基于解析解的高烈度地震區(qū)隧道減震層減震機(jī)理研究

肖紅武, 陳 濤

(1.中鐵二十三局集團(tuán)有限公司， 四川成都 610072；2. 中鐵二十局集團(tuán)有限公司海外部， 陜西西安 710016)

1 概述

我國(guó)存在大量的高烈度地震區(qū)，如在隧道襯砌體系中設(shè)計(jì)減震層，往往是在初期支護(hù)與圍巖之間設(shè)置減震層，隧道襯砌減震體系為“圍巖-減震層-襯砌”體系[1]。但由于我國(guó)大多數(shù)隧道普遍采用新奧法施工，錨噴支護(hù)結(jié)構(gòu)用于初期支護(hù)，使得減震層不易施作。一些學(xué)者也對(duì)“圍巖-初期支護(hù)-減震層-二次襯砌”體系進(jìn)行了研究[2-4]，由圖1(a)所示。

(a)減震層布置示意

(b)減震層布置示意圖1 帶減震層的襯砌模型

由減震層將初期支護(hù)與二次襯砌連接起來(lái)，力學(xué)模型的處理：將處于初期支護(hù)、二次襯砌之間的減震層，簡(jiǎn)化為彈簧連接，假定彈簧彈性勁度系數(shù)為kc；由文獻(xiàn)可知[5-7]，可以將初期支護(hù)等效為彈性地基上的Timoshenko梁，見(jiàn)圖1(b)中的2#梁，初期支護(hù)與圍巖之間的接觸作用，可通過(guò)設(shè)地層圍巖的彈性地基抗力系數(shù)為kg來(lái)簡(jiǎn)化，二次襯砌也可等效為另一根Timoshenko梁，見(jiàn)圖1b中1#梁，從而可以得到疊合梁模型，其中T1、T2分別代表地震過(guò)程二次襯砌、初期支護(hù)所受的縱向擠壓。

2 控制方程

由文獻(xiàn)[5,8]可知，按照Timoshenko梁模型，二次襯砌(1#梁)的動(dòng)力學(xué)方程，可以寫(xiě)為式(1)：

(1)

其中，κGA1為1#梁截面的抗剪剛度；ρ為梁密度；G為梁的剪切模量；A1為1#梁截面面積；T1為1#梁所受的軸力；α為軸力的躍遷系數(shù)，Ψ1為1#梁的轉(zhuǎn)角；w1為1#梁橫截面方向的豎向動(dòng)力響應(yīng)；EI1為1#梁抗彎剛度；κ為梁的剪切修正系數(shù)；b1是1#梁的寬度、kc是減震層與1#梁接觸的彈性地基抗力系數(shù)。

借鑒文獻(xiàn)[9-10]，式(1)化簡(jiǎn)為式(2)：

(2)

此時(shí)，f(x,t)的表達(dá)式如下：

(3)

設(shè)假設(shè)動(dòng)力響應(yīng)為簡(jiǎn)諧形式[9]，則可假設(shè)：w1(x,t)=W1(x)eiΩt,w2(x,t)=W2(x)eiΩt,Ψ1(x,t)=Ψ1(x)eiΩt可以得到式(4)：

(4)

(5)

2#梁與1#相同的推導(dǎo)步驟，1#梁(初期支護(hù))的動(dòng)力學(xué)方程表示為式(6)：

(6)

(6)式中2#梁的常量、變形符號(hào)定義基本同1#梁，不再贅述，其中，wg-t是地層圍巖的豎向(梁的橫截面方向)地震外激勵(lì)位移響應(yīng)，kg是圍巖的彈性地基抗力系數(shù)，因此，式(6)簡(jiǎn)化為式(7)：

同樣設(shè)w2(x,t)=W2(x)eiΩt,Ψ2(x,t)=Ψ2(x)eiΩt可以得到式(7)：

(7)

(8)

2.1 復(fù)合襯砌動(dòng)力控制方程的矩陣化形式

由1#、2#梁的動(dòng)力控制方程式(4)、式(7)，可得到疊合梁體系的動(dòng)力系統(tǒng)方程組：

(9)

方程組式(9)是一個(gè)耦合微分方程組，可改寫(xiě)成矩陣形式，便于使用積分變換法，解出耦合微分方程組，經(jīng)過(guò)整理，式(9)的矩陣形式為：

(10)

進(jìn)一步簡(jiǎn)化成向量矩陣表達(dá)式：

(11)

(12)

2.2 帶減震層的襯砌動(dòng)力響應(yīng)解析解

借鑒作者已有的單梁動(dòng)力響應(yīng)的成果[8]，欲求解疊合梁模型的動(dòng)力響應(yīng)，首先要求出其格林函數(shù)，根據(jù)格林函數(shù)G(x,ξ)的數(shù)學(xué)定義和物理意義[8-10]，引入狄拉克函數(shù)δ(x)，解疊合梁體系模型的格林函數(shù)解，就是解以下微分方程：

(13)

對(duì)式(13)進(jìn)行拉普拉斯變換可以得到式(14)：

(14)

設(shè)定F(s)=Is4+As2+B，可知F(s)是可逆的，則得到式(15)：

(15)

要對(duì)式(15)進(jìn)行拉普拉斯逆變換，需要做矩陣表達(dá)式F(s)-1s3+F(s)-1As，F(xiàn)(s)-1s2+F(s)-1A、F(s)-1s、F(s)-1、F(s)-1[exp(-ξ1s) exp(-ξ2s)]T等等因子的拉普拉斯逆變換。由此可見(jiàn)，要解拉普拉斯逆變換，就要先解矩陣F(s)-1。

為了求解F(s)-1，以下設(shè)矩陣F(s)為：

(16)

因而，可以得到矩陣F(s)的逆矩陣F(s)-1為：

(17)

其中，Δ(s)=a1a2-b1b2，并且：

(18)

因此， 式(15) 變?yōu)椋?/p>

(19)

(20)

其中，ξ=[ξ1ξ2]，

(21)

在式(21)中，H(x-ξ)是階躍函數(shù)的矩陣形式，式(21)的各式n階導(dǎo)數(shù)為：

(22)

式中：

(23)

2.3 特定邊界條件下的帶減震層的復(fù)合襯砌解析解

由于篇幅有限，僅考慮疊合梁兩端自由邊界條件下，疊合梁體系的動(dòng)力響應(yīng)格林函數(shù)。假定上、下梁的邊界條件相同(均為兩端自由的邊界)，在隧道襯砌節(jié)段的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，兩端自由邊界條件下[8-9]，對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)為：

(24)

由邊界條件可知，得出兩端自由邊界條件下的格林函數(shù)為：

(25)

根據(jù)另一組邊界條件，確定格林函數(shù)的方程為：

(26)

式中：

(27)

進(jìn)一步得到：

(28)

此時(shí)，可以確定W(0)、W′(0)，進(jìn)一步確定帶減震層隧道襯砌的格林函數(shù)。

(29)

3 解析解的結(jié)果分析

為了簡(jiǎn)化解析解的結(jié)果分析，假定初期支護(hù)不考慮軸力，僅二次襯砌軸力(T2=8MPa)。假設(shè)減震層的彈簧勁度系數(shù)為kc=0.177MPa。此處取地震外激勵(lì)頻率Ω=6πrad/s，取地震波入射角θ=5°，豎向的地震荷載激勵(lì)如下[11-12]：

表1 圍巖力學(xué)指標(biāo)

表2 隧道所處場(chǎng)地的地震特性參數(shù)

表3 襯砌力學(xué)屬性

圖2 襯砌斷面

3.1 減震效果評(píng)價(jià)

當(dāng)強(qiáng)震區(qū)的襯砌節(jié)段長(zhǎng)度取12 m時(shí)，比較了帶減震層工況下的襯砌動(dòng)力響應(yīng)與無(wú)減震層模型下的襯砌動(dòng)力響應(yīng)，見(jiàn)圖3，可以看出，有減震層的二次襯砌，其位移比無(wú)減震層襯砌的大，并且有減震層時(shí)初期支護(hù)的位移最大。

圖3 有、無(wú)減震層的襯砌位移響應(yīng)比較

圖4可以看出，與“有減震層的二次襯砌”的工況相比，“無(wú)減震層模型下襯砌”的內(nèi)力要明顯大得多。由此得出因?yàn)樵O(shè)置了初期支護(hù)與減震層，使得二次襯砌的內(nèi)力響應(yīng)(彎矩、剪力)大大降低。最終可以得出結(jié)論：“圍巖-初期支護(hù)-減震層-二次襯砌”體系中的減震層能夠有效降低二次襯砌的內(nèi)力響應(yīng)，隧道襯砌結(jié)構(gòu)減震效果較好。

(a)有、無(wú)減震層的襯砌彎矩響應(yīng)比較

(b)有、無(wú)減震層的襯砌剪力響應(yīng)比較圖4 有、無(wú)減震層的的襯砌內(nèi)力響應(yīng)比較

3.2 不同的減震層(彈性抗力系數(shù))的減震效果

強(qiáng)震區(qū)往往襯砌會(huì)多設(shè)置變形縫，以利于地震過(guò)程中襯砌消耗能量，此處假設(shè)襯砌長(zhǎng)度為6 m時(shí)，不同減震層彈性勁度系數(shù)條件下的位移峰值響應(yīng)，如圖5所示。當(dāng)時(shí)，二次襯砌的峰值位移響應(yīng)為0.92 cm；當(dāng)時(shí)，二次襯砌的峰值位移響應(yīng)為43.75 cm，減震層彈性勁度系數(shù)增大導(dǎo)致了襯砌峰值位移響應(yīng)增大。

圖5 不同減震層彈性勁度系數(shù)下的襯砌位移響應(yīng)

雖然隨著減震層彈性勁度系數(shù)的逐漸增大，二次襯砌與初期支護(hù)的位移峰值的絕對(duì)值都呈增大的趨勢(shì)，但是，初期支護(hù)的位移響應(yīng)幅度增加有限，而二次襯砌的位移響應(yīng)有較大幅度提升。

初期支護(hù)與二次襯砌在不同彈性勁度系數(shù)條件下的彎矩峰值響應(yīng)，如圖6所示，可以看出不同減震層對(duì)初期支護(hù)彎矩響應(yīng)的影響有限，而對(duì)二次襯砌彎矩峰值響應(yīng)的影響大一些(但幅值依然不大)，究其原因，初期支護(hù)主要承擔(dān)由地震引起的附加彎矩，與初期支護(hù)所承受的附加彎矩相比，二次襯砌的附加彎矩小得多，幾乎無(wú)影響。

(a)不同減震層的初期支護(hù)彎矩響應(yīng)

(b)不同減震層的二次襯砌彎矩響應(yīng)圖6 不同減震層彈性勁度系數(shù)下的襯砌彎矩響應(yīng)

綜合圖5、圖6，初期支護(hù)受減震層彈性勁度系數(shù)的影響較小，二次襯砌受減震層彈性勁度系數(shù)的影響大一些。隨著減震層彈性勁度系數(shù)的逐漸增大，二次襯砌的位移響應(yīng)和彎矩響應(yīng)也逐漸增大，但整體量級(jí)并不大。

與彎矩峰值響應(yīng)類(lèi)似，不同減震層彈性勁度系數(shù)下的剪力峰值響應(yīng)也出現(xiàn)類(lèi)似的規(guī)律，如圖7所示。在減震層彈性勁度系數(shù)逐漸增加的同時(shí)，初期支護(hù)所承受的剪力響應(yīng)基本不變，其剪力基數(shù)水平依然較高；二次襯砌所承受的剪力響應(yīng)也逐漸增加，但其剪力基數(shù)水平仍然較低。這是由于初期支護(hù)主要承擔(dān)了由地震引起的附加剪力，在減震層的作用下，二次襯砌所承受的附加剪力峰值顯著減小，可以忽略。

(a)不同減震層的初期支護(hù)剪力響應(yīng)

(b)不同減震層的二次襯砌剪力響應(yīng)圖7 不同減震層彈性勁度系數(shù)下的襯砌剪力響應(yīng)

3 振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)

由上述分析可知，在“圍巖-初期支護(hù)-減震層-二次襯砌”體系下，二次襯砌因減震層的存在，大大減小了地震附加內(nèi)力，減震層達(dá)到了減震的效果。

結(jié)合大型物理模型振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證減震層的減震效果，振動(dòng)臺(tái)的主要指標(biāo)如表4。

表4 振動(dòng)臺(tái)參數(shù)

振動(dòng)臺(tái)的尺寸為5 m×5 m，圍巖相似性材料的主要指標(biāo)：幾何相似比CL=25、泊松比CV=1、重力相似比Cx=1，密度相似比Cγ=1.29、粘聚力相似比Cc=32.25、模擬圍巖的相似性材料為：粉煤灰(F類(lèi)，二級(jí))、機(jī)油(40JHJ，密度0.88 g/cm3)、干河砂(中粗，含水率0.75 %)。本次試驗(yàn)中制作的微?；炷恋囊r砌模型，水泥與中砂的質(zhì)量比為1∶6，水灰比為1∶1，其他一系列未詳盡的指標(biāo)，詳見(jiàn)作者所在課題組已發(fā)表的文獻(xiàn)[13-14]。

如圖8，初期支護(hù)與二次襯砌之間的空隙由減震層充填，減震層采用橡膠海綿材料，達(dá)到了“圍巖-初期支護(hù)-減震層-二次襯砌”體系模擬的目的。

在無(wú)任何減震措施下，襯砌模型的震害破壞形態(tài)如圖9所示。底部剪切波在外激勵(lì)荷載作用下，隧道拱肩、拱腳裂縫較多。

圖8 襯砌的減震體系

圖9 無(wú)減震層的襯砌震害

在初期支護(hù)和二次襯砌之間，設(shè)置橡膠海綿，內(nèi)、外層襯砌模型的破壞形態(tài)如圖10(初期支護(hù))和圖11(二次襯砌)所示。在水平激勵(lì)加速度作用下，增加減震層后的減震效果相當(dāng)明顯：隧道初期支護(hù)(外層襯砌)出現(xiàn)的破壞了較嚴(yán)重；二次襯砌(內(nèi)層襯砌)只出現(xiàn)少許微細(xì)裂縫，基本保持完好。通過(guò)模型試驗(yàn)得到的結(jié)果，也說(shuō)明了在初期支護(hù)與二次襯砌之間，設(shè)置減震層，可以有效地減小二次襯砌的內(nèi)力響應(yīng)，使得二次襯砌所受的內(nèi)力響應(yīng)量級(jí)較小。地震引起的大部分附加內(nèi)力響應(yīng)通過(guò)減震層轉(zhuǎn)由初期支護(hù)承擔(dān)，初期支護(hù)出現(xiàn)了嚴(yán)重震害。

圖10 初期支護(hù)的震害

圖11 二次襯砌的震害

4 結(jié)束語(yǔ)

在兩端自由邊界條件下，研究雙層疊合Timoshenko梁的動(dòng)力響應(yīng)，以模擬“圍巖-初期支護(hù)-減震層-二次襯砌”的地震動(dòng)力響應(yīng)以及減震效果。通過(guò)疊合梁的動(dòng)力響應(yīng)控制方程，推導(dǎo)出了疊合梁的動(dòng)力響應(yīng)顯式解析解，以達(dá)到評(píng)價(jià)減震效果的目的。

在地震力作用下，研究比較了有、無(wú)減震層襯砌的動(dòng)力響應(yīng)的差別，并且比較了減震層彈性勁度系數(shù)變化對(duì)復(fù)合式襯砌位移響應(yīng)、內(nèi)力響應(yīng)(彎矩、剪力)的影響。從動(dòng)力位移響應(yīng)以及內(nèi)力響應(yīng)，可以分析出減震層大幅度地減小了二次襯砌的內(nèi)力響應(yīng)，減震效果顯著。

最后通過(guò)振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了減震層的減震效果，從實(shí)驗(yàn)中可以明顯的發(fā)現(xiàn)：初期支護(hù)在地震過(guò)程中，產(chǎn)生了大量的裂縫，但是二次襯砌整體較完好，所以減震層有效地保護(hù)了二次襯砌，減震效果明顯。