預(yù)設(shè)于動態(tài)的教學(xué)，搭建起思維的橋梁*
——“反比例函數(shù)應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計的一點思考

江蘇省南京市鼓樓區(qū)教師發(fā)展中心 倪 軍

發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程的核心目標(biāo)，對于課堂教學(xué)的評價總是仁者見仁智者見智，不管什么樣的課堂，都應(yīng)該充分關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.前不久，鼓樓區(qū)舉行初中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)質(zhì)課評比，給定的課題是：蘇科版教材八（下）反比例函數(shù)的應(yīng)用（第1課時）.看似平淡的課，卻更能顯示出教者的設(shè)計理念和教學(xué)功底，下面列舉其中兩例談?wù)勛约旱囊稽c體會.

一、教學(xué)目標(biāo)

（1）能利用反比例函數(shù)的相關(guān)知識分析和解決一些簡單的實際問題.

（2）在解決實際問題的過程中，進(jìn)一步體會和認(rèn)識反比例函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型.

二、教學(xué)重、難點

重點：從實際問題中尋找變量之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，運用反比例函數(shù)的意義和性質(zhì)解決實際問題.

難點：用反比例函數(shù)的意義和性質(zhì)解決不等關(guān)系問題，發(fā)展學(xué)生分析問題的能力，滲透轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

三、教學(xué)過程

【案例1】

活動1：剛剛期中考試結(jié)束，老師想讓孩子們放松一下，于是決定帶孩子們?nèi)ド虾５鲜磕嵊瓮妫嗉s5月2日，在匯文學(xué)校門口集合，一起坐大巴前往，已知從匯文學(xué)校到上海迪士尼的路程約為360千米.

（1）大巴車的平均速度vkm/h與時間th之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）原計劃7點出發(fā)，12點到，但為了能多玩一會兒，提前1小時到達(dá)，那平均車速應(yīng)多快？

（3）為了駕駛安全，車速不宜過快，若大巴車的平均車速不能超過80km/h，那至少需要幾個小時達(dá)到迪士尼？

設(shè)計意圖：《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生在獲得間接經(jīng)驗的同時能夠有機會獲得直接經(jīng)驗，即從學(xué)生實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，促使學(xué)生主動地、富有個性地學(xué)習(xí).”活動1創(chuàng)設(shè)了一個合適的教學(xué)情境，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與學(xué)生的生活聯(lián)系起來，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效策略之一.

教學(xué)策略：（1）從熟悉的情境出發(fā)，學(xué)生很快得出v和t之間的數(shù)量關(guān)系.vt=360，則v=

這里的路程為360千米，相當(dāng)于知道了反比例函數(shù)中的k.教者針對等式s=vt，抓住時機，討論s、v、t中有一個量確定時，另外兩個量之間的正、反比關(guān)系.

實際上，現(xiàn)實世界中的很多問題可以歸結(jié)為“a=bc”型的三個量之間的關(guān)系.從數(shù)學(xué)角度看，這三個量之間的關(guān)系，可以用正、反比例函數(shù)進(jìn)行刻畫和研究.在“a=bc”型三個量之間的關(guān)系中，當(dāng)b或c是常數(shù)時，a是c或b的正比例函數(shù)；當(dāng)a是常數(shù)時，b（或c）是c（或b）的反比例函數(shù).

這里的活動設(shè)計把反比例函數(shù)的概念與前面學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)做對比，有利于學(xué)生形成一個整體化的思維.

（2）已知t求v，用方程解決問題，此問還為（3）的解決做鋪墊.

（3）學(xué)生討論，嘗試用不同的方法解決.

這里老師沒有直接給出課本上的方法，而是給學(xué)生一個開放的空間.

①用列表解決（基于小學(xué)的基礎(chǔ)很容易想到列表法）.

表1

②用圖像解決.

學(xué)生展示通過畫反比例函數(shù)的圖像可以很直觀地解決問題（如圖1），這里函數(shù)自變量的取值（要符合實際意義）是一個關(guān)鍵點，不僅要討論自變量的取值，還要討論函數(shù)值，教者引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)表達(dá)式出發(fā)由數(shù)想形，確定函數(shù)圖像只能在第一象限，這樣做有利于培養(yǎng)學(xué)生有條理的思維能力，這樣，當(dāng)學(xué)生面對一個未知的函數(shù)問題時，也可以用類似的方法去思考，從而學(xué)會方法的遷移.

圖1

圖2

建議：有時間可以嘗試讓學(xué)生思考一下函數(shù)y=的圖像所在的區(qū)域和相關(guān)的性質(zhì)（如圖2）.

這里不僅可以借助圖像，也可以借助表格中的數(shù)據(jù)猜想函數(shù)的變化趨勢，使得學(xué)生真正體會到“數(shù)形結(jié)合百般好”.

教師小結(jié)：為了解決問題方便，我們可以借助等式來解決不等式問題，先解方程求出t的值，再結(jié)合反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)算出t的取值范圍，方程和不等式問題常?？梢越柚鷪D像性質(zhì)快速解決.

建議：不要給學(xué)生預(yù)設(shè)太多，讓學(xué)生的思維自然流淌.課堂預(yù)設(shè)太多可能會限制學(xué)生的思維，形成思維定式，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)情在動態(tài)中預(yù)設(shè).

活動2：某自來水公司計劃新建一個容積為4×104m3的長方形蓄水池.

（1）蓄水池的底部S（m2）與其深度h（m）有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）如果蓄水池的底面積為800m2，那么蓄水池的深度應(yīng)為多少米？

（3）由于綠化及輔助用地的需要，經(jīng)過實地測量，蓄水池的長與寬最多只能設(shè)計為100m和60m，那么蓄水池的深度至少達(dá)到多少才能滿足要求？（保留兩位小數(shù)）

設(shè)計意圖：有了活動1的基礎(chǔ)，活動2 由學(xué)生自己完成，隨后教師結(jié)合學(xué)生的展示呈現(xiàn)出用反比例函數(shù)解決問題的流程圖：

圖3

思考：對于函數(shù)表達(dá)式xy=4×104，根據(jù)該等式編寫故事，指出x和y的含義.

概念的形成往往要經(jīng)歷給例子、舉例子、再舉例的過程，通過前兩個階段的舉例概括抽象出本質(zhì)的屬性，再舉例是對形成的概念的鞏固.

活動3：當(dāng)堂反饋.

（1）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（kPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖像如圖4所示.當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于120kPa時，氣球?qū)⒈?為了安全起見，氣球的體積________.

圖4

設(shè)計意圖：考查能否根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，確定反比例函數(shù)的表達(dá)式，并運用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題.物理學(xué)科中的反比例函數(shù)例子也不少，可以讓學(xué)生適當(dāng)回顧.

（2）學(xué)校鍋爐旁建有一個儲煤庫，開學(xué)初購進(jìn)一批煤.現(xiàn)在知道：按每天用煤0.6噸計算，一學(xué)期（按150天計算）剛好用完.若每天的耗煤量為x噸，那么這批煤能用y天.

①y與x之間有什么函數(shù)關(guān)系？求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

②若用了50天后，每天可節(jié)約0.1噸，這批煤還能用多少天？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)建模思想，并利用反比例函數(shù)解決實際問題.

活動4：課堂小結(jié)：

以下面的流程圖作為本節(jié)課的小結(jié).

圖5

整體化設(shè)計的思考：

（1）微觀上進(jìn)行板塊化固點.要處理好整體把握和局部認(rèn)識這對矛盾，應(yīng)該從“微觀上進(jìn)行板塊化固點、宏觀上進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)化組面”.大家都知道，在知識點內(nèi)部，也呈現(xiàn)著結(jié)構(gòu)化關(guān)系.教師在教學(xué)設(shè)計時，應(yīng)認(rèn)真分析構(gòu)成這一知識點的各要素之間的關(guān)系，按照知識內(nèi)部邏輯線索和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，從整體出發(fā)，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“整”“刪”，整合教學(xué)內(nèi)容，突出重點，明晰難點，抓住要點，刪除非基礎(chǔ)性、非結(jié)構(gòu)性的教學(xué)內(nèi)容，從而形成三至五個“教學(xué)板塊”，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在的整體性.案例1主要抓住反比例函數(shù)的圖像、性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行重、難點突破.這就是從微觀上進(jìn)行板塊化固點.

（2）宏觀上進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)化組面.

縱觀我國教材編寫及教學(xué)的思路，基本經(jīng)歷了由“部分—部分—整體”到“整體—部分——整體”的轉(zhuǎn)變，這種轉(zhuǎn)變有利于學(xué)生對知識結(jié)構(gòu)的整體把握.教師應(yīng)充分利用教材的章引言與章小結(jié)，上好單元起始課和復(fù)習(xí)小結(jié)課，讓知識“組面”，使教學(xué)內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)化.案例1正是基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，實時聯(lián)系新、舊知識、并通過知識結(jié)構(gòu)圖幫助學(xué)生形成一個整體化的認(rèn)知.

【案例2】

操作活動：

請你利用手中的紙片制作一個面積為100cm2的矩形紙片ABCD.

設(shè)計意圖：通過動手操作，激發(fā)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生感受到當(dāng)面積一定時，矩形相鄰的兩邊之間的反比例關(guān)系.

圖6

深入思考：

問題1：矩形紙片的邊AB與BC的長分別為多少？

問題2：矩形紙片的邊AB和BC的長有什么關(guān)系？

問題3：若矩形的邊BC的長不小于20，則邊AB需要滿足什么條件？

問題4：若矩形的邊BC的長不大于AB的4倍，則邊AB需要滿足什么條件？

設(shè)計意圖：初中數(shù)學(xué)實驗是通過動手動腦“做數(shù)學(xué)”的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動.通過學(xué)生“做實驗”的主動探究過程來培養(yǎng)他們動手操作的能力.教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵是我們設(shè)計的操作性問題能否有效激發(fā)學(xué)生的思維.

案例2中的教學(xué)設(shè)計以數(shù)學(xué)實驗為載體，以問題串的形式呈現(xiàn)反比例函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，設(shè)計立意高，層次性強，思維的深度逐步提升.

教學(xué)策略：問題1具有一定開放性，學(xué)生的答案是多樣的.

實驗操作：選擇部分學(xué)生的矩形紙片粘貼在黑板上的坐標(biāo)系中（如圖7），隨著矩形紙片的增多，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，連接矩形的右上角的頂點就逐步形成了反比例函數(shù)的圖像.學(xué)生通過實驗操作，很容易理解這就是一個反比例函數(shù)的模型，其中面積100cm2就是反比例函數(shù)中的定值k.

問題2通過問題1的討論，概括總結(jié)出反比例函數(shù)的表達(dá)式，不知不覺中感受到反比例函數(shù)也是解決實際問題的一種重要模型，這里學(xué)生對通過動手操作得到的經(jīng)驗印象深刻.

問題3先給學(xué)生獨立思考的時間，然后討論交流，讓學(xué)生盡可能多地展示不同的解決方法，如不等式、方程、函數(shù)圖像與性質(zhì)等.此處的設(shè)計和案例1一樣，不規(guī)定方法，讓學(xué)生自主解決.

教師追問：你會畫這個函數(shù)的圖像嗎？嘗試畫圖解決問題.

問題4是一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合，此時利用反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)來解決這個問題的優(yōu)越性體現(xiàn)得淋漓盡致，讓學(xué)生更深刻地感受到利用函數(shù)模型解決問題的價值所在.（如圖8）

圖7

圖8

回顧小結(jié)：

通過今天的操作探究你有哪些收獲？

設(shè)計意圖：通過對矩形紙片的探究，感受模型思想，讓學(xué)生暢所欲言.回顧小結(jié)時可以適時追問：

（1）什么樣的實際問題可以利用反比例函數(shù)來解決？

（2）如何利用反比例函數(shù)解決實際問題？

拓展延伸：

問題5：如何制作，能使所得的矩形紙片的周長C最?。?/p>

可以請學(xué)生說說自己的想法與思路.教師進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).

數(shù)學(xué)實驗設(shè)計的思考：

（1）傳統(tǒng)的課堂教學(xué)的出發(fā)點主要側(cè)重于傳授給學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能，以及解決問題的一般途徑與方法；傳統(tǒng)的課堂教學(xué)必須按照知識生成的順序按部就班地進(jìn)行，課堂上教師要給學(xué)生講明知識的形成過程，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂主要致力于幫助學(xué)生獲取必要的數(shù)學(xué)知識，利用這些數(shù)學(xué)知識解決問題.

（2）數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的出發(fā)點則側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)觀念，以及動手操作、合作交流等方面的能力和嘗試通過多種途徑解決問題的意識.

案例2 設(shè)計的實驗教學(xué)不僅僅是為了培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力，更重要的是讓學(xué)生在操作、畫圖的過程中感知不同形狀矩形的面積與k值的關(guān)系，讓學(xué)生感受數(shù)與形的統(tǒng)一，感受數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生用圖形來表示數(shù)量的應(yīng)用意識等.

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)側(cè)重于人人獲得必要的數(shù)學(xué)，教學(xué)對象面向全體學(xué)生且針對于“雙基”.數(shù)學(xué)實驗教學(xué)雖然也面向全體學(xué)生，但更側(cè)重于不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

四、結(jié)束語

教師的智慧在于根據(jù)學(xué)生的情況，進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo).因此在教學(xué)預(yù)設(shè)時，應(yīng)做好問題串的設(shè)計，然后讓學(xué)生拾級而上，這是教學(xué)設(shè)計應(yīng)該著力的地方.無論哪一種課型，哪一種設(shè)計方式，只要重視了學(xué)生可能的思維過程，那在教學(xué)設(shè)計中就一定能夠全面地把握學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)，從而保證學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.