單項(xiàng)2 N 階矩陣系數(shù)微分算子譜的離散性

錢志祥

(廣東理工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部, 廣東 肇慶 526100)

微分算子理論是當(dāng)代量子力學(xué)的數(shù)學(xué)支柱，是解決數(shù)學(xué)物理方程以及大量科學(xué)技術(shù)應(yīng)用問題的重要數(shù)學(xué)工具，參見文獻(xiàn)[1-4].而微分算子譜理論是微分算子理論的中心內(nèi)容，研究它有兩方面的重要性：一方面，直接來自物理學(xué)與工程技術(shù)的需要；另一方面，微分算子譜理論是算子理論的一個(gè)分支.隨著對(duì)Hamilton算子譜分布研究的深入，以及在逆譜問題迅速發(fā)展的同時(shí)，具有矩陣系數(shù)的微分算子的譜理論開始引起人們廣泛的關(guān)注和興趣[5-7].本文主要研究單項(xiàng)2 N 階向量微分算式

τ(y)=(-1)n(P(x)y(n))( n),

x∈[0,).

(1)

當(dāng)系數(shù)P(x)分別是實(shí)值矩陣函數(shù)和復(fù)值矩陣函數(shù)時(shí)，在其自伴和J-自伴定義域內(nèi)(1)式所生成的微分算子的譜是離散的充分條件.

1 預(yù)備知識(shí)

引理 1.1[8]具有有限虧指數(shù)的對(duì)稱算子T0的所有自伴擴(kuò)張T具有相同的本質(zhì)譜，而且等于對(duì)稱算子的本質(zhì)譜.

引理 1.2[9]若任何算子A是自伴算子A1、A2的直和，則A=A1⊕A2是Hilbert空間X上的一個(gè)自伴算子,而且

σ(A)=σ(A1)∪σ(A2)，

σp(A)=σp(A1)∪σp(A2)，

σc(A)=σc(A1)∪σc(A2)，

σd(A)=σd(A1)∪σd(A2)，

σe(A)=σe(A1)∪σe(A2).

B=([φi,φj](b))1≤i,j≤2q-r，

則DM內(nèi)線性流形D是τ(u(x))的自伴域的充要條件是存在q×p階常數(shù)矩陣M和q×(2q-p)階常數(shù)矩陣N滿足下列條件：

(i) Rank(M⊕N)=q;

使得

D(T)={u(x)∈DM:MC(u)|a+

其中,Q(x)是Skew-Hemiltian矩陣，滿足：

引理 1.4[12-13]設(shè)A是閉J-對(duì)稱向量微分算子，def(A)=d<+，D(A)?D?D(JA*J)，D是A的J-自伴延拓的定義域的充分條件是存在{w1,w2,…,wd}?D(JA*J),使得：

1) {w1,w2,…,wd}模D(A)線性無關(guān)；

2) 〈wi,wj〉m=0,1≤i,j≤d；

3)D={u∈D(JA*J)|〈u,wj〉m=0,j=1,2,…,d}.

引理 1.5[14]設(shè)L1、L2是Hilbert空間 H 中的稠定閉線性算子，滿足：

(a)L1和L2是對(duì)稱的、半有界算子；

(b)D(L1)=D(L2)；

(c) 對(duì)某個(gè)復(fù)數(shù)λ0，集合R(L1+iL2-λ0I)(或者R(L1-iL2-λ0I))在Hilbert空間 H 內(nèi)是稠定的；

(d) 對(duì)稱算子L1+L2的Friedrich擴(kuò)張算子的預(yù)解算子是全連續(xù)的;

引理 1.6假設(shè)p(x)∈L1[0,)，p(x)>0，y(x)∈Cn0[0,)，則下列不等式恒成立:

(2)

證明先證當(dāng)n=1時(shí)成立，由Cauchy-Bunyakovskii不等式得

(3)

又因?yàn)?/p>

(4)

由(3)和(4)式很容易得到不等式

(5)

由遞推關(guān)系即得到不等式(2)成立.

引理 1.7對(duì)于任意的

(6)

證明先證

(7)

因?yàn)?/p>

(8)

由Cauchy-Bunyakovskii不等式得

(9)

兩端平方得

(10)

令α=2k-2,y=y(n-1)代入上式得

(11)

利用上式疊代得

(12)

或者

所以

其中 C為常數(shù).

引理 1.8設(shè)

u(x)=

其中ω=[x1,x2]為一有限區(qū)間.記

矩陣P(x)為定義在[0,)上的m×m階實(shí)對(duì)稱正定矩陣函數(shù)，pij(x)∈L1[0,),存在正交陣C(x)，使

C-1(x)P(x)C(x)=CT(x)P(x)C(x)=Λ，

其中Λ是以P(x)的m個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣.記λ1(x),λ2(x),…,λm(x)是實(shí)對(duì)稱正定矩陣P(x)的m個(gè)連續(xù)的特征根函數(shù)，且

λ1(x)≥λ2(x)≥…≥λm(x),

則有下列不等式成立:

(14)

故

(15)

2 主要結(jié)論

定理 2.1設(shè)矩陣P(x)為定義在[0,)上的m×m階實(shí)對(duì)角矩陣函數(shù),

λi(x)∈L1[0,),i=1,2,…,m,且λi≥0 (i=1,2,…,m)，則由向量微分算式

τ(y(x))=(-1)n(P(x)y(n)(x))(n),

0≤x<+，

在其自伴域內(nèi)生成的最小算子T0是自伴算子，T0的任何自伴擴(kuò)張T的譜是離散的充分條件是

i=1,2,…,m.

(16)

證明由引理1.3知微分算式(1)在其自伴域內(nèi)生成的最小算子T0是自伴向量微分算子，由引理1.1知其任何自伴擴(kuò)張T具有相同的本質(zhì)譜.假設(shè)條件(16)滿足，即對(duì)?ε>0,?N,當(dāng)x≥N時(shí)，有

再結(jié)合引理1.6和1.7得到

(17)

所以

由ε的任意性，可以得到

所以算子T的譜是離散的.

定理 2.2設(shè)矩陣P(x)為定義在[0,)上的m×m階實(shí)對(duì)稱矩陣函數(shù)，pij(x)∈L1[0,),i,j=1,2,…,m,且P(x)>0.記λ1(x),λ2(x),…,λm(x)是實(shí)對(duì)稱矩陣P(x)的m個(gè)連續(xù)的特征根函數(shù)，且λ1(x)≥λ2(x)≥…≥λm(x),則由向量微分算式

τ(u(x))=(-1)n(P(x)u(n)(x))(n),

0≤x<+，

在其自伴域內(nèi)生成的最小算子T0是自伴算子，T0的任何自伴擴(kuò)張T的譜是離散的充分條件是

i=1,2,…,m.

(18)

證明由引理1.3知微分算式(1)在其自伴域內(nèi)生成的最小算子T0是自伴向量微分算子.由引理1.1知其任何自伴擴(kuò)張T具有相同的本質(zhì)譜.因?yàn)镻(x)為m×m階實(shí)對(duì)稱矩陣函數(shù)，故存在正交陣C(x)使得

C-1(x)P(x)C(x)=CT(x)P(x)C(x)=Λ，

其中Λ是以P(x)的m個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣.設(shè)

假設(shè)條件(18)滿足，即對(duì)?ε>0,?N,當(dāng)x≥N時(shí)，有下列不等式成立:

再結(jié)合引理1.6和1.7得到

(19)

(20)

所以

由ε的任意性，可以得到

所以算子T的譜是離散的.

推論 2.3如果(1)式中系數(shù)p(x)是定義在[0,)上的純量實(shí)值函數(shù)且p(x)>0,?x≥0，則由微分算式(1)生成的算子T0的任何自伴擴(kuò)張的譜是離散的充分條件是

i=1,2,…,m.

(21)

定理 2.4如果(1)式中的系數(shù)矩陣

P(x)=P1(x)+iP2(x),x∈[0,)，

其中P1(x)、P2(x)均為定義在[0,)上的m×m階實(shí)對(duì)角矩陣函數(shù)，

設(shè)

λ1(x)≥λ2(x)≥…≥λm(x)≥0，

且

λi(x)∈L1[0,),

limx→+x2n-1∫x1λi(x)+λ′i(x)dx=0,

i=1,2,…,m.

(22)

證明由引理1.4知微分算式(1)在其J-自伴域內(nèi)生成的最小算子T0是J-自伴向量微分算子.因?yàn)?/p>

τ(y)=(-1)n(P(x)y(n))(n)=

(-1)((P1(x)+iP2(x))y( n))(n),x∈[0,).

對(duì)上式進(jìn)行分解得

τ1(y)=(-1)n(P1(x)y(n))(n),x∈[0,),

τ2(y)=(-1)n(P2(x)y(n))(n),x∈[0,).

設(shè)T10、T20、T0分別是由微分算式τ1、τ2、τ生成的最小算子，即

T10f=τ1(f),

(24)

T0f=τ(f),

(26)

同理

Im(T0y,y)=(T20y,y)=

(27)

所以T10、T20也是下半有界的，說明了T10、T20滿足引理1.5的條件(a)和(b).由(23)、(24)及(26)、(27)式可知

T0=T10+iT20，

T0的正則集非空，對(duì)于任何λ(Reλ<0,λ∈ρ(T0))，集合R(T10+iT20-λI)(或者R(T10-iT20-λI))在Hilbert空間 H 內(nèi)是稠定的；說明了T10、T20滿足引理1.5的條件(c).令

Ly=(T10+T20)y=(τ1+τ2)y=

(-1)n((P1(x)+P2(x))y(n))(n),

?y∈D(T10)=D(T20),

(28)

則L=T10+T20是對(duì)稱的,稠定下半有界的算子;利用條件(22),和定理2.1的證明方法一樣可以證得:L=T10+T20的任何自共軛擴(kuò)張的譜是離散的.從而根據(jù)引理1.5得:L=T10+T20的任何自共軛擴(kuò)張的預(yù)解算子是全連續(xù)的，說明了T10、T20滿足引理1.5的條件(d).

由上述討論可知：T10、T20、T0滿足引理1.5的條件(a)～(d),而且T0的正則集非空.利用引理1.5得：對(duì)于T0的任意J-自共軛擴(kuò)張T，當(dāng)λ∈ρ(T)時(shí)，(T-λI)-1是全連續(xù)算子，所以算子T0的任何J-自共軛擴(kuò)張的譜是離散的.

定理 2.5如果(1)式中的系數(shù)矩陣

P(x)=P1(x)+iP2(x),x∈[0,)，

其中P1(x)、P2(x)均為定義在[0,)上的m×m階實(shí)對(duì)稱矩陣函數(shù).記λ1(x),λ2(x),…,λm(x)是實(shí)對(duì)稱正定矩陣P1(x)的m個(gè)連續(xù)的特征根函數(shù)，且

λ1(x)≥λ2(x)≥…≥λm(x)≥0，

limx→+x2n-1∫x1λi(x)+λ′i(x)dx=0,

i=1,2,…,m.

(29)

證明由引理1.4知微分算式(1)在其J-自伴域內(nèi)生成的最小算子T0是J-自伴向量微分算子.因?yàn)镻1(x)、P2(x)為m×m階實(shí)對(duì)稱矩陣函數(shù)，故存在正交陣C1(x)、C2(x)，使

其中Λ1、Λ2分別是以P1(x)、P2(x)的m個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣.分別設(shè)為

因?yàn)樽C法和定理2.4相似,故這里只寫出不同的地方.設(shè)T10、T20、T0分別是由微分算式τ1、τ2、τ生成的最小算子，下面只須證明T10、T20、T0滿足引理1.5的條件(a)～(d)即可.

條件(b)和(c)的驗(yàn)證和定理2.4一樣，這里省略不寫，只驗(yàn)證條件(a)和(d).

對(duì)?y∈D(T10)=D(T20)有

Re(T0y,y)=(T10y,y)=

同理

Im(T0y,y)=(T20y,y)=

(31)

所以T10、T20也是下半有界的，說明了T10、T20滿足引理1.5的條件(a).下面驗(yàn)證條件(d)，令

Ly=(T10+T20)y=(τ1+τ2)y=

(-1)n((P1(x)+P2(x))y(n))(n),

?y∈D(T10)=D(T20),

(32)

則L=T10+T20是對(duì)稱的、稠定下半有界的算子.利用條件(29),和定理2.2的證明方法一樣可以證得:L=T10+T20的任何自共軛擴(kuò)張的譜是離散的.從而根據(jù)引理1.5得:L=T10+T20的任何自共軛擴(kuò)張的預(yù)解算子是全連續(xù)的,說明了T10、T20滿足引理1.5的條件(d).所以T10、T20、T0滿足引理1.5的條件(a)～(d)，所以算子T0的任何J-自共軛擴(kuò)張的譜是離散的.

推論 2.6如果(1)式中的系數(shù)矩陣

P(x)=P1(x)+iP2(x),x∈[0,)，

其中P1(x)、P2(x)均為定義在[0,)上的m×m階實(shí)對(duì)稱矩陣函數(shù).記λ1(x),λ2(x),…,λm(x)是實(shí)對(duì)稱正定矩陣P1(x)的m個(gè)連續(xù)的特征根函數(shù)，且

λ1(x)≥λ2(x)≥…≥λm(x)≥0，

則由微分算式(1)生成的算子T0的任何J-自伴擴(kuò)張的譜是離散的充分條件是：

i=1,2,…,m;

(33)

i=1,2,…,m.

(34)

定理 2.7如果(1)式中的系數(shù)矩陣

P(x)=P1(x)+iP2(x),x∈[0,)，

其中P1(x)、P2(x)均為定義在[0,)上的m×m階實(shí)對(duì)稱矩陣函數(shù).記λ1(x),λ2(x),…,λm(x)是實(shí)對(duì)稱正定矩陣P1(x)的m個(gè)連續(xù)的特征根函數(shù)，且是實(shí)對(duì)稱正定矩陣P2(x)的m個(gè)連續(xù)的特征根函數(shù)，且

limx→λi(x)>0, limx→λ′i(x)>0,

i=1,2,…,m;

(35)

i=1,2,…,m.

(36)

證明對(duì)定理2.5的證明過程稍作修改即可證得.

推論 2.8[15]如果(1)式中系數(shù)

p(x)=p1(x)+ip2(x)

i=1,2,…,m.

(37)

推論 2.9[15]如果(1)式中系數(shù)

p(x)=p1(x)+ip2(x)

p1(x)>0,p2(x)>0, ?x≥0，

則由微分算式(1)生成的算子T0的任何J-自伴擴(kuò)張的譜是離散的充分條件是：

i=1,2,…,m;

(38)

i=1,2,…,m.

(39)

推論2.10[15]如果(1)式中系數(shù)

p(x)=p1(x)+ip2(x)

(40)

i=1,2,…,m.

(41)

例 1如果(1)式中的系數(shù)矩陣為

P(x)=

?x≥0,

滿足ai、bi(i=1,2,…,m)均是實(shí)數(shù)，并且

ai>0,bi>0,i=1,2,…,m，

max{αi,βi}>2n,i=1,2,…,m,

(42)

則算子T0的任何J-自伴擴(kuò)張的譜是離散的.

例 2如果(1)式中的系數(shù)為

p(x)=axα+ibxβ, ?x≥0，

滿足a、b均是實(shí)數(shù)，并且

a>0,b>0， max{α,β}>2n,

(43)

則算子T0的任何J-自伴擴(kuò)張的譜是離散的.

最后需要說明的是，定理2.1和定理2.2還可以研究必要條件，但是定理2.4、定理2.5、推論2.6和定理2.7的必要條件至今仍是個(gè)公開問題.

致謝廣東理工學(xué)院科技項(xiàng)目(GKJ2016004)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.