一道蘭州市一診數(shù)學(xué)選擇題中體現(xiàn)的立體幾何思想方法

2019年3月的蘭州市一診數(shù)學(xué)試卷中選擇題第10題是這樣的：在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,AB=1,PD=2,則異面直線PA與BD所成角的余弦值為()。

方法一：平移思想之中位線定理的應(yīng)用

圖1

分析：異面直線PA與BD所成的角,需平移其中的一條直線和另外一條相交,或者平移其中的兩條到相交。我們通過(guò)中位線定理可以做到平移,取AD,AB,PD的中點(diǎn)E,F,G,連接EF,EG,FG,如圖1,由中位線定理可得EF∥BD,EG∥AP,EF=BD,EG=AP,則AP與BD所成的角即為∠FEG,由題給條件可得由于異面直線所成的角是銳角或直角,故所求的角其實(shí)是∠FEG的補(bǔ)角,故答案是選D。

方法二：補(bǔ)形的思想,將要求的幾何體補(bǔ)成我們熟悉或者簡(jiǎn)單的幾何體

分析：由于本題有條件PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,所以我們將四棱錐P-ABCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體PA′B′C′-DABC(如圖2所示),則容易看出AP∥BC′,AP與BD所成的角即為∠C′BD,由題意可得在△C′BD中由余弦定理可得cos∠C′BD

圖2

方法三：延展平面

圖3

分析：將底面ABCD延展為矩形D′C′CD(如圖3所示),使得D′D=2,D′C′=1,連接AC′,則可以看出AC′∥DB,AC′=BD,這時(shí)異面直線AP與BD所成的角即為∠PAC′的補(bǔ)角,在△C′PA中通過(guò)計(jì)算可得

方法四：向量法