對一道繩牽連體圓周運(yùn)動(dòng)例題的變式分析

湖南

(作者單位：湖南省長沙市長郡濱江中學(xué))

圓周運(yùn)動(dòng)連接體，重點(diǎn)找準(zhǔn)向心力。臨界條件需注意，整體隔離破難題

圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理曲線運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)重要內(nèi)容。通常以繩牽連體的形式出現(xiàn)，重點(diǎn)考查連接體的受力分析、圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及臨界條件的判斷，具有綜合性較強(qiáng)的特點(diǎn)，是高中物理的一個(gè)重難點(diǎn)內(nèi)容。以下通過對一道繩牽連體圓周運(yùn)動(dòng)例題進(jìn)行分析與變式，來增強(qiáng)對該連接體模型的認(rèn)識(shí)及其物理規(guī)律的理解與應(yīng)用。

圖1

【例題】如圖1所示，在光滑水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放一個(gè)質(zhì)量M=2.0 kg的木塊，繩的一端系住木塊，另一端穿過轉(zhuǎn)臺(tái)的中心孔O(光滑)懸吊一質(zhì)量m=1.0 kg的小球，當(dāng)木塊以v=1.0 m/s的初速度相對O孔恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，已知重力加速度g=10 m/s2，木塊、小球均視為質(zhì)點(diǎn)，則木塊到O孔的距離為

( )

A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.25 cm

【答案】C

【點(diǎn)評】本例中水平轉(zhuǎn)臺(tái)表面光滑，木塊不受摩擦力，繩子對木塊的拉力提供木塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，再選小球作研究對象得到繩子拉力的大小，聯(lián)立方程即可求解。

圖2

【變式1】如圖2所示，粗糙水平轉(zhuǎn)臺(tái)放一個(gè)質(zhì)量M=2.0 kg的木塊，木塊與臺(tái)面間的最大靜摩擦力fm=6.0 N，繩的一端系住木塊，另一端穿過轉(zhuǎn)臺(tái)的中心孔O(光滑)懸吊一質(zhì)量m=1.0 kg的小球，當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)以ω=5.0 rad/s的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，欲使木塊相對轉(zhuǎn)臺(tái)靜止，已知重力加速度g=10 m/s2，木塊、小球均視為質(zhì)點(diǎn)，則木塊到O孔的距離可能是

( )

A.16 cm B.5 cm C.60 cm D.30 cm

【答案】AD

【點(diǎn)評】變式1與例1相比，難度明顯增加。由于轉(zhuǎn)臺(tái)粗糙，對木塊受力分析時(shí)需要考慮轉(zhuǎn)臺(tái)對木塊的靜摩擦力作用。同時(shí)需要注意，該靜摩擦力的大小和方向會(huì)隨著木塊做圓周運(yùn)動(dòng)角速度的變化而變化。本題的關(guān)鍵是臨界條件的選取。由題知木塊受到的繩子拉力與木塊所受轉(zhuǎn)臺(tái)靜摩擦力的合力提供木塊做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值并且方向與繩子拉力方向相同時(shí)，木塊受到的向心力最大；此時(shí)對應(yīng)木塊做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑達(dá)到最大；反之，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值并且方向與繩子拉力方向相反時(shí)，木塊受到的向心力最小，此時(shí)對應(yīng)木塊做圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑達(dá)到最小。本變式重點(diǎn)考查隔離法的應(yīng)用及臨界條件的判斷。結(jié)合連接體的受力分析、準(zhǔn)確找到木塊所受向心力的極值，再給合圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律便可求解。

【變式2】如圖3所示，兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)、完全相同的木塊A和B放在轉(zhuǎn)盤上，兩者用長為L的細(xì)繩連接，木塊與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力均為自身重力的K倍，A放在距離轉(zhuǎn)軸為L的位置處，整個(gè)裝置繞轉(zhuǎn)盤中心的轉(zhuǎn)軸O1O2轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，繩恰好伸直但無彈力，現(xiàn)讓該裝置從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，使角速度ω緩慢增大，則以下說法正確的是

( )

圖3

【答案】ACD

【變式3】如圖4所示，可圍繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上，放著用細(xì)繩相連的質(zhì)量均為m的兩個(gè)物體A和B，與圓心距離分別為RA=r，RB=2r，A、B與圓盤間的最大摩擦力均為重力的μ倍，在圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω緩慢增大到物體剛好要發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，則下列說法正確

( )

圖4

【答案】ACD

【變式4】如圖5所示，在水平圓盤上放有質(zhì)量分別為m、m、2m的可視為質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)物體A、B、C,圓盤可繞垂直圓盤的中心軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，三個(gè)物體與圓盤的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.1,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，三個(gè)物體與軸OO′共線且OA=OB=BC=r=0.2 m，現(xiàn)將三個(gè)物體用輕質(zhì)細(xì)線相連，保持細(xì)線伸直且恰無張力，若圓盤從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，且角速度ω緩慢增大，已知重力加速度為g=10 m/s2,則對于這個(gè)過程，下列說法正確的是

( )

A.A、B兩個(gè)物體同時(shí)達(dá)到最大靜摩擦力

B.B、C兩個(gè)物體的靜摩擦力先增大后不變

圖5

【答案】BCD

【點(diǎn)評】變式4與變式3相比，牽連體總個(gè)數(shù)增加，物體的受力情況更加復(fù)雜。但是考查的物理思想及解決的方法是類似的。仍然是從受力分析入手，準(zhǔn)確找到每個(gè)物體做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，利用隔離法整體法進(jìn)行分析，通過分類討論的思想，得到每個(gè)物體剛好要相對圓盤發(fā)生滑動(dòng)時(shí)對應(yīng)的臨界角速度。難點(diǎn)是分析圓盤角速度緩慢增加過程中，每個(gè)物體所受的靜摩擦力如何變化，每段繩子拉力如何變化。其中求解整體相對圓盤滑動(dòng)時(shí)圓盤對應(yīng)的角速度，采用將A、B作為整體來研究處理，使問題變得簡單。