如何確定外接球球心的位置

朱賢良

摘?要：在確定空間幾何體外接球球心的位置時，其一般途徑是從平面圖形的外接圓拓展到空間幾何體的外接球，同時要注意兩個特殊模型的應(yīng)用：長方體的對角線即為其外接球的一條直徑、由共斜邊的兩個直角三角形所圍成的三棱錐的外接球的一條直徑就是這條公共斜邊.

關(guān)鍵詞：外接球;球心;外心;長方體

直觀想象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，強調(diào)借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形來理解和解決數(shù)學(xué)問題.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)與考查常通過三視圖、空間平行與垂直、空間角與距離等問題展開.隨著全國高考命題的統(tǒng)一，有關(guān)空間幾何體的外接球問題日益受到重視，成為考查直觀想象素養(yǎng)的又一熱門題型.

求解外接球問題的關(guān)鍵在于確定球心的位置，而確定球心位置的依據(jù)不外乎球心的兩個特性：一是球心到球面上各點的距離都等于半徑;二是球心與截面圓圓心的連線垂直于截面（球的截面圓性質(zhì)）.由此出發(fā)，或利用一些特殊模型，或借助一般方法，即可確定外接球球心.

1?長方體的外接球

長方體的外接球問題是大家比較熟悉的外接球問題，長方體的體對角線是其外接球的一條直徑，體對角線的中點即為外接球球心.具體地說，如果長方體在同一個頂點處的三條棱長分別為a，b，c，根據(jù)體對角線長等于外接球直徑，可得a2+b2+c2=2R，即外接球半徑為R=a2+b2+c22.

例1?（2017年全國Ⅱ卷文15）長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積.

簡解?設(shè)球O的半徑R，則R=32+22+122=142，故球O的表面積S=4πR2=14π.

點評?長方體是重要的立體幾何模型，在認識空間結(jié)構(gòu)特征、培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)中發(fā)揮著基礎(chǔ)的作用.在解決空間幾何體的外接球問題時，要充分借助長方體模型的幾何特征，簡化求解過程.

例2?（2010年遼寧卷文11改編）已知S，A，B，C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA=AB=1，AC=2，則球O表面積等于.

簡解?將圖1中的三棱錐S-ABC補形成圖2中的長方體，顯然三棱錐S-ABC的外接球O與長方體的外接球為同一個球.因為長方體的長、寬、高分別為2，1，1，故外接球O的半徑R=2+1+12=1，其表面積S=4πR2=4π.

點評?當(dāng)三棱錐某一頂點處的三條棱兩兩垂直時，可將此三棱錐視為長方體的一角，進而借助長方體的外接球模型來實現(xiàn)求解.

例3?（2008年浙江卷理14，文15）如圖3，已知球O的面上四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，則球O的體積等于.

簡解?如圖4，將原三棱錐補形成正方體，其棱長為3，故球O的半徑R=3+3+32=32，其體積V=43πR3=92π.

點評?本題中，三棱錐D-ABC的底面ΔABC為直角三角形，過銳角頂點A的側(cè)棱與底面垂直，具備此幾何特征的三棱錐（四個面均為直角三角形）即可補形成長方體.若過底面三角形的直角頂點B的側(cè)棱垂直于底面，則此模型即為例1與例2中的三棱錐.

例4?（2013年遼寧理10，文10）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上.若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為（?）.

A.3172??B.210??C.132??D.310

簡解?直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，可將其補形成長方體，且該長方體的長、寬、高分別為4，3，12，故其外接球O的半徑R=42+32+1222=132，正確選項為C.

點評?當(dāng)直三棱柱的底面恰為直角三角形時，兩個這樣完全相同的三棱柱可拼接成一個長方體.需要注意的是，直三棱柱必須具備底面為直角三角形、側(cè)棱與底面垂直這兩個幾何特征.

2?由共斜邊的兩個直角三角形所圍成的三棱錐的外接球

外接球的球心到球面上每一點的距離均為半徑R，可以根據(jù)外接球球心的這一特征來確定球心的位置.比如，若四面體ABCD是由共斜邊的兩個直角三角形所圍成的，如圖7所示，ΔABC與ΔABD均為直角三角形，AB為公共的斜邊，O為AB的中點，則根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可知，OC=OD=OA=OB，即點O到四點A，B，C，D的距離相等，故點O就是四面體ABCD外接球的球心，公共的斜邊AB就是外接球的一條直徑.

例5?在三棱錐P-ABC中，PA=2 3，PC=2，AB=7，BC=3，∠ABC=π2，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（?）.

A.4π???B.163π???C.323π???D.16π

簡解?如圖7，在RtΔABC中，斜邊AC=AB2+BC2=4.在ΔPAC中，PA2+PC2=16=AC2，故∠APC=π2.所以，AC的中點O為三棱錐P-ABC外接球的球心，半徑R=12AC=2，外接球的表面積S=4πR2=16π，故選D.

點評?本題在求解過程中，需要從邊長關(guān)系出發(fā)來認識三棱錐模型，把握“共斜邊的兩個直角三角形”這一典型幾何特征.

例6?如圖8，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PB⊥平面ABCD，點O為對角線AC與BD的交點.若PB=1，∠APB=π3，則三棱錐P-BCO的外接球的表面積為（?）.