淺析2019年全國(guó)I卷理科第7題

摘?要：本文對(duì)2019年全國(guó)I卷理科第7題作出分析，探析試題背后隱含的幾何本質(zhì)，并提出向量教學(xué)建議，最后給出變式，旨在更好地指導(dǎo)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué).

關(guān)鍵詞：幾何本質(zhì);向量教學(xué);變式

1?試題呈現(xiàn)

題目?（2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第7題）已知非零向量a→，b→滿足a→=2b→，且a→-b→⊥b→，則a→與b→的夾角為（ ?）.

A.π6???B.π3???C.2π3???D.5π6

2?試題解析

本題以向量為載體，考查向量的基本運(yùn)算，屬于容易題.

解?由a→-b→⊥b→得a→-b→·b→=0，即a→·b→-b→2=0.

設(shè)a→與b→的夾角為θ，則a→·b→·cosθ-b→2=0.

又a→=2b→，所以2b→2·cosθ-b→2=0.

故cosθ=12，θ=π3.

3?試題反思

向量是近代數(shù)學(xué)中重要的、基本的數(shù)學(xué)概念，它既是代數(shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象，也是研究幾何問(wèn)題的一個(gè)重要工具.向量作為一種既有大小，又有方向的量，既具有形的特征，可以通過(guò)構(gòu)造向量來(lái)處理代數(shù)問(wèn)題，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化;又具備數(shù)的特性，可以將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算.向量是聯(lián)系數(shù)和形的紐帶，是培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想與直觀想象素養(yǎng)的重要載體.因此，對(duì)于本題，如果僅僅停留在上述解法，顯然沒(méi)有深刻體會(huì)到向量的雙重性質(zhì)，沒(méi)有深刻領(lǐng)悟到向量的本質(zhì)內(nèi)涵.此題還可以采用如下解法.

解法1?如圖1，設(shè)a→=OA，b→=OB，則a→-b→=OA-OB=BA.由a→-b→⊥b→得BA⊥OB.

又a→=2b→，所以O(shè)A=2OB.故∠OAB=30°，∠BOA=60°.則a→與b→的夾角為π3.

評(píng)注?解法1抓住了向量的幾何性質(zhì)，將代數(shù)形態(tài)的a→-b→⊥b→轉(zhuǎn)化成幾何形態(tài)的兩條線段垂直，從而構(gòu)造出直角三角形，借助直角三角形中的邊角關(guān)系迅速求解.由此可見，本道試題不僅僅注重對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查，更注重對(duì)直觀想象素養(yǎng)的考查，這才是命題者命制本道高考試題的初衷.

解法2?如圖2，a→=2b→=2，設(shè)a→=OA，b→=OB，則點(diǎn)B在以O(shè)0，0為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng);點(diǎn)A在以O(shè)0，0為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

a→-b→=OA-OB=BA.由a→-b→⊥b→得BA⊥OB.

所以AB是小圓在點(diǎn)B處的切線.

故a→與b→的夾角為π3.

評(píng)注?解法2引入平面直角坐標(biāo)系，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，更加深刻地體現(xiàn)了本道高考試題的幾何特性：圓中的向量問(wèn)題.解法2充分體現(xiàn)了向量解法對(duì)幾何整體綜合性質(zhì)的把握和代數(shù)精確分析的完美結(jié)合.因此，本題其實(shí)是披著代數(shù)的外衣，考查的卻是幾何的內(nèi)容，凸顯的是對(duì)直觀想象素養(yǎng)的考查.

4?教學(xué)反思

不難看出，對(duì)于本道高考試題，如果僅僅停留在代數(shù)的解法，顯然不能洞悉試題背后的深層次要素，不能體現(xiàn)命題者命制此試題的初衷，甚至是膚淺的.然而在實(shí)際解題中有不少學(xué)生仍然只停留在代數(shù)法的層面，無(wú)法從幾何特征的角度入手求解，這不能不說(shuō)是教學(xué)失誤造成的.在向量的教學(xué)中，教師重代數(shù)運(yùn)算，輕幾何特征角度的分析是造成這種現(xiàn)象的原因.在向量整章的教學(xué)中應(yīng)處處滲透幾何特征的運(yùn)用以及直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).

4.1?向量概念的教學(xué)

向量的概念是從實(shí)際生活中引入的，結(jié)合物理中的位移、力等矢量得到數(shù)學(xué)中的向量.這些都需要借助幾何圖形進(jìn)行分析，無(wú)形中就滲透了幾何圖形觀念.另外，由數(shù)軸上的點(diǎn)代表實(shí)數(shù)聯(lián)想到借助有向線段表示向量，由數(shù)軸上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離用絕對(duì)值表示聯(lián)想向量的模長(zhǎng)，這些都滲透了直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).

4.2?向量加法的幾何意義的教學(xué)

向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的探究是建立在物理中位移的合成、速度的合成以及力的合成等的基礎(chǔ)之上.這不可避免的需要借助圖形分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，是滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的良好載體.

4.3?平面向量基本定理的教學(xué)

在用向量研究和解決問(wèn)題中，平面向量基本定理是理論基礎(chǔ).這個(gè)定理揭示了平面向量是由平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量生成的.它不僅提供了向量的幾何表示方法，同時(shí)也使向量用坐標(biāo)來(lái)表示成為可能，從而架起了向量的幾何運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算之間的橋梁.實(shí)際上從教材對(duì)定理的介紹來(lái)看，圖形語(yǔ)言是平面向量基本定理最基本、最直觀的幾何解釋，本質(zhì)是向量的平行分解，也是向量加法運(yùn)算（平行四邊形法則）的逆過(guò)程.實(shí)際上很多向量問(wèn)題都可通過(guò)定理的幾何特性得到解決.

4.4?數(shù)量積

數(shù)量積是學(xué)生在學(xué)習(xí)了向量的加法、減法和數(shù)乘向量這些線性運(yùn)算之后學(xué)習(xí)的一種新運(yùn)算.這不僅是為了構(gòu)建較完整的向量運(yùn)算體系，更是為了解決與度量有關(guān)的幾何問(wèn)題的需要.數(shù)量積具有三種形態(tài)：代數(shù)形態(tài)，幾何形態(tài)，恒等形態(tài).其中的幾何形態(tài)是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的重要載體.

在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)以課本為載體，在注重向量代數(shù)運(yùn)算的同時(shí)，加強(qiáng)從幾何特征的角度分析向量問(wèn)題.盡管幾何法對(duì)平面向量的相關(guān)幾何意義的要求較高，但這種方法更能揭示問(wèn)題的背景，讓學(xué)生更為全面而深刻地理解問(wèn)題.唯有如此，才能實(shí)現(xiàn)對(duì)向量教學(xué)的整體把握以及提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維能力.

5?試題變式

變式1?設(shè)a→=t，2-t，b→=1，a→-b→⊥b→，則a→與b→夾角的最小值為.

解析?如圖3，設(shè)a→=OA，b→=OB，則點(diǎn)A在直線x+y=2上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng).

所以a→-b→=OA-OB=BA.

由a→-b→⊥b→得BA⊥OB.

所以cos∠AOB=OBOA=1OA.

當(dāng)點(diǎn)A在直線x+y=2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OA的最小值即為點(diǎn)O0，0到直線x+y=2的距離，所以O(shè)A最小值為2.故a→與b→夾角的最小值為π4.

變式2?設(shè)AB=2BC=2CD，AB=2，點(diǎn)P，Q滿足AQ-AB·AQ-AD=0.CP·CQ=1.若PQ=3，求cos∠PAB的最小值.

解析?如圖4，由已知可得BQ⊥DQ，點(diǎn)Q在以C為圓心，1為半徑的圓上.

由CP·CQ=1，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義可得CQ乘以CP在CQ上的投影結(jié)果是1.故CP在CQ上的投影恰好是1.所以PQ⊥QC，則CP=2.故點(diǎn)P在以C為圓心，2為半徑的圓上.

連接AP，當(dāng)AP與圓相切時(shí)，∠PAB最大，此時(shí)cos∠PAB最小.由CP=2，AC=3，得AP=5.此時(shí)cos∠PAB最小值為53.

變式3?設(shè)θ為兩個(gè)非零向量a→，b→的夾角，已知對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，b→+ta→的最小值為1.則（?）.

A.若θ確定，則a→唯一確定

B.若θ確定，則b→唯一確定

C.若a→確定，則θ唯一確定

D.若b→確定，則θ唯一確定

解析?如圖5，設(shè)OA=b→，AB=a→，AP=ta→.易知點(diǎn)P的軌跡在直線AB上，且OP的最小值為1.也就是點(diǎn)O到直線AB的距離OC=1.顯然b→sinθ=1.

故當(dāng)θ確定時(shí)，則b→唯一確定.選B.

變式4?已知a→≠e→，e→=1，滿足對(duì)任意t∈R，恒有a→-te→≥a→-e→，則（?）.

A.a→⊥e→?????B.a→⊥a→-e→

C.e→⊥a→-e→D.a→+e→⊥a→-e→

解析?如圖6，設(shè)OA=a→，OE=e→，OB=te→.EA=a→-e→，BA=a→-te→.易知點(diǎn)B的軌跡在直線OE上.

因?yàn)閍→-te→≥a→-e→，所以BA→≥EA→.

故AE⊥OB.選C.

變式5?已知a→，b→，e→是平面向量，e→是單位向量.若非零向量a→與e→的夾角為π3，向量b→滿足b→2-4e→·b→+3=0，則a→-b→的最小值是.

解析?如圖7，由b→2-4e→·b→+3=0得b→2-4e→·b→+4e→2-1=0.所以b→-2e→=1.

設(shè)OA=a→，OB=b→，OE=e→，OT=2e→.由已知可得OA與OE夾角為60°，點(diǎn)B在以T為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在射線OA上運(yùn)動(dòng)，射線OA方程為y=3x.a→-b→的最小值為圓心T到射線OA的距離減去半徑，即|a→-b→|的最小值為3-1.

參考文獻(xiàn)：

[1]蘇藝偉.五環(huán)節(jié)教學(xué)，提升習(xí)題課品質(zhì)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2017（18）：22-26.