函數(shù)的奇偶性高考題賞析

■田發(fā)勝

奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，在研究函數(shù)有關(guān)問題時，有著舉足輕重的作用。因此，函數(shù)的奇偶性在高考中成為命題的熱點。下面以高考題為例，說明函數(shù)奇偶性的常見考查方式，并給予評析，幫助同學(xué)們更好地理解函數(shù)的奇偶性，運用函數(shù)的奇偶性解題。

一、判斷函數(shù)的奇偶性

例1下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（ ）。

解：記f（x）=x+ex，則f（1）=1+e，f（-1）=-1+e-1，可知f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），所以y=x+ex既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。依題意可知B，C，D依次是奇函數(shù)，偶函數(shù)，偶函數(shù)。故選A。

例2設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域都為R，且f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）。

A.f（x）g（x）是偶函數(shù)

B.|f（x）|g（x）是奇函數(shù)

C.f（x）|g（x）|是奇函數(shù)

D.|f（x）g（x）|是奇函數(shù)

解：設(shè)F（x）=f（x）|g（x）|，則F（-x）=f（-x）|g（-x）|。

由f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，可得F（-x）=-f（x）·|g（x）|=-F（x），即F（x）為奇函數(shù)。應(yīng)選C。

例3若函數(shù)為偶函數(shù)，則

解：由函數(shù)為偶函數(shù)，可得為奇函數(shù)，則滿足

評析：判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，一般是利用定義，驗證f（x）與f（-x）的關(guān)系，也可以利用特殊值加以驗證。

二、利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值

例4已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x），滿足f（x）+g（x）=axa-x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，則

解：由f（2）+g（2）=a2-a-2+2，可得f（-2）+g（-2）=a-2-a2+2，再由函數(shù)的奇偶性可得-f（2）+g（2）=a-2-a2+2。由此解得g（2）=2，f（2）=a2-a-2，所以a=

評析：利用奇偶性求函數(shù)的值，不需要求出相應(yīng)的解析式，而要抓住自變量是相反數(shù)時函數(shù)值的關(guān)系，靈活處理。

三、利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性解不等式或比較大小

例5已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，f（2）=0，若f（x-1）＞0，則x的取值范圍是

解：由f（x）是偶函數(shù)，且f（x-1）＞0，可得f（|x-1|）＞0=f（2）。由f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，可得|x-1|＜2，解得-1＜x＜3。

評析：利用函數(shù)的奇偶性解不等式，一般是把不等式變?yōu)橄鄳?yīng)函數(shù)值的大小比較問題，再利用其單調(diào)性求解。特別地，若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，要注意應(yīng)用性質(zhì)f（x）=可簡化運算。

例6已知奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，g（x）=x f（x），若a=g（-log25.1），b=g（20.8），c=g（3），則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）。

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.b＜a＜cD.b＜c＜a

解：因為f（x）是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，所以當x＞0時，f（x）＞0，從而g（x）=x f（x）是R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)。由題意得a=g（-log25.1）=g（log25.1）。因為20.8＜2，4＜5.1＜8，所以2＜log25.1＜3，所以0＜20.8＜log25.1＜3。

故g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），即b＜a＜c。應(yīng)選C。

評析：指數(shù)式、對數(shù)式的比較大小，要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小。需要注意的是靈活利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合方法是解答這類問題的關(guān)鍵。

四、利用函數(shù)的奇偶性解決圖像問題

例7函數(shù)的圖像大致為（ ）。

解：易知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點對稱，A不適合題意。當x＞0時，f（x）＞0，從而排除D。當x→+∞時，f（x）→+∞，排除C。應(yīng)選B。

評析：給定函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)圖像時，要充分利用函數(shù)的性質(zhì)，運用排除法求解。

例8設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則

解：函數(shù)

所以M+m=[g（x）max+1]+[g（x）min+1]=g（x）max+g（x）min+2=2。

評析：本題利用常規(guī)方法是求不出函數(shù)的最值的，而利用奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點對稱，其最值也關(guān)于坐標原點對稱，則可求出結(jié)果。

五、利用函數(shù)的奇偶性與周期性，解決函數(shù)的綜合問題

例9已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f（x）在[0，1]上為增函數(shù)”是 “f（x）在 [3，4]上為減函數(shù)”的（ ）。

A.既不充分也不必要的條件

B.充分而不必要的條件

C.必要而不充分的條件

D.充要條件

解：因為f（x）為偶函數(shù)，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，所以f（x）在[-1，0]上為減函數(shù)。又因為函數(shù)f（x）的周期是4，所以在區(qū)間[3，4]上也為減函數(shù)。由f（x）在區(qū)間[3，4]上為減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性可知f（x）在[-1，0]上為減函數(shù)，由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)對稱性可知f（x）在[0，1]上為增函數(shù)。綜上可知，“f（x）在[0，1]上為增函數(shù)”是“f（x）在[3，4]上為減函數(shù)”的充要條件。應(yīng)選D。

例10已知函數(shù)f（x）的定義域為R。當x＜0時，f（x）=x3-1;當-1≤x≤1時，則f（6）=（ ）。

A.-2 B.-1

C.0 D.2

解：因為當，所以當時，f（x）是周期為1的周期函數(shù)，所以f（6）=f（1）。由題設(shè)可知，當-1≤x≤1時，f（-x）=-f（x），所以f（1）=-f（-1）=-[（-1）3-1]=2。應(yīng)選D。

評析：這類問題主要是利用函數(shù)的奇偶性和周期性，考查轉(zhuǎn)化能力、推理論證能力。例9涉及充要條件知識，有興趣的同學(xué)可以探究一下。