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    一類四階非線性系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性

    2019-11-13 02:57:46原新生
    安陽師范學院學報 2019年5期
    關鍵詞:零解四階三階

    原新生

    (安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 安陽 455000)

    1 研究背景

    S.Kasprzyk[1]在1972年曾致力于下列三個三階非線性系統(tǒng)

    (1.1)

    (1.2)

    (1.3)

    (1.4)

    (1.5)

    (1.6)

    (1.7)

    (1.8)

    Wall的能量度量算法可歸納為下面六步[9-13]:

    第一步,將所描述的系統(tǒng)寫成一階聯(lián)立的微分方程組

    (1.9)

    其中x=(x1,x2,…,xn)

    第二步,將微分方程組(1.9)寫成如下形式

    (1.10)

    第三步,將微分方程組(1.10)寫成

    Fj(x)dxi=Fi(x)dxj,j>i

    (1.11)

    第四步,用適當?shù)拇鷵Q和加法,將微分方程組(1.11)化為

    ω1(x)dx1+ω2(x)dx2+…+ωn(x)dxn=0

    (1.12)

    第五步,求出V(x1,x2,…,xn),

    (1.13)

    第六步,求出V(x1,x2,…,xn)的全導數(shù),

    (1.14)

    2 主要結(jié)果

    考慮四階非線性系統(tǒng)

    (2.1)

    將其化為等價系統(tǒng)

    (2.2)

    兩兩分別相除得

    (2.3)

    由(2.4)×2(adf(z)-cd)+(2.5)×2a2d+(2.6)×2ad+(2.7)×2(a2c-ad)+(2.8)×2ac+(2.9)×2c得

    (2ad2x+2acdy+2cdz)dx+(2adf(z)y-2cdy+2adu+2acdx+2ac2y+2acf(z)z)dy+(2a2dy+2a2cz-2adz+2cdx+2c2y+2cf(z)z+2acu)dz+(2ady+2acz+2cu)du=0

    (2.10)

    所以

    (2.11)

    =-2(acf(z)-c2-a2d)z2+adf′(z)uy2

    (2.12)

    于是,我們得到下述定理:

    定理[8],如果

    (1)a>0,c>0,d>0;

    (2)acf(z)-c2-a2d≥δ>0;

    (3)f′(z)u<0(u≠0)

    則系統(tǒng)(2.2)的零解是全局漸近穩(wěn)定的。

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