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    借助二次函數(shù)求幾何最值

    2019-11-12 12:11何智劉偉
    理科考試研究·初中 2019年10期
    關(guān)鍵詞:二次函數(shù)

    何智 劉偉

    摘 要:借助二次函數(shù)求有關(guān)幾何的最值問題,一是要選定一個變化的未知量作為自變量,并明確它的取值范圍;二是要判定所轉(zhuǎn)化出的二次函數(shù)在取最大值或最小值時的自變量是否在所確定的自變量的范圍里,若不在,就要用二次函數(shù)在對稱軸兩邊的增減性求最值.

    關(guān)鍵詞:二次函數(shù);幾何最值;注意兩點

    作者簡介:何智(1977-),男,陜西南鄭區(qū)人,本科,中學一級教師.研究方向:初中數(shù)學教學;

    劉偉(1982-),男,陜西南鄭區(qū)人,本科,中學一級教師.研究方向:初中數(shù)學教學.

    對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)來說:當a>0(a<0)時,函數(shù)圖象開口向上(下),其對稱軸x0=-b2a.當x=x0時,函數(shù)值有最?。ù螅┲?當x的取值在對稱軸x0=-b2a的左側(cè)時,y隨x的增大而減?。ㄔ龃螅?當x的取值在對稱軸x0=-b2a的右側(cè)時,y隨x的增大而增大(減小).下面談談利用二次函數(shù)的性質(zhì)求幾何最值.

    例1 如圖2,在ABCD中,AB=5,BC=10,sinB=45,點E,F(xiàn)分別是BC,AB上的點,連接DE,EF,DF,且EF⊥AB,則ΔDEF面積的最大值為.

    解 設BF=x(0

    因為AB=5,BC=10,sinB=45,EF⊥AB,所以EF=43x,BE=53x,AH=4,BG=6,CG=8.

    則CE=10-53x.

    所以SΔDEF=SABCD-SΔBEF-SΔCDE-SΔADF

    =40-12x·43x-12(10-53x)×4-12(5-x)×8

    =-23x2+223x

    =-23(x-112)2+1216.

    因為-23<0,0

    例2 如圖4,在邊長為3的正方形ABCD中,點E,F(xiàn)分別是邊BC,CD上的點,且AF⊥EF,則AE的最小值為.

    解 設CF=x(0

    因為四邊形ABCD是正方形,且AF⊥EF,

    所以ΔADF∽ΔFCE.

    所以ADCF=DFCE.

    所以CE=(3-x)·x3.

    由于AB為定值,在Rt△ABE中,要使AE最小,則需要BE最小,即只要CE最大即可.

    因為CE=-13(x-32)2+34,又因為-13<0且0

    所以由勾股定理可得AE的最小值為154.

    例3 如圖5,等邊△ABC的邊長為3+3.

    (1)正方形EFPN的頂點E,F(xiàn)在邊AB上,頂點N在邊AC上.在等邊△ABC及其內(nèi)部,以點A為位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面積最大(不要求寫作法);

    (2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的邊長;

    (3)如圖6,在等邊△ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE,EF在邊AB上,點P,N分別在邊CB,CA上,求這兩個正方形面積和的最大值及最小值,并說明理由.

    解 (1)如圖5,正方形E′F′P′N′即為所求.

    (2)設正方形E′F′P′N′的邊長為x.

    因為△ABC為等邊三角形,

    所以AE′=BF′=33x.

    則x+2 33x=3+3,解得x=9+3 32 3+3=3 3-3.

    (3)如圖6,設正方形DEMN,正方形EFPH的邊長分別為m,n(不妨設m≥n),它們的面積和為S.

    則AD=33m,BF=33n.

    則33m+m+n+33n=3+3,即m+n=3.

    所以S=m2+n2=2(m-32)2+92.

    則當m=32時,S最小=92.

    由開口方向向上的拋物線性質(zhì)可知:當m離對稱軸m=32越遠,則S的值越大.

    由(2)知,m最大值為3 3-3.

    所以S最大=2(3 3-3-32)2+92=99-54 3.

    借助二次函數(shù)求幾何最值問題,要特別注意兩點:一是要選定與設出一個變化的未知量作為自變量,并要明確它的取值范圍;二是要判定二次函數(shù)在取最大值或最小值時的自變量是否在所設的自變量的范圍里面.若在,這就是所求的幾何問題中的最大值或最小值;若不在,就要利用二次函數(shù)在對稱軸兩邊的增減性求最大值或最小值.

    參考文獻:

    [1]武澤濤.中考試題研究·數(shù)學:配陜西地區(qū)使用[M].西安:陜西科學技術(shù)出版社,2018.

    [2]陜西省教育廳教學研究室.陜西省2019年初中畢業(yè)學業(yè)考試說明[M].西安:陜西師范大學出版總社,2019.

    (收稿日期:2019-07-14)

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