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    探究組合長(zhǎng)方體的最小表面積

    2021-03-12 03:26:22范才鳳
    初中生世界·七年級(jí) 2021年2期
    關(guān)鍵詞:興化市代數(shù)式紙盒

    范才鳳

    在計(jì)算組合長(zhǎng)方體的表面積時(shí),由于擺放方法不一樣,它的表面積也就不一樣。例如:有兩個(gè)相同的長(zhǎng)方體紙盒,它們的長(zhǎng)、寬、高分別是16cm、6cm、2cm,現(xiàn)要用這兩個(gè)紙盒搭成一個(gè)大長(zhǎng)方體,怎樣搭可使長(zhǎng)方體的表面積最小?

    實(shí)踐操作:我們發(fā)現(xiàn),無(wú)論怎樣放置這兩個(gè)長(zhǎng)方體紙盒,搭成的大長(zhǎng)方體體積都不變。但是由于擺放位置的不同,它們的表面積會(huì)發(fā)生變化。經(jīng)過(guò)操作,發(fā)現(xiàn)共有3種不同的擺放方式,如圖所示:

    探究結(jié)論:

    (1)請(qǐng)計(jì)算圖2、圖3、圖4中的大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高及其表面積,并填充下表:

    根據(jù)上表可知,表面積最小的是所示的長(zhǎng)方體。(填“圖2”“圖3”“圖4”)。解決問(wèn)題:

    (2)現(xiàn)在有4個(gè)小長(zhǎng)方體紙盒,每個(gè)的長(zhǎng)、寬、高都分別是16cm、6cm、2cm,若將這4個(gè)紙盒搭成一個(gè)大長(zhǎng)方體,共有種不同的方式,搭成的大長(zhǎng)方體的表面積最小為cm2。

    (3)現(xiàn)在有4個(gè)小長(zhǎng)方體紙盒,每個(gè)的長(zhǎng)、寬、高都分別是a、b、c,a>2b且b>2c,若用這4個(gè)長(zhǎng)方體紙盒搭成一個(gè)大長(zhǎng)方體,共有種不同的方式,搭成的大長(zhǎng)方體的表面積最小為cm2。(用含a、b、c的代數(shù)式表示)【解析】(1)長(zhǎng)方體的體積不變,但由于擺放重疊的面不一樣,每個(gè)圖形的表面積也就不一樣。圖2中,長(zhǎng)方體的高為4,表面積=2(16×6+16×4+4×6)=368;圖3中,長(zhǎng)為32,表面積=2(32×6+32×2+6×2)=536;圖4中,寬為12,表面積=2(16×12+16×2+12×2)=496。所以圖1的表面積最小。

    (2)如圖5所示:

    現(xiàn)在有4個(gè)小長(zhǎng)方體紙盒,每個(gè)的長(zhǎng)、寬、高都分別是16cm、6cm、2cm,若將這4個(gè)紙盒搭成一個(gè)大長(zhǎng)方體,共有7種不同的方式,搭成的大長(zhǎng)方體的表面積最小為2(16×6+16×8+6×8)=544cm2。故答案為7,544。

    (3)現(xiàn)在有4個(gè)小長(zhǎng)方體紙盒,每個(gè)長(zhǎng)、寬、高都分別是a、b、c,a>2b且b>2c,若用這4個(gè)長(zhǎng)方體紙盒搭成一個(gè)大長(zhǎng)方體,當(dāng)a=?3b且b=?3c時(shí),共有6種搭法,可分兩類。如圖5,第一類有3種情況,表面積分別為(8ab+8ac+2bc)cm2、(8ab+2ac+8bc)cm2、(2ab+8ac+8bc)cm2。第二類也有3種情況,表面積分別為(4ab+4ac+8bc)cm2、(8ab+4ac+4bc)cm2、(4ab+8ac+4bc)cm2。第三類:當(dāng)a=3b時(shí),表面積分別為(8ab+5ac+3bc)cm2;當(dāng)b=3c時(shí),表面積分別為(3ab+8ac+5bc)cm2。因此共有6(a=?3b且b=?3c)或7(a=3b或b=3c)或8(a=3b且b=3c)種不同的方式。由于a>2b且b>2c搭成的大長(zhǎng)方體的表面積最小為(2ab+8ac+8bc)cm2。(用含a、b、c的代數(shù)式表示)

    本題主要考查了幾何體的表面積,解題的關(guān)鍵是如何用分類討論的方法思考長(zhǎng)方體的擺放。擺放的方法不一樣,解題的結(jié)果就不一樣,這屬于中考常見(jiàn)題型。

    (作者單位:江蘇省興化市戴澤初級(jí)中學(xué))

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