聯(lián)合訂貨區(qū)間值EOQ模型及變權(quán)Shapley值成本分?jǐn)偡椒?/h1>
2019-11-14 08:36:10葉銀芳李登峰余高鋒
中國管理科學(xué) 2019年10期
葉銀芳，李登峰，余高鋒
(福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，福建 福州 350108)
1 引言
為了解決如何使得平均費(fèi)用最小及如何確定訂貨策略的問題，Harris[1]提出經(jīng)濟(jì)訂購批量(Economic Order Quantity，簡稱為EOQ)模型，該模型研究的是不允許缺貨、需求率(單位時(shí)間的需求量)為常數(shù)的單個(gè)企業(yè)的訂貨策略及最小平均費(fèi)用。EOQ模型自提出后受到了研究者的廣泛關(guān)注[2]，經(jīng)典EOQ模型假設(shè)需求是連續(xù)且確定的，而Maddah 和Noueihed[3]研究了需求隨機(jī)的EOQ模型。羅兵等[4]研究了特價(jià)商品的EOQ模型。楊善林等[5]研究了允許缺貨、補(bǔ)貨時(shí)間隨機(jī)和存貨影響銷售等假設(shè)條件下的變質(zhì)品EOQ模型。Salehi等[6]研究需求為常數(shù)，損壞率隨機(jī)和允許缺貨并且缺貨部分回補(bǔ)的EOQ模型。Shekarian等[7]歸納了基本的模糊EOQ模型、缺貨回補(bǔ)的模糊EOQ模型和模糊EOQ模型的拓展的研究現(xiàn)狀。
現(xiàn)有關(guān)于EOQ模型的文獻(xiàn)很多是關(guān)于單個(gè)企業(yè)的訂貨策略的研究，近來，越來越多的研究者開始關(guān)注聯(lián)合訂貨的存儲(chǔ)策略，聯(lián)合訂貨是指兩家及以上具有相同產(chǎn)品需求的銷售商企業(yè)組成聯(lián)盟，向同一供應(yīng)商訂貨。聯(lián)合訂貨可降低企業(yè)的采購成本，因?yàn)槁?lián)盟成員可共同承擔(dān)固定訂購費(fèi)(如交通運(yùn)輸費(fèi)、人工費(fèi)等)，將聯(lián)盟成員訂購的所有商品集中儲(chǔ)存在同一倉庫，有時(shí)還可以降低存儲(chǔ)費(fèi)。對于銷售商企業(yè)來說，聯(lián)合訂貨的成本分?jǐn)偸撬麄冏铌P(guān)心的問題，公平、合理的成本分?jǐn)偡桨赣兄谔岣吒髌髽I(yè)參與聯(lián)合訂貨的積極性，因此對聯(lián)合訂貨的成本分?jǐn)傔M(jìn)行深入研究是非常有必要的，合作博弈理論為此提供了解決思路和方法。
在研究需求為實(shí)數(shù)的多企業(yè)聯(lián)合訂貨的EOQ庫存模型時(shí)，Meca等[8]提出庫存成本合作博弈，利用比例分配規(guī)則分?jǐn)値齑娉杀荆OC (share the ordering costs)準(zhǔn)則對固定訂購成本進(jìn)行分?jǐn)?，在此基礎(chǔ)上，Olgun等[9]假設(shè)訂購成本和儲(chǔ)存成本用區(qū)間表示，提出灰色SOC準(zhǔn)則分?jǐn)偮?lián)合成本。Subiza等[10]提出一類包含均分值和比例分配規(guī)則的折中解用于解決成本分?jǐn)倖栴}。Fiestras-Janeiro等[11]是關(guān)于合作博弈理論在庫存系統(tǒng)中應(yīng)用的綜述。Lai Minghui等[12]研究了基于時(shí)間策略和基于訂貨量策略的合作博弈庫存成本分?jǐn)倖栴}，提出了便于計(jì)算的比例成本分?jǐn)倻?zhǔn)則，并分析其人口單調(diào)分配機(jī)制和穩(wěn)定性。Chen Xin和Zhang Jiawei[13]研究經(jīng)濟(jì)批量博弈，提出一種基于對偶線性規(guī)劃的求解方法，得出一個(gè)屬于核心的分配的最優(yōu)對偶解。Fiestras-Janeiro等[14]研究的允許缺貨EOQ模型不考慮儲(chǔ)存成本，并且?guī)烊萦邢蓿⒘藥齑娉杀竞献鞑┺牟⑻岢隽顺杀痉謹(jǐn)俁準(zhǔn)則。張?jiān)曝S等[15]研究改良品聯(lián)合采購問題，獲得聯(lián)合采購優(yōu)于獨(dú)立采購的必要條件，并將聯(lián)合采購的成本分?jǐn)倖栴}構(gòu)造成多人合作博弈問題，提出最小核心法的成本分?jǐn)偹悸贰addah 等[16]則將經(jīng)典的EOQ模型拓展到多種可替代產(chǎn)品的聯(lián)合訂貨情形中，其中缺貨的產(chǎn)品可由現(xiàn)貨的產(chǎn)品部分替代。上述文獻(xiàn)是利用合作博弈理論求解成本分?jǐn)?，而Güler等[17]則利用非合作博弈方法研究需求速度和庫存持有成本均為企業(yè)私有信息的聯(lián)合訂貨的機(jī)制設(shè)計(jì)問題。另外，李群霞等[18]對允許提前訂貨和允許缺貨的單一生產(chǎn)商和多客戶供應(yīng)鏈管理模型進(jìn)行研究。
目前關(guān)于聯(lián)合訂貨庫存成本分?jǐn)偟难芯看蠖鄶?shù)集中在需求是實(shí)數(shù)的假設(shè)下進(jìn)行的，然而，在很多實(shí)際情形中，精確的需求是很難獲得的。因此用實(shí)數(shù)表示需求是不夠合理的，而模糊數(shù)的隸屬函數(shù)以及隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)往往不容易確定，但是，通過以往的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以預(yù)測需求的上界和下界，也就是說需求可以用區(qū)間來表示。因此，本文研究需求為區(qū)間的允許缺貨的銷售商企業(yè)聯(lián)合訂貨EOQ模型。首先，研究銷售商企業(yè)組成聯(lián)盟進(jìn)行聯(lián)合訂貨的訂貨策略，即訂貨周期和區(qū)間值訂貨量，并求出區(qū)間值平均成本；其次，研究一類具有類聯(lián)盟單調(diào)性的區(qū)間值合作博弈的區(qū)間值變權(quán)Shapley值的計(jì)算方法；最后，將區(qū)間值變權(quán)Shapley值用于分?jǐn)偮?lián)合訂貨成本，并利用算例進(jìn)行比較分析。
2 區(qū)間及區(qū)間值合作博弈
2.1 區(qū)間及其運(yùn)算法則
2.2 區(qū)間值合作博弈
3 允許缺貨的聯(lián)合訂貨區(qū)間值模型及成本分?jǐn)偡椒?/h2>3.1 允許缺貨的聯(lián)合訂貨區(qū)間值EOQ模型
若存在n個(gè)銷售商企業(yè)，分別編號為1,2,…,n，則銷售商企業(yè)的集合可表示為N={1,2,…,n}，他們結(jié)成聯(lián)盟S?N向同一個(gè)供應(yīng)商企業(yè)訂購?fù)N商品，并將訂購的商品集中儲(chǔ)存。假設(shè)允許缺貨，即各銷售商企業(yè)的庫存變?yōu)榱愫?，沒有馬上訂貨，而是選擇等待一段時(shí)間再訂貨，這樣可以少支付幾次固定訂購費(fèi)和少支付一些存儲(chǔ)費(fèi)，但是需要支付缺貨費(fèi)。因此需要考慮的費(fèi)用包括訂貨費(fèi)、存儲(chǔ)費(fèi)和缺貨費(fèi)，其中訂貨費(fèi)包括固定訂購費(fèi)和商品成本費(fèi)，固定訂購費(fèi)主要是交通運(yùn)輸費(fèi)和人工費(fèi)，只與訂貨次數(shù)有關(guān)，與訂貨數(shù)量無關(guān)，商品成本費(fèi)與商品的批發(fā)價(jià)格和訂貨數(shù)量有關(guān)。存儲(chǔ)費(fèi)包括商品的資金占用成本和使用倉庫的費(fèi)用，由存儲(chǔ)量和單位存儲(chǔ)費(fèi)決定。缺貨費(fèi)包括失去當(dāng)下銷售機(jī)會(huì)造成的現(xiàn)時(shí)損失和失去顧客信任造成的潛在損失，由缺貨量和單位缺貨費(fèi)(缺貨懲罰系數(shù))決定[22]。對銷售商企業(yè)來說，若缺貨損失很少，則發(fā)生缺貨現(xiàn)象對企業(yè)可能是有利的。因此研究允許缺貨(缺貨完全回補(bǔ))的需求為區(qū)間的銷售商企業(yè)聯(lián)合訂貨EOQ模型，即允許庫存水平為負(fù)，每次的補(bǔ)貨首先彌補(bǔ)上一次的缺貨，剩下的進(jìn)入庫存。模型的幾點(diǎn)假設(shè)如下：
(1)備貨時(shí)間為零；
(2)每次固定訂購費(fèi)為常數(shù)a，單位商品批發(fā)價(jià)格為K；
(6)企業(yè)i∈N的單位缺貨費(fèi)為常數(shù)si，即每單位商品缺貨單位時(shí)間所造成的損失。
(1)
(2)
則tS時(shí)間內(nèi)聯(lián)盟S的平均總費(fèi)用為：
即
(3)
則由式(3)有
(4)
(1)gi(0)=0，gi(1)=1；(2)對任意的x,y∈[0,1]，若x>y，則gi(x)≥gi(y)。
利用式(3)，可將式(4)具體表示如下：
和
令
解得
(5)
(6)
容易驗(yàn)證，函數(shù)
的Hessian矩陣是正定矩陣，所以
相應(yīng)地，可得聯(lián)盟S中各銷售商企業(yè)i的訂貨量為
(7)
(8)
若si(i∈N)無窮大時(shí)(即不允許缺貨)，有
則
3.2 區(qū)間值庫存成本分?jǐn)偤献鞑┺牡膮^(qū)間值變權(quán)Shapley值
本文提出基于區(qū)間值變權(quán)Shapley值的聯(lián)合訂貨成本分?jǐn)偡椒?，下面先給出區(qū)間值變權(quán)Shapley值的定義。
3.2.1 區(qū)間值變權(quán)Shapley值的定義
Shapley值[25]是合作博弈的一種非常重要的單值解，它是根據(jù)局中人對聯(lián)盟的邊際貢獻(xiàn)來對聯(lián)盟創(chuàng)造的利益進(jìn)行分配或?qū)β?lián)盟產(chǎn)生的成本進(jìn)行分?jǐn)?。求解?jīng)典合作博弈的Shapley值時(shí)，邊際貢獻(xiàn)的系數(shù)是由局中人的排列確定的，因此經(jīng)典Shapley值可看作是常權(quán)綜合的結(jié)果，經(jīng)典Shapley值沒有考慮局中人的個(gè)體差異。受經(jīng)典合作博弈Shapley值的啟發(fā)，結(jié)合變權(quán)思想[26]，同時(shí)考慮局中人所在聯(lián)盟的相對重要性和局中人本身的相對重要性，先提出變權(quán)Shapley值，然后研究區(qū)間值合作博弈的區(qū)間值變權(quán)Shapley值。
定義1對于任意的合作博弈υ∈Gn及局中人i∈N，υ的變權(quán)(Variable-weighted) Shapley值記為
其中
(9)
υR(S)-υL(S)≥υR(Si)-υL(Si) (i=1,2,…,n;i∈S?N)
(10)
則局中人i(i∈N)的區(qū)間值變權(quán)Shapley值的表達(dá)式為：
(11)
證明：詳見附錄。
特別地，當(dāng)
時(shí)，式(11)即為文獻(xiàn)[20]中定義的區(qū)間值Shapley值。
3.2.2 權(quán)重確定方法
3.2.2.1 聯(lián)盟權(quán)重的確定方法
為了區(qū)別不同聯(lián)盟的相對重要性，考慮非空聯(lián)盟S的權(quán)重wS，利用變權(quán)思想[27-28]可確定wS為：
(12)
(13)
其中，αS>0為參數(shù)，dS=(1-λS)dSL+λSdSR，
3.2.2.2 局中人權(quán)重的確定方法
(14)
(15)
(16)
另外，為了確保區(qū)間值變權(quán)Shapley值滿足有效性，對式(16)進(jìn)行如下處理
即
(i∈N)
(17)
4 算例分析
4.1 案例計(jì)算
根據(jù)g1(x)=x、g2(x)=x2和g3(x)=x3，可得各企業(yè)的態(tài)度因子如下：
則各聯(lián)盟S?N的態(tài)度因子為：
根據(jù)上述已有數(shù)據(jù)及計(jì)算結(jié)果，利用式(5)、(7)和(8)可得不同聯(lián)盟的存儲(chǔ)策略及區(qū)間值平均成本如表1所示。
表1 不同聯(lián)盟的存儲(chǔ)策略及區(qū)間值平均成本
結(jié)合式(12)-(17)，可得企業(yè)i(i∈N)的區(qū)間值變權(quán)Shapley值為：
(18)
4.2 結(jié)果分析比較
4.2.1結(jié)果分析
即當(dāng)所有局中人形成最大聯(lián)盟{(lán)1,2,3}時(shí)，每個(gè)企業(yè)分?jǐn)偟某杀緟^(qū)間比單獨(dú)訂貨時(shí)支付的成本區(qū)間小，這樣的結(jié)果是符合實(shí)際中聯(lián)合訂貨的初衷的。
4.2.2 算例比較
(19)
[6251.6,7166.5]<4×[1618.8,1851.3]。
也就是說，如果局中人每個(gè)月的需求量成倍增加，利用區(qū)間值變權(quán)Shapley值分?jǐn)偟某杀緟^(qū)間并不會(huì)成倍增加。這是因?yàn)椋瑔挝恍枨罅吭黾?，區(qū)間值變權(quán)Shapley值中相應(yīng)的合成權(quán)重變小，從而局中人分?jǐn)偟某杀揪妥冃?。因此，區(qū)間值變權(quán)Shapley值用作聯(lián)合訂貨成本的分?jǐn)偡桨缚梢云鸬郊?lì)作用：鼓勵(lì)多訂貨，隨著訂貨量增多，單位商品平均成本變小。
5 結(jié)語
允許缺貨的EOQ模型是庫存理論中應(yīng)用很廣的一個(gè)重要模型。結(jié)合實(shí)際問題中，若多個(gè)銷售商企業(yè)組成訂貨聯(lián)盟向同一個(gè)供應(yīng)商訂購?fù)N商品比各自單獨(dú)訂貨可以節(jié)省部分費(fèi)用，同時(shí)考慮到，各銷售商企業(yè)事先很難精確的預(yù)測到商品的需求量，而通過以往的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以推斷出需求的范圍。因此，為了使模型更貼近實(shí)際，研究需求為區(qū)間的允許缺貨的銷售商企業(yè)聯(lián)合訂貨EOQ模型，確定其訂貨周期、區(qū)間值訂貨量及區(qū)間值平均成本。建立相應(yīng)的區(qū)間值庫存成本分?jǐn)偤献鞑┺?，并求解一類特殊的區(qū)間值庫存成本分?jǐn)偤献鞑┺牡膮^(qū)間值變權(quán)Shapley值。區(qū)間值變權(quán)Shapley值的邊際貢獻(xiàn)權(quán)重由聯(lián)盟和局中人的相對重要性共同決定。利用區(qū)間值變權(quán)Shapley值得到的成本分?jǐn)偡桨笣M足有效性，能將最大聯(lián)盟產(chǎn)生的成本全部分?jǐn)偼戤?。對同一局中人來說，訂貨量增多，分?jǐn)偟膯挝簧唐菲骄杀咀冃?。另外，?dāng)區(qū)間值需求退化為實(shí)數(shù)，并且假設(shè)缺貨懲罰成本系數(shù)無窮大時(shí)，文中建立的區(qū)間值EOQ模型退化為Meca[8]中的不允許缺貨的聯(lián)合訂貨EOQ模型。
附錄：
定理1的證明：
υ(α)(S)=(1-α)υL(S)+αυR(S)(S?N)
(A1)
約定υ(α)(?)=0，參數(shù)α∈[0,1]是任意實(shí)數(shù)。
(A2)
任意的α∈[0,1]和α′∈[0,1]，不妨假定α≤α′。根據(jù)式(A2)，可得
結(jié)合式(10)可知，
由此可知，變權(quán)Shapley值
是參數(shù)α∈[0,1]的單調(diào)遞增函數(shù)。從而
那么，區(qū)間值變權(quán)Shapley值
可表示為：
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現(xiàn)有關(guān)于EOQ模型的文獻(xiàn)很多是關(guān)于單個(gè)企業(yè)的訂貨策略的研究，近來，越來越多的研究者開始關(guān)注聯(lián)合訂貨的存儲(chǔ)策略，聯(lián)合訂貨是指兩家及以上具有相同產(chǎn)品需求的銷售商企業(yè)組成聯(lián)盟，向同一供應(yīng)商訂貨。聯(lián)合訂貨可降低企業(yè)的采購成本，因?yàn)槁?lián)盟成員可共同承擔(dān)固定訂購費(fèi)(如交通運(yùn)輸費(fèi)、人工費(fèi)等)，將聯(lián)盟成員訂購的所有商品集中儲(chǔ)存在同一倉庫，有時(shí)還可以降低存儲(chǔ)費(fèi)。對于銷售商企業(yè)來說，聯(lián)合訂貨的成本分?jǐn)偸撬麄冏铌P(guān)心的問題，公平、合理的成本分?jǐn)偡桨赣兄谔岣吒髌髽I(yè)參與聯(lián)合訂貨的積極性，因此對聯(lián)合訂貨的成本分?jǐn)傔M(jìn)行深入研究是非常有必要的，合作博弈理論為此提供了解決思路和方法。
在研究需求為實(shí)數(shù)的多企業(yè)聯(lián)合訂貨的EOQ庫存模型時(shí)，Meca等[8]提出庫存成本合作博弈，利用比例分配規(guī)則分?jǐn)値齑娉杀荆OC (share the ordering costs)準(zhǔn)則對固定訂購成本進(jìn)行分?jǐn)?，在此基礎(chǔ)上，Olgun等[9]假設(shè)訂購成本和儲(chǔ)存成本用區(qū)間表示，提出灰色SOC準(zhǔn)則分?jǐn)偮?lián)合成本。Subiza等[10]提出一類包含均分值和比例分配規(guī)則的折中解用于解決成本分?jǐn)倖栴}。Fiestras-Janeiro等[11]是關(guān)于合作博弈理論在庫存系統(tǒng)中應(yīng)用的綜述。Lai Minghui等[12]研究了基于時(shí)間策略和基于訂貨量策略的合作博弈庫存成本分?jǐn)倖栴}，提出了便于計(jì)算的比例成本分?jǐn)倻?zhǔn)則，并分析其人口單調(diào)分配機(jī)制和穩(wěn)定性。Chen Xin和Zhang Jiawei[13]研究經(jīng)濟(jì)批量博弈，提出一種基于對偶線性規(guī)劃的求解方法，得出一個(gè)屬于核心的分配的最優(yōu)對偶解。Fiestras-Janeiro等[14]研究的允許缺貨EOQ模型不考慮儲(chǔ)存成本，并且?guī)烊萦邢蓿⒘藥齑娉杀竞献鞑┺牟⑻岢隽顺杀痉謹(jǐn)俁準(zhǔn)則。張?jiān)曝S等[15]研究改良品聯(lián)合采購問題，獲得聯(lián)合采購優(yōu)于獨(dú)立采購的必要條件，并將聯(lián)合采購的成本分?jǐn)倖栴}構(gòu)造成多人合作博弈問題，提出最小核心法的成本分?jǐn)偹悸贰addah 等[16]則將經(jīng)典的EOQ模型拓展到多種可替代產(chǎn)品的聯(lián)合訂貨情形中，其中缺貨的產(chǎn)品可由現(xiàn)貨的產(chǎn)品部分替代。上述文獻(xiàn)是利用合作博弈理論求解成本分?jǐn)?，而Güler等[17]則利用非合作博弈方法研究需求速度和庫存持有成本均為企業(yè)私有信息的聯(lián)合訂貨的機(jī)制設(shè)計(jì)問題。另外，李群霞等[18]對允許提前訂貨和允許缺貨的單一生產(chǎn)商和多客戶供應(yīng)鏈管理模型進(jìn)行研究。
目前關(guān)于聯(lián)合訂貨庫存成本分?jǐn)偟难芯看蠖鄶?shù)集中在需求是實(shí)數(shù)的假設(shè)下進(jìn)行的，然而，在很多實(shí)際情形中，精確的需求是很難獲得的。因此用實(shí)數(shù)表示需求是不夠合理的，而模糊數(shù)的隸屬函數(shù)以及隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)往往不容易確定，但是，通過以往的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以預(yù)測需求的上界和下界，也就是說需求可以用區(qū)間來表示。因此，本文研究需求為區(qū)間的允許缺貨的銷售商企業(yè)聯(lián)合訂貨EOQ模型。首先，研究銷售商企業(yè)組成聯(lián)盟進(jìn)行聯(lián)合訂貨的訂貨策略，即訂貨周期和區(qū)間值訂貨量，并求出區(qū)間值平均成本；其次，研究一類具有類聯(lián)盟單調(diào)性的區(qū)間值合作博弈的區(qū)間值變權(quán)Shapley值的計(jì)算方法；最后，將區(qū)間值變權(quán)Shapley值用于分?jǐn)偮?lián)合訂貨成本，并利用算例進(jìn)行比較分析。
2 區(qū)間及區(qū)間值合作博弈
2.1 區(qū)間及其運(yùn)算法則
2.2 區(qū)間值合作博弈
3 允許缺貨的聯(lián)合訂貨區(qū)間值模型及成本分?jǐn)偡椒?/h2>3.1 允許缺貨的聯(lián)合訂貨區(qū)間值EOQ模型
若存在n個(gè)銷售商企業(yè)，分別編號為1,2,…,n，則銷售商企業(yè)的集合可表示為N={1,2,…,n}，他們結(jié)成聯(lián)盟S?N向同一個(gè)供應(yīng)商企業(yè)訂購?fù)N商品，并將訂購的商品集中儲(chǔ)存。假設(shè)允許缺貨，即各銷售商企業(yè)的庫存變?yōu)榱愫?，沒有馬上訂貨，而是選擇等待一段時(shí)間再訂貨，這樣可以少支付幾次固定訂購費(fèi)和少支付一些存儲(chǔ)費(fèi)，但是需要支付缺貨費(fèi)。因此需要考慮的費(fèi)用包括訂貨費(fèi)、存儲(chǔ)費(fèi)和缺貨費(fèi)，其中訂貨費(fèi)包括固定訂購費(fèi)和商品成本費(fèi)，固定訂購費(fèi)主要是交通運(yùn)輸費(fèi)和人工費(fèi)，只與訂貨次數(shù)有關(guān)，與訂貨數(shù)量無關(guān)，商品成本費(fèi)與商品的批發(fā)價(jià)格和訂貨數(shù)量有關(guān)。存儲(chǔ)費(fèi)包括商品的資金占用成本和使用倉庫的費(fèi)用，由存儲(chǔ)量和單位存儲(chǔ)費(fèi)決定。缺貨費(fèi)包括失去當(dāng)下銷售機(jī)會(huì)造成的現(xiàn)時(shí)損失和失去顧客信任造成的潛在損失，由缺貨量和單位缺貨費(fèi)(缺貨懲罰系數(shù))決定[22]。對銷售商企業(yè)來說，若缺貨損失很少，則發(fā)生缺貨現(xiàn)象對企業(yè)可能是有利的。因此研究允許缺貨(缺貨完全回補(bǔ))的需求為區(qū)間的銷售商企業(yè)聯(lián)合訂貨EOQ模型，即允許庫存水平為負(fù)，每次的補(bǔ)貨首先彌補(bǔ)上一次的缺貨，剩下的進(jìn)入庫存。模型的幾點(diǎn)假設(shè)如下：
(1)備貨時(shí)間為零；
(2)每次固定訂購費(fèi)為常數(shù)a，單位商品批發(fā)價(jià)格為K；
(6)企業(yè)i∈N的單位缺貨費(fèi)為常數(shù)si，即每單位商品缺貨單位時(shí)間所造成的損失。
(1)
(2)
則tS時(shí)間內(nèi)聯(lián)盟S的平均總費(fèi)用為：
即
(3)
則由式(3)有
(4)
(1)gi(0)=0，gi(1)=1；(2)對任意的x,y∈[0,1]，若x>y，則gi(x)≥gi(y)。
利用式(3)，可將式(4)具體表示如下：
和
令
解得
(5)
(6)
容易驗(yàn)證，函數(shù)
的Hessian矩陣是正定矩陣，所以
相應(yīng)地，可得聯(lián)盟S中各銷售商企業(yè)i的訂貨量為
(7)
(8)
若si(i∈N)無窮大時(shí)(即不允許缺貨)，有
則
3.2 區(qū)間值庫存成本分?jǐn)偤献鞑┺牡膮^(qū)間值變權(quán)Shapley值
本文提出基于區(qū)間值變權(quán)Shapley值的聯(lián)合訂貨成本分?jǐn)偡椒?，下面先給出區(qū)間值變權(quán)Shapley值的定義。
3.2.1 區(qū)間值變權(quán)Shapley值的定義
Shapley值[25]是合作博弈的一種非常重要的單值解，它是根據(jù)局中人對聯(lián)盟的邊際貢獻(xiàn)來對聯(lián)盟創(chuàng)造的利益進(jìn)行分配或?qū)β?lián)盟產(chǎn)生的成本進(jìn)行分?jǐn)?。求解?jīng)典合作博弈的Shapley值時(shí)，邊際貢獻(xiàn)的系數(shù)是由局中人的排列確定的，因此經(jīng)典Shapley值可看作是常權(quán)綜合的結(jié)果，經(jīng)典Shapley值沒有考慮局中人的個(gè)體差異。受經(jīng)典合作博弈Shapley值的啟發(fā)，結(jié)合變權(quán)思想[26]，同時(shí)考慮局中人所在聯(lián)盟的相對重要性和局中人本身的相對重要性，先提出變權(quán)Shapley值，然后研究區(qū)間值合作博弈的區(qū)間值變權(quán)Shapley值。
定義1對于任意的合作博弈υ∈Gn及局中人i∈N，υ的變權(quán)(Variable-weighted) Shapley值記為
其中
(9)
υR(S)-υL(S)≥υR(Si)-υL(Si) (i=1,2,…,n;i∈S?N)
(10)
則局中人i(i∈N)的區(qū)間值變權(quán)Shapley值的表達(dá)式為：
(11)
證明：詳見附錄。
特別地，當(dāng)
時(shí)，式(11)即為文獻(xiàn)[20]中定義的區(qū)間值Shapley值。
3.2.2 權(quán)重確定方法
3.2.2.1 聯(lián)盟權(quán)重的確定方法
為了區(qū)別不同聯(lián)盟的相對重要性，考慮非空聯(lián)盟S的權(quán)重wS，利用變權(quán)思想[27-28]可確定wS為：
(12)
(13)
其中，αS>0為參數(shù)，dS=(1-λS)dSL+λSdSR，
3.2.2.2 局中人權(quán)重的確定方法
(14)
(15)
(16)
另外，為了確保區(qū)間值變權(quán)Shapley值滿足有效性，對式(16)進(jìn)行如下處理
即
(i∈N)
(17)
4 算例分析
4.1 案例計(jì)算
根據(jù)g1(x)=x、g2(x)=x2和g3(x)=x3，可得各企業(yè)的態(tài)度因子如下：
則各聯(lián)盟S?N的態(tài)度因子為：
根據(jù)上述已有數(shù)據(jù)及計(jì)算結(jié)果，利用式(5)、(7)和(8)可得不同聯(lián)盟的存儲(chǔ)策略及區(qū)間值平均成本如表1所示。
表1 不同聯(lián)盟的存儲(chǔ)策略及區(qū)間值平均成本
結(jié)合式(12)-(17)，可得企業(yè)i(i∈N)的區(qū)間值變權(quán)Shapley值為：
(18)
4.2 結(jié)果分析比較
4.2.1結(jié)果分析
即當(dāng)所有局中人形成最大聯(lián)盟{(lán)1,2,3}時(shí)，每個(gè)企業(yè)分?jǐn)偟某杀緟^(qū)間比單獨(dú)訂貨時(shí)支付的成本區(qū)間小，這樣的結(jié)果是符合實(shí)際中聯(lián)合訂貨的初衷的。
4.2.2 算例比較
(19)
[6251.6,7166.5]<4×[1618.8,1851.3]。
也就是說，如果局中人每個(gè)月的需求量成倍增加，利用區(qū)間值變權(quán)Shapley值分?jǐn)偟某杀緟^(qū)間并不會(huì)成倍增加。這是因?yàn)椋瑔挝恍枨罅吭黾?，區(qū)間值變權(quán)Shapley值中相應(yīng)的合成權(quán)重變小，從而局中人分?jǐn)偟某杀揪妥冃?。因此，區(qū)間值變權(quán)Shapley值用作聯(lián)合訂貨成本的分?jǐn)偡桨缚梢云鸬郊?lì)作用：鼓勵(lì)多訂貨，隨著訂貨量增多，單位商品平均成本變小。
5 結(jié)語
允許缺貨的EOQ模型是庫存理論中應(yīng)用很廣的一個(gè)重要模型。結(jié)合實(shí)際問題中，若多個(gè)銷售商企業(yè)組成訂貨聯(lián)盟向同一個(gè)供應(yīng)商訂購?fù)N商品比各自單獨(dú)訂貨可以節(jié)省部分費(fèi)用，同時(shí)考慮到，各銷售商企業(yè)事先很難精確的預(yù)測到商品的需求量，而通過以往的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以推斷出需求的范圍。因此，為了使模型更貼近實(shí)際，研究需求為區(qū)間的允許缺貨的銷售商企業(yè)聯(lián)合訂貨EOQ模型，確定其訂貨周期、區(qū)間值訂貨量及區(qū)間值平均成本。建立相應(yīng)的區(qū)間值庫存成本分?jǐn)偤献鞑┺?，并求解一類特殊的區(qū)間值庫存成本分?jǐn)偤献鞑┺牡膮^(qū)間值變權(quán)Shapley值。區(qū)間值變權(quán)Shapley值的邊際貢獻(xiàn)權(quán)重由聯(lián)盟和局中人的相對重要性共同決定。利用區(qū)間值變權(quán)Shapley值得到的成本分?jǐn)偡桨笣M足有效性，能將最大聯(lián)盟產(chǎn)生的成本全部分?jǐn)偼戤?。對同一局中人來說，訂貨量增多，分?jǐn)偟膯挝簧唐菲骄杀咀冃?。另外，?dāng)區(qū)間值需求退化為實(shí)數(shù)，并且假設(shè)缺貨懲罰成本系數(shù)無窮大時(shí)，文中建立的區(qū)間值EOQ模型退化為Meca[8]中的不允許缺貨的聯(lián)合訂貨EOQ模型。
附錄：
定理1的證明：
υ(α)(S)=(1-α)υL(S)+αυR(S)(S?N)
(A1)
約定υ(α)(?)=0，參數(shù)α∈[0,1]是任意實(shí)數(shù)。
(A2)
任意的α∈[0,1]和α′∈[0,1]，不妨假定α≤α′。根據(jù)式(A2)，可得
結(jié)合式(10)可知，
由此可知，變權(quán)Shapley值
是參數(shù)α∈[0,1]的單調(diào)遞增函數(shù)。從而
那么，區(qū)間值變權(quán)Shapley值
可表示為：
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