I2⊕m2,以及R=I1⊕I2⊕(m1∩m2).若m1∩m2≠0,則繼續(xù)前面的做法,如此下去.由于每次得到的m1∩…∩mk都是R的直和加項(xiàng),從而是R的分次主理想.于是有R的分次主理想降鏈m1?m1∩m2?…?m1∩…∩mk?….由條件此過程不能無限進(jìn)行下去,故存在n,使得m1∩…∩mn=0,從而R=I1⊕…⊕In是分次半單環(huán).

7)?1) 設(shè)M是非零分次模,令N=N(M)如定理4.9.說N包含了M的全部分次單子模.事實(shí)上,設(shè)H是M的分次單子模,由文獻(xiàn)[6]的引理I.7.2,存在σ∈G,使得H?(R/m)(σ),其中m是R的極大分次理想.因此JH=0,故H?N.設(shè)X是M的任何非零分次子模,由條件,X有分次單子模,因此N∩X≠0.故N是M的分次本性子模.由定理4.9,J是T-分次冪零理想.

文獻(xiàn)[13]證明了若R是有有限支集的分次環(huán),則R是(左)分次完全環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Re是(左)完全環(huán).下面給出R是強(qiáng)分次環(huán)的條件下R與Re的關(guān)系.

證明由于R是分次完全環(huán),則R/Jg(R)是分次半單環(huán),因此(R/Jg(R))e為半單環(huán).由文獻(xiàn)[6]的推論2.9.3,Jg(R)∩Re=J(Re),從而

(R/Jg(R))e=(Re+Jg(R))/Jg(R)?

Re/Jg(R)∩Re=Re/J(Re)

為半單環(huán).

由Jg(R)是T-冪零理想,以及J(Re)?Jg(R),所以J(Re)是T-冪零理想.從而Re為完全環(huán).

當(dāng)G是有限群時(shí),文獻(xiàn)[19]的引理2.1證明了M是分次投射R-模當(dāng)且僅當(dāng)Me是投射Re-模.其實(shí),這一結(jié)論對任何群G都是成立的.

引理 4.13設(shè)R是強(qiáng)分次環(huán),M是分次模,則有:

1)M是分次投射R-模當(dāng)且僅當(dāng)Me是投射Re-模;

2)M是分次平坦R-模當(dāng)且僅當(dāng)Me是平坦Re-模.

證明1) 設(shè)N是分次模,由Dade定理(見文獻(xiàn)[7]的定理3.1.1),則有自然同構(gòu)

故若Me是投射Re-模,必有Extngr(N,M)=0,從而M是分次投射R-模.

反之,設(shè)M是分次投射R-模.對任何Re-模I,令N=R?ReI,則Ne=I.因此有

故Me是投射Re-模.

2) 設(shè)M是分次平坦R-模.設(shè)Q是任何有限表現(xiàn)Re-模,f:Q→Me是Re-同態(tài),則P=R?ReQ是有限表現(xiàn)分次R-模,g=1?f:P→M是分次同態(tài),且Pe=Q.由文獻(xiàn)[8]的命題2.1,存在有限生成分次投射R-模F,使得g=αh,其中α:F→M與h:P→F是分次同態(tài).于是Fe是有限生成投射Re-模,且αe:Fe→Me與he:Pe→Fe滿足αehe=f.由文獻(xiàn)[20]的定理4.32,Me是平坦Re-模.

反之,設(shè)Me是平坦Re-模.設(shè)P是有限表現(xiàn)分次模,g:P→M是分次同態(tài):則ge:Pe→Me是同態(tài).仍由文獻(xiàn)[20]的定理4.32,存在有限生成投射Re-模Q,以及Re-同態(tài)h0:Pe→Q,f0:Q→Me,使得ge=f0h0.令F=R?ReQ,則F是有限生成分次投射R-模,且Fe=Q.由Dade定理,有Homgr(P,F)=HomRe(Pe,Fe),且

Homgr(F,M)=HomRe(Fe,Me).

故存在h∈Homgr(P,F)與f∈Homgr(F,M),使得h|Pe=h0,且f|Fe=f0.由于

Homgr(P,M)=HomRe(Pe,Me),

故有g(shù)=fh.仍由文獻(xiàn)[8]的命題2.1,M是分次平坦R-模.

定理 4.14設(shè)R是強(qiáng)分次環(huán),則R是分次完全環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Re是完全環(huán).

證明必要性由定理4.12即得,下證充分性.

設(shè)M是分次平坦模,由引理4.13的2),Me是平坦Re-模.由于Re是完全環(huán),故Me是投射Re-模.由引理4.13的1),M是分次投射R-模.由定理4.11,R是分次完全環(huán).

例 4.15分次完全環(huán)未必是完全環(huán).例如,設(shè)F是域,羅朗多項(xiàng)式環(huán)R=F[x,x-1]為強(qiáng)Z-分次環(huán).由定理4.14,R為分次完全環(huán).注意完全環(huán)的Krull維數(shù)為0(參見文獻(xiàn)[16]的推論3.10.23),而dim(R)=1,故R不是完全環(huán).