注重概念形成過(guò)程，深刻理解概念本質(zhì)

蒙正紅

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）21-0-02

本節(jié)課是上教版九年級(jí)義務(wù)教育教材上學(xué)期第26章的第一節(jié)課——二次函數(shù)的概念。二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容之一，它是在學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)之后的學(xué)習(xí)內(nèi)容，它不僅強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的深入理解、對(duì)研究函數(shù)方法進(jìn)一步熟悉、而且也為高中繼續(xù)學(xué)習(xí)其它函數(shù)打好基礎(chǔ)。因此本節(jié)課采用了整體感知的教學(xué)方法，讓學(xué)生從已學(xué)概念函數(shù)出發(fā)，通過(guò)類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程，即通過(guò)實(shí)例，概括、歸納逐步形成，來(lái)學(xué)習(xí)二次函數(shù)。同時(shí)，函數(shù)的學(xué)習(xí)也與其他數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容相聯(lián)系，從而使學(xué)生逐步形成運(yùn)用模型解決問題的意識(shí)。在教學(xué)中要重視學(xué)生經(jīng)歷二次函數(shù)概念的形成和建構(gòu)過(guò)程，在概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓學(xué)生體驗(yàn)用函數(shù)思想去描述、研究變量之間變化規(guī)律的意義，從而發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力?，F(xiàn)以“二次函數(shù)的概念”一課的課堂教學(xué)片段為例，談?wù)勛约涸诟拍罱虒W(xué)中的一些想法。

一、課堂教學(xué)實(shí)錄及策略分析

（一）聯(lián)系生活，引出概念

1.復(fù)習(xí)提問，回顧舊知：

（1）什么是函數(shù)？

（2）我們之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)哪些函數(shù)？

（3）這些函數(shù)解析式和定義域分別是怎樣的？

課堂實(shí)錄：通過(guò)老師的一系列問題，使學(xué)生理解學(xué)習(xí)函數(shù)的基本套路，對(duì)于函數(shù)的定義域是怎樣確定的，可以追問：三個(gè)函數(shù)的定義域都是一切實(shí)數(shù)嗎？生：不是，正比例函數(shù)和一次函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)，反比例函數(shù)的定義x≠0的一切實(shí)數(shù)。師追問：為什么？生：因?yàn)檎壤瘮?shù)和一次函數(shù)是表示自變量的代數(shù)整式，而反比例函數(shù)是表示自變量的代數(shù)分式。在一次函數(shù)y=kx+b中，這里的k取值有什么要求？生答：k≠0。當(dāng)k=0時(shí)，解析式為y=b（b為常數(shù)），這就不是一次函數(shù)了。師：此時(shí)是什么函數(shù)？生：常值函數(shù)。師：這里的b可以為零嗎？生：可以。層層設(shè)問目的是讓學(xué)生會(huì)對(duì)之后學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的解析式的表達(dá)形式有初步的印象。）

2.聯(lián)系實(shí)際，情境引入

師：函數(shù)在我們的日常生活中應(yīng)用十分廣泛，下面我們一起來(lái)看4個(gè)實(shí)際問題，其中兩個(gè)變量之間又會(huì)存在怎樣的函數(shù)關(guān)系呢？

（1）一個(gè)邊長(zhǎng)為x厘米的正方形，若它的面積是y平方厘米，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是________________;

（2）一個(gè)圓的半徑是x米，另一個(gè)圓的半徑是1米，若它們的面積和是y平方米，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是________________;

（3）某廠四月份的產(chǎn)值是100萬(wàn)元，設(shè)第二季度每個(gè)月產(chǎn)值的增長(zhǎng)率相同，都為x（x>0），六月份的產(chǎn)值為y萬(wàn)元，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是__________;

（4）如圖，用長(zhǎng)為20米的籬笆，一面靠墻（墻的長(zhǎng)度超過(guò)20米），圍成一個(gè)矩形花圃，設(shè)AB邊的長(zhǎng)為x米，花圃的面積為y平方米，則x的函數(shù)關(guān)系式是________________;

策略分析1：在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)我沒有選擇直接給出概念，而是把教學(xué)重點(diǎn)放在了概念的形成過(guò)程。復(fù)習(xí)已學(xué)的函數(shù)舊知是為了幫助學(xué)生回憶函數(shù)的思想方法及討論的內(nèi)容，弄清變量、函數(shù)、常量等概念的內(nèi)涵，為新知二次函數(shù)的概念的學(xué)習(xí)做好鋪墊。其中“類比”是幫助學(xué)生正確理解概念的有效方法，因此在引入概念的教學(xué)過(guò)程中，我設(shè)計(jì)與一次函數(shù)作類比，體會(huì)函數(shù)學(xué)習(xí)一般過(guò)程;對(duì)于實(shí)際問題的選擇，我引入了公式例題和生活實(shí)際問題，同時(shí)利用這4個(gè)實(shí)際問題在講解實(shí)際問題中的定義域時(shí)，貫穿整個(gè)課堂的始終，使整個(gè)課堂有渾然天成的感覺。

（二）合作交流，提煉概念

仔細(xì)觀察上述4個(gè)函數(shù)是我們之前學(xué)的三類函數(shù)嗎？歸納它們的共同點(diǎn)，并嘗試寫出2個(gè)具有上述特點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式。（學(xué)生歸納：4個(gè)等式的右邊都是整式，而且都有二次項(xiàng)。）

課堂實(shí)錄：根據(jù)學(xué)生敘述揭示課題——二次函數(shù)。師：那么到底什么是二次函數(shù)呢？根據(jù)剛才的觀察和歸納，請(qǐng)哪位同學(xué)用比較準(zhǔn)確的語(yǔ)言概括一下？（生：我們把具有二次項(xiàng)的整式，叫做關(guān)于x的二次整式，4個(gè)等式的左邊都是關(guān)于x的二次整式，右邊都是關(guān)于x的函數(shù)，那么我們把具有這樣特征的函數(shù)叫做二次函數(shù)。（板書課題：二次函數(shù)的概念）

【板書：1、概念——一般地，解析式形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數(shù)，）（a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)?！?/p>

追問：表達(dá)式中的為什么不等于0？

師：我們判定一個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，通常是從它的形式上去觀察，如果表示一個(gè)的函數(shù)的解析式是一個(gè)關(guān)于自變量的二次整式，那么這個(gè)就是二次函數(shù)。那么二次函數(shù)的定義域又是什么呢？生：一切實(shí)數(shù)。師：為什么？生：因?yàn)橛疫叺氖阶邮嵌握??！景鍟?、定義域——一切實(shí)數(shù)】

策略分析2：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、舉例、討論交流、由學(xué)生自己得出二次函數(shù)的本質(zhì)特征和相關(guān)概念，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，發(fā)展學(xué)生歸納與抽象的能力。問題難易有序，為二次函數(shù)的概念提供啟發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，經(jīng)歷二次函數(shù)概念的抽象過(guò)程（如歸納總結(jié)環(huán)節(jié)），發(fā)展學(xué)生歸納與抽象的能力，在經(jīng)歷概念形成的過(guò)程中，再次感受函數(shù)概念學(xué)習(xí)的基本思路，使學(xué)生積累了基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從整體上提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（三）全面剖析，理解概念

判斷在下列的關(guān)系式中，哪些是y關(guān)于x的二次函數(shù)？

（1）;（2）;（3）;（4）;

（5）;（6）;（7）（其中a、b、c是常數(shù)）

（學(xué)生合作交流，教師巡視，答疑）

課堂實(shí)錄：共同辨析（7）y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)）

師：好，請(qǐng)同學(xué)來(lái)回答下，這個(gè)函數(shù)到底是什么函數(shù)？

生①：我認(rèn)為當(dāng)a不等于0時(shí)，這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，當(dāng)a等于0時(shí)，這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)。

生②：同意前半句，因?yàn)楫?dāng)a等于0時(shí)，只有當(dāng)且b不等于0時(shí)，它才是一次函數(shù)，而b也等于0時(shí)，就是常值函數(shù)了。

生③：我認(rèn)為當(dāng)a=0，b不等于0，c=0時(shí)，這個(gè)函數(shù)是正比例函數(shù)。

師：我發(fā)現(xiàn)，剛才大家在討論的過(guò)程當(dāng)中，有同學(xué)告訴我答案是都可以，那考試的時(shí)候你們可以直接填答案“都可以”嗎？也有的同學(xué)說(shuō)是二次函數(shù)、一次函數(shù)和正比例函數(shù)，那我想問什么時(shí)候是二次函數(shù)，什么事一次函數(shù)呢？這時(shí)需要我們對(duì)它答案的每種情況進(jìn)行分類討論。）

策略分析3：這里緊扣概念中關(guān)鍵性的字眼，從二次函數(shù)一般式的形上面找特點(diǎn)，再?gòu)淖宰兞可戏此?，最后在各個(gè)系數(shù)上分類討論，既體現(xiàn)了知其然又知其所以然，又體現(xiàn)了分類化歸的思想，既能使使學(xué)生徹底理解了二次函數(shù)的概念，又可培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，使他們認(rèn)識(shí)到敘述概念必須確切精煉，從而增強(qiáng)他們運(yùn)用概念時(shí)科學(xué)分析的自覺性。本題不僅鞏固對(duì)二次函數(shù)概念的理解，也是加強(qiáng)對(duì)一次函數(shù)和其它函數(shù)概念的理解。對(duì)函數(shù)概念的理解有了更強(qiáng)的深度和廣度。

（四）例題講練，運(yùn)用概念

圓柱的體積V的計(jì)算公式π，其中r是圓柱底面積的半徑，h是圓柱的高。（1）當(dāng)r是常量時(shí)，V是h的什么函數(shù)？（2）當(dāng)h是常量時(shí)，V是r的什么函數(shù)？

課堂實(shí)錄：生：第一個(gè)V是h的一次函數(shù)。師：你是怎么想的？生：因?yàn)楫?dāng)r是常量時(shí)，就是個(gè)常量系數(shù)，而就是關(guān)于h的一次整式，所以V是h的一次函數(shù)。師：當(dāng)h是常量時(shí)呢？生：當(dāng)h是常量時(shí)，我認(rèn)為V是r的二次函數(shù)，因?yàn)檫@時(shí)是常量系數(shù)，是二次整式，所以V是r的二次函數(shù)。

策略分析4：加強(qiáng)函數(shù)中對(duì)變量的認(rèn)識(shí)，不斷挖掘二次函數(shù)概念的進(jìn)一步理解二次函數(shù)概念，加深學(xué)生對(duì)二次函數(shù)概念理解和掌握的深度。

（五）拓展延伸，升華概念

1.已知函數(shù)，當(dāng)這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，求m的取值范圍。

2.變式1，已知函數(shù)，當(dāng)這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，求m的值。

3.變式2，已知函數(shù)，當(dāng)這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，求m的值，并寫出函數(shù)解析式。

課堂實(shí)錄：學(xué)生獨(dú)立思考，教師巡視并提示，在解題時(shí)，應(yīng)時(shí)刻注意二次函數(shù)的特征。生①：我認(rèn)為m-1不等于0，且m+2=2，所以m=0，這時(shí)函數(shù)解析式為。生②：因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，所以我在解析式中找二次項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)有，而這一項(xiàng)是未知的，可以是二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，也可以是常數(shù)項(xiàng)，所以我要對(duì)這一項(xiàng)進(jìn)行分類討論，所以有3種情況。

師：很好，那我們按照剛才這位同學(xué)的思路，再來(lái)解決一下。

生：當(dāng)是二次項(xiàng)時(shí)，m=0，則;當(dāng)是一次項(xiàng)時(shí)，m=-1，則;當(dāng)是常數(shù)項(xiàng)時(shí)，m=-2，則。

生③：老師，我覺得還有一種情況，如果是常數(shù)項(xiàng)的話，也可以是0，這時(shí)只要考慮系數(shù)為0，即m=1就可以了，不需要討論這一項(xiàng)的指數(shù)。即。

師：非常好，我們?cè)诳紤]這道題的時(shí)候，因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，而它的解析式當(dāng)中本身就有二次項(xiàng)，前面這一項(xiàng)呢就有可能是二次項(xiàng)、一次項(xiàng)或者常數(shù)項(xiàng)。那我們?cè)诳紤]時(shí)應(yīng)從這三種情況分類討論。

策略分析5：最后變式題的設(shè)計(jì)和提出，是整節(jié)課的一個(gè)高潮和精華，學(xué)生理解困難較大，為了降低難度，我對(duì)題目進(jìn)行分解，做了變式，層層遞進(jìn)，目的是為了讓學(xué)生變式2有更好的理解。另外培養(yǎng)學(xué)生變換角度分析問題，對(duì)二次函數(shù)概念進(jìn)一步升華。

（六）歸納小結(jié)，整理概念

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？你有什么收獲？

策略分析6：讓學(xué)生來(lái)談本節(jié)課的收獲，可以培養(yǎng)學(xué)生自我檢查、自我小結(jié)的良好習(xí)慣，將知識(shí)進(jìn)行整理并系統(tǒng)化。而且由此可了解到學(xué)生還有哪些不清楚的地方，以便在今后的教學(xué)中補(bǔ)充。

二、反思與體會(huì)

1.重視數(shù)學(xué)概念的引入方法，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是對(duì)一種數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的概括抽象，是一個(gè)不斷感知經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)過(guò)程，是一個(gè)主體不斷加工和修正對(duì)象，最終達(dá)到主體對(duì)對(duì)象的建構(gòu)過(guò)程。其核心是抽象。這節(jié)課讓學(xué)生原有的認(rèn)知的基礎(chǔ)上，通過(guò)具體的例子，提供問題情景，使用知識(shí)遷移，類比一個(gè)函數(shù)的概念，形成二次函數(shù)的概念，進(jìn)一步體會(huì)二次函數(shù)是非常重要的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述變量之間的依賴關(guān)系，使學(xué)生在問題情境在構(gòu)建二次函數(shù)的意義，提高對(duì)二次函數(shù)概念的理解。讓學(xué)生在復(fù)習(xí)中溫故而知新，在應(yīng)用中得到發(fā)展，從而使知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力。

2.挖掘數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征，學(xué)透概念

概念引入后，學(xué)生初步地了解了概念的定義，并不等于完全理解概念的本質(zhì).為此，還必須在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)概念做全面的分析，采用不同的方法從不同角度和方位揭示概念的本質(zhì)。任何一個(gè)概念都有其各自的本質(zhì)特征，要采用各種手段，分析概念本質(zhì)特征，以帶動(dòng)對(duì)概念的全面理解。尤其是例1中的第7題，不僅是對(duì)二次函數(shù)的形式辨析的鞏固，更是對(duì)引出二次函數(shù)概念實(shí)質(zhì)的理解，過(guò)渡自然巧妙，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)分類討論的思想。在教師的整體調(diào)控下，學(xué)生通過(guò)動(dòng)腦思考、層層遞進(jìn)，對(duì)知識(shí)的理解逐步深入，使課堂效益達(dá)到最佳狀態(tài)。

3.不斷發(fā)展學(xué)習(xí)的深度和廣度，強(qiáng)化概念

在教學(xué)中，雖然教師講清了概念，但不表示學(xué)生也真正弄懂了概念，更不知道學(xué)生是否理解了概念。而學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是為了解決數(shù)學(xué)問題，對(duì)數(shù)學(xué)概念理解不深刻，解題的時(shí)候就會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤。因此，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和能力特點(diǎn)，從深度和廣度著手，充分揭示概念的內(nèi)涵和外延，引導(dǎo)學(xué)生正確分析概念，抓住概念的本質(zhì)，以此加深對(duì)概念的理解。通過(guò)建立概念體系，習(xí)題變式等幫助學(xué)生理解概念。

“磨刀不誤砍柴工”，重視概念教學(xué)，挖掘概念的內(nèi)涵和外延，更有利于學(xué)生理解概念。這樣學(xué)生才能經(jīng)歷概念形成過(guò)程、滲透數(shù)學(xué)思維思想、發(fā)展靈活運(yùn)用能力。