拋物型交換四元數(shù)矩陣實表示的性質及應用

孔祥強

(菏澤學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 山東 菏澤 274015)

對一般四元數(shù)的研究是克利福德代數(shù)研究的重要方向，并已取得相當豐碩的成果[1-5].隨著四元數(shù)研究的深入，部分學者展開對分裂四元數(shù)的探討，取得部分成果[6-10].而對乘法滿足交換性的交換四元數(shù)代數(shù)理論研究的成果并不多.文獻[11]首次研究了乘法滿足交換律的四元數(shù)及其矩陣問題；文獻[12]對交換四元數(shù)進行了分類，具體分為橢圓型交換四元數(shù)、拋物型交換四元數(shù)和雙曲型交換四元數(shù);文獻[13]對橢圓型交換四元數(shù)及其矩陣進行了研究并得到系列結果.本文研究的是拋物型交換四元數(shù)，推導出此類交換四元數(shù)矩陣實表示的系列結果，并給出了拋物型交換四元數(shù)矩陣計算的系列性質.

1 拋物型交換四元數(shù)及其實表示

定義 1[12]設R表示實數(shù)域，H={a=a0+ia1+ja2+ka3;a0,a1,a2,a3∈R}，且i2=0，j2=1，k2=0，ijk=0，ij=ji=k，jk=kj=i，ki=ik=0，稱滿足條件的交換四元數(shù)a為拋物型交換四元數(shù)，記a∈H.

拋物型交換四元數(shù)a=a0+ia1+ja2+ka3的共軛主要有3種形式，分別記作:

a(1)=a0+ia1-ja2-ka3，

a(2)=a0-ia1+ja2-ka3，

a(3)=a0-ia1-ja2+ka3，

可得:

定理 1任一拋物型交換四元數(shù)都可表示為實數(shù)域上的4階矩陣.

證明設a=a0+ia1+ja2+ka3∈H，a0,a1,a2,a3∈R，定義映射σa:H→H，σa(d)=da，?d∈H，則σa為雙射且:

σa(1)=1a=a0+ia1+ja2+ka3，

σa(i)=ia=ia0+ka2，

σa(j)=ja=a2+ia3+ja0+ka1，

σa(k)=ka=ia2+ka0.

依此映射，可定義拋物型交換四元數(shù)集合為4階實矩陣集合

M4×4(R)=

的子集合，H和M4×4(R)本質是相同的.故對拋物型交換四元數(shù)的研究可轉化為實數(shù)域上4階矩陣的研究.實數(shù)域上4階矩陣的性質即為H上拋物型交換四元數(shù)的性質.稱

為a的實表示，記作AR.

2 拋物型交換四元數(shù)矩陣實表示的性質及應用

設Α=A0+iA1+jA2+kA3∈Mn×n(H)，其中A0,A1,A2,A3∈Mn×n(R)，稱A為拋物型交換四元數(shù)矩陣.定義A的實表示形式為

記

M4n×4n(R)=

則拋物型交換四元數(shù)矩陣集合Mn×n(H)和實數(shù)域上4n階矩陣集合M4n×4n(R)本質上是相通的.實數(shù)域上4n階矩陣的性質可直接導出H上拋物型交換四元數(shù)矩陣的性質.對拋物型交換四元數(shù)矩陣的研究可轉化為對實數(shù)域上4n階矩陣的研究.

若A,B∈Mn×n(H)，且AB=BA=In，In為n階單位矩陣，則稱A可逆，記A-1=B.

性質 1設A,B∈Mn×n(H)，且滿足AB=In，則BA=In.

證明

A=A0+iA1+jA2+kA3，

B=B0+iB1+jB2+kB3,

A0,A1,A2,A3∈Mn×n(R),

B0,B1,B2,B3∈Mn×n(R)，AB=In，

則

AB=(A0B0+A2B2)+i(A0B1+A1B0+

A2B3+A3B2)+j(A0B2+A2B0)+

k(A0B3+A1B2+A2B1+A3B0)，

故

A0B0+A2B2=In，

A0B1+A1B0+A2B3+A3B2=0，

A0B2+A2B0=0，

A0B3+A1B2+A2B1+A3B0=0.

則

所以

B0A0+B2A2=In，

B0A1+B1A0+B2A3+B3A2=0，

B0A2+B2A0=0，

B0A3+B1A2+B2A1+B3A0=0.

又

BA=(B0A0+B2A2)+i(B0A1+B1A0+

B2A3+B3A2)+j(B0A2+B2A0)+

k(B0A3+B1A2+B2A1+B3A0)，

故BA=In.

定義 2[13]設A∈Mn×n(H)，λ∈H，對于非零列向量x，若有Ax=λx，則稱λ為A的特征值，x為屬于特征值λ的特征向量.A所有特征值的集合稱為A的譜，記作

ψ(A)={λ∈H:Ax=λx,x≠0}.

性質 2設A∈Mn×n(H)，則A有2n個復特征值.

證明令

A=A0+iA1+jA2+kA3，
x=x0+ix1+jx2+kx3，

λ為A的特征值，由Ax=λx，則

(A0+iA1+jA2+kA3)(x0+ix1+jx2+kx3)=

λ(x0+ix1+jx2+kx3),

展開

A0x0+A2x2=λx0，

A0x1+A1x0+A2x3+A3x2=λx1，

A0x2+A2x0=λx2，

A0x3+A1x2+A2x1+A3x0=λx3.

即

故An×n有2n個復特征值.

推論 1設A∈Mn×n(H)，C為復數(shù)域，ψ(AR)={λ∈C:ARv=λv,v≠0}為AR的譜，AR為A的實表示，則

ψ(A)∩C=ψ(AR).

定理 2設

A=A0+iA1+jA2+kA3∈Mn×n(H)，
λ=λ0+iλ1+jλ2+kλ3，

則λ為A的特征值當且僅當存在n維非零實列向量(x0,x1,x2,x3)T，滿足

證明由Ax=λx，則

(A0+iA1+jA2+kA3)(x0+ix1+jx2+kx3)=

(λ0+iλ1+jλ2+kλ3)(x0+ix1+jx2+kx3),

展開

A0x0+A2x2=λ0x0+λ2x2，

A0x2+A2x0=λ0x2+λ2x0，

A1x0+A0x1+A2x3+A3x2=λ0x1+λ1x0+

λ2x3+λ3x2,A0x3+A1x2+A2x1+A3x0=

λ0x3+λ1x2+λ2x1+λ3x0，

則

(A0-λ0In)x0+(A2-λ2In)x2=0,

(A2-λ2In)x0+(A0-λ0In)x2=0，

(A1-λ1In)x0+(A0-λ0In)x1+

(A3-λ3In)x2+(A2-λ2In)x3=0,

(A3-λ3In)x0+(A2-λ2In)x1+

(A1-λ1In)x2+(A0-λ0In)x3=0,

故

定義 3[13]設A∈Mn×n(H)，則A的a-行列式定義為|A|a=|AR|.

定理 3設A=A0+iA1+jA2+kA3∈Mn×n(H)，則下列命題等價:

1) |A|a≠0，即A可逆；

2)Ax=0有唯一解；

3) |AR|≠0，即AR可逆.

證明1)?2) 顯然成立.

2)?3)

A=A0+iA1+jA2+kA3，
x=x0+ix1+jx2+kx3，

其中,A0、A1、A2、A3為實矩陣，x0、x1、x2、x3為實列向量.

Ax=(A0+iA1+jA2+kA3)×

(x0+ix1+jx2+kx3)=

(A0x0+A2x2)+i(A1x0+A0x1+A2x3+A3x2)+

j(A0x2+A2x0)+k(A0x3+A1x2+A2x1+A3x0)，

由Ax=0得

A0x0+A2x2=0，

A1x0+A0x1+A2x3+A3x2=0，

A0x2+A2x0=0，

A0x3+A1x2+A2x1+A3x0=0，

則

即

AR(x0,x1,x2,x3)T=0.

由Ax=0有唯一解，故

AR(x0,x1,x2,x3)T=0

有唯一解，則|AR|≠0，即AR可逆.

3)?1) 由AR可逆的定義，存在BR，滿足

故

B0A0+B2A2=In，

B1A0+B0A1+B3A2+B2A3=0，

B2A0+B0A2=0，

B3A0+B2A1+B1A2+B0A3=0.

由此得

(B0A0+B2A2)+

i(B1A0+B0A1+B3A2+B2A3)+

j(B2A0+B0A2)+k(B3A0+B2A1+

B1A2+B0A3)=In,

即BA=In，由性質1知AB=In，故A可逆，|A|a≠0.

定義 4[13]設a=a0+ia1+ja2+ka3∈H，拋物型交換四元數(shù)a的范數(shù)定義為

定理 4設A=(aij)∈Mn×n(H)，則

證明A=(aij)∈Mn×n(H)，λ為A的特征值，x為屬于λ的特征向量，Ax=λx.不妨設xi為x的第i個分量，且滿足

‖xi‖≥‖xj‖,j=1,2,…,n，

則‖xi‖≥0.λxi為Ax的第i個分量，則

故

即

取范數(shù)

則

故

則

注 1定理4即為拋物型交換四元數(shù)矩陣所滿足的蓋爾圓盤定理.

3 算例

設

則

AR的譜ψ(AR)={i,-i,i,-i,i,-i,i,-i}.

蓋爾圓盤

G1={q∈C:‖q+i‖≤1}，

G2={q∈C:‖q-i‖≤1}，

故

ψ(A)∩C?G1∪G2.

4 結束語

對交換四元數(shù)及交換四元數(shù)矩陣的研究引起了科研工作者的濃厚興趣.本文充分利用拋物型交換四元數(shù)矩陣的實表示，并結合矩陣的運算及性質，得到交換四元數(shù)矩陣特征值存在的充要條件及蓋爾圓盤定理，為進一步研究拋物型交換四元數(shù)矩陣的可對角化問題、逆矩陣問題、行列式問題等提供了重要支撐.另外，以實表示為基礎，還可深入探討復表示意義下交換四元數(shù)及交換四元數(shù)矩陣的其他問題.

致謝菏澤學院教學改革重點課題項目(2015010)對本文給予了資助，謹致謝意.