運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)凸透鏡所成實(shí)像的運(yùn)動(dòng)軌跡探討

(1.安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校，安徽 太和 236652；2.山東省陽谷縣西湖中學(xué)，山東 陽谷 252311)

圖1

例1：如圖1所示，焦距為f的凸透鏡豎直放置，現(xiàn)有一點(diǎn)光源S在凸透鏡左側(cè)，以凸透鏡兩倍焦距處為中心，在經(jīng)過主軸的豎直平面內(nèi)作順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是邊長(zhǎng)為D的正方形，正方形的一組對(duì)邊平行于主軸，且f

解析：我們結(jié)合凸透鏡成像的特點(diǎn)，采用作圖法分析一組對(duì)邊平行于主軸的矩形物體經(jīng)凸透鏡所成實(shí)像的形狀。

如圖2所示，矩形ABCD的一組對(duì)邊AB和CD均垂直于主軸，AB邊在凸透鏡的一倍焦距和二倍焦距之間，CD邊在凸透鏡的二倍焦距之外，所以，AB邊經(jīng)凸透鏡所成的像是倒立放大的實(shí)像，即圖2中的線段GE，CD邊經(jīng)凸透鏡所成的像是倒立縮小的實(shí)像，即圖2中的線段MN。而AD邊平行于主軸，從AD邊上任意一點(diǎn)發(fā)出的平行于主軸的光線都重合在一點(diǎn)，所以，AD邊經(jīng)凸透鏡所成的實(shí)像一定在過凸透鏡右側(cè)焦點(diǎn)F的直線NG上，即AD的實(shí)像是線段NG，同理，BC邊的實(shí)像是線段ME。這就是說，位于主光軸所在平面內(nèi)的矩形發(fā)光體經(jīng)凸透鏡所成實(shí)像的形狀不再是矩形，而是一個(gè)梯形。由圖2可知，點(diǎn)光源S在其運(yùn)動(dòng)軌跡上由D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，其實(shí)像點(diǎn)由N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到G點(diǎn)，所以，滿足例題1條件的點(diǎn)光源，經(jīng)凸透鏡所成實(shí)像的運(yùn)動(dòng)軌跡是選項(xiàng)D所示的情形。

圖2

如果點(diǎn)光源運(yùn)動(dòng)的軌跡不是正方形，而是圓形，實(shí)像的運(yùn)動(dòng)軌跡又將是什么形狀？

圖3

例2：如圖3所示，焦距為f的凸透鏡豎直放置，現(xiàn)有一點(diǎn)光源S在凸透鏡左側(cè)以凸透鏡兩倍焦距處為圓心，在經(jīng)過主軸的豎直平面內(nèi)作順時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡直徑為D，且f

初次見到這道題目的感覺是難度不大,比較新穎，跟上面的例題1相似但又有所不同，點(diǎn)光源的運(yùn)動(dòng)軌跡由直線變成了曲線。開始包括筆者在內(nèi)的幾位老師對(duì)點(diǎn)光源通過凸透鏡所成實(shí)像運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀是這樣分析的：將發(fā)光體的運(yùn)動(dòng)軌跡豎向分成左右兩個(gè)半圓，顯然，這兩半圓圓弧雖然一樣高，但除了最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之外，兩段半圓圓弧上等高的兩點(diǎn)其物距不等，跟左側(cè)半圓弧上某一定點(diǎn)的物距相比，右側(cè)半圓弧上等高的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的物距較小，根據(jù)物體通過凸透鏡所成實(shí)像一定是倒立的，根據(jù)“物近像遠(yuǎn)像變大”的成像特點(diǎn)，很容易判斷該選擇題的正確選項(xiàng)應(yīng)該是D。

該題源自2008年上海市大同杯第22屆初中物理競(jìng)賽(初賽)中的第24題，但原題給出的四個(gè)選項(xiàng)中圖片跟上面例2給出的圖形不一樣，前兩個(gè)是轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反的圓形，后面兩個(gè)是轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反的橢圓。例2和原競(jìng)賽題目的四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的圖形相比，只有一個(gè)圓形是相同的圖形，如果在凸透鏡左側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)光源經(jīng)凸透鏡所成實(shí)像點(diǎn)的軌跡不是圓形的話，那么，例2和原競(jìng)賽題所給的4個(gè)選項(xiàng)中一定有一個(gè)題目給出的圖出現(xiàn)了問題，究竟哪一題存在問題？我們不妨從實(shí)像點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的解析式來進(jìn)行分析。

實(shí)際上，如果我們對(duì)滿足例2條件的點(diǎn)光源的運(yùn)動(dòng)軌跡圓形增添一個(gè)輔助圖形——圓的內(nèi)接正方形，使內(nèi)接正方形的一組對(duì)邊平行于凸透鏡的主軸，如圖5所示，并將該圓及其內(nèi)接正方形作為整體進(jìn)行分析，更容易看出實(shí)像與物體各部分的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而理解在主軸平面內(nèi)圓形物體通過凸透鏡所成實(shí)像是橢圓的道理。

圖5

從以上分析還可以看出，判斷點(diǎn)光源經(jīng)凸透鏡所成實(shí)像點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀，需要用到較多的高中數(shù)學(xué)知識(shí)，初中階段還沒有學(xué)習(xí)到涉及橢圓及其形狀判斷的內(nèi)容，而單憑作圖又無法體現(xiàn)滿足這道競(jìng)賽題目條件的實(shí)像的形狀，所以，這道選擇題不適合初中學(xué)生，作為高中物理競(jìng)賽題倒是非常合適。