平面多復(fù)鏈桿體系幾何組成分析的作用線法

陳 延 東

(鹽城幼兒師范高等?？茖W(xué)校建筑工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224005)

0 引言

在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，所謂復(fù)鏈桿，是指連接兩個(gè)以上鉸結(jié)點(diǎn)的鏈桿。對(duì)含有復(fù)鏈桿的平面體系進(jìn)行幾何組成分析時(shí)，通常要將復(fù)鏈桿視為剛片，再運(yùn)用三剛片規(guī)則(或二剛片規(guī)則)判斷體系的幾何可變性。然而，當(dāng)體系中復(fù)鏈桿數(shù)較多時(shí)，特別是不小于3時(shí)，傳統(tǒng)三剛片規(guī)則的應(yīng)用受到很大限制，如圖1所示體系存在三個(gè)復(fù)鏈桿，將它們分別視為剛片Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ，無法運(yùn)用三剛片規(guī)則判斷其幾何可變性。

這里將復(fù)鏈桿數(shù)不小于3的平面桿件體系稱為平面多復(fù)鏈桿體系。對(duì)于計(jì)算自由度為零的平面多復(fù)鏈桿體系，機(jī)動(dòng)分析理論上可以運(yùn)用零載法加以解決，但運(yùn)用零載法時(shí)，通常要進(jìn)行定量分析，計(jì)算過程紛繁復(fù)雜。本文提出一種針對(duì)平面多復(fù)鏈桿體系機(jī)動(dòng)分析的新方法——作用線法，供結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)習(xí)愛好者參考借鑒。

1 基本原理

零載法分析幾何組成的基本原理是：當(dāng)體系計(jì)算自由度W=0時(shí)，體系應(yīng)為幾何可變體系或無多余約束的幾何不變體系(靜定結(jié)構(gòu))。根據(jù)靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力解唯一的特征可知，在無荷載作用的情況下，體系內(nèi)各桿件的內(nèi)力均為零。如果體系存在能夠平衡的“自內(nèi)力”，那么就可以判定為幾何可變體系。相反，假定體系內(nèi)某一桿件存在內(nèi)力，經(jīng)過受力分析，與假設(shè)產(chǎn)生了矛盾，則可以推出體系內(nèi)各桿件的內(nèi)力均為零，進(jìn)而可以判定體系為無多余約束的幾何不變體系。

作用線法是在零載法基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化的一種機(jī)動(dòng)分析方法，特別適用于平面多復(fù)鏈桿體系。和零載法一樣，作用線法的應(yīng)用限于W=0的體系，其基本原理是：對(duì)于含有n個(gè)桿件(包括單鏈桿和復(fù)鏈桿)的多復(fù)鏈桿體系，假定某一單鏈桿存在內(nèi)力(不為零)，可以根據(jù)平衡條件依次確定其余n-1個(gè)桿件的受力圖，最終根據(jù)第n個(gè)桿件的受力圖是否合理，判斷其幾何可變性，第n個(gè)桿件若為單鏈桿，受力圖二力共線則為幾何可變體系，否則為幾何不變體系；若為復(fù)鏈桿，受力圖三力作用線匯交于一點(diǎn)則為幾何可變體系，否則為幾何不變體系。下面舉例說明，圖2a)所示體系為多復(fù)鏈桿體系，W=0,試用作用線法。假定體系中單鏈桿1存在內(nèi)力(不妨設(shè)為拉力)，則內(nèi)力的作用線確定——沿桿件軸線方向，如圖2b)所示。根據(jù)桿件與節(jié)點(diǎn)的平衡條件依次可得桿(2),(4),(3)的受力圖如圖2c),圖2d),圖2e)所示。桿3受力圖最后確定，觀察發(fā)現(xiàn)其所受三個(gè)力未匯交于一點(diǎn)，體系不能平衡，得出矛盾，所以判定體系為無多余約束的幾何不變體系。

2 判斷幾何可變的充分性證明

若第n個(gè)桿件不能平衡，則體系內(nèi)力必為零，從而可以判定體系為無多余約束的幾何不變體系。那么，若第n個(gè)桿件受力圖二力共線或三力匯交于一點(diǎn)，是否說明體系在非零內(nèi)力下可能處于平衡狀態(tài)，進(jìn)而判定體系為幾何可變體系，就要對(duì)其充分性進(jìn)行證明。這里以圖3a)所示多復(fù)鏈桿體系為例，假設(shè)單鏈桿(1)軸力不為零且為拉力，可作出桿(1),(2),(4)的受力圖，進(jìn)而得到復(fù)鏈桿(3)的受力圖(見圖3b))，三力匯交于一點(diǎn)，此時(shí)各桿的受力作用線均已確定。下面證明該體系幾何可變。

先不考慮各桿間作用力與反作用力大小相等關(guān)系，假定體系中所有桿件各自平衡，各桿件受力情況如圖3c)所示。

(1)

(2)

(3)

可以證明，各復(fù)鏈桿的桿端力存在如下關(guān)系(證明過程略)：

(4)

不妨設(shè)F2=F10=F1(F1為桿(1)軸力大小)，F(xiàn)4=F5，由式(4)得：

F7=F8。

即：

(5)

此時(shí)，除0鉸外，其余各鉸接點(diǎn)均可平衡。進(jìn)一步驗(yàn)證節(jié)點(diǎn)0是否平衡：

式(1)～式(3)矢量求和再與式(5)聯(lián)立得：

由此可見，節(jié)點(diǎn)0平衡，故體系可以平衡，判定體系為幾何可變體系。實(shí)際上任意類似體系都是矢量傳遞最終閉合的結(jié)果，均可證明作用線法判斷幾何可變的充分性。

3 幾點(diǎn)討論

3.1 作用線法的使用限制

由于零桿和二元體不受力，使用作用線法時(shí)不能假定其內(nèi)力不為零，所以不需要作出零桿的作用線，若體系中存在二元體，應(yīng)首先去之。同時(shí)，為了建立復(fù)鏈桿之間的聯(lián)系，體系中應(yīng)至少有一個(gè)單鏈桿直接連接兩個(gè)復(fù)鏈桿。

與復(fù)鏈桿連接桿件超過3個(gè)時(shí)，其受力圖中將存在3個(gè)以上的力，作用線法原則上不能適用，但復(fù)鏈桿所受n個(gè)力(n>3)中n個(gè)力的作用線全部匯交于一點(diǎn)或n-1個(gè)力的作用線交于一點(diǎn)時(shí)，桿件是否可能平衡也是確定的，若n個(gè)力的作用線全部匯交于一點(diǎn)，體系幾何可變(如下文算例2)；若恰好n-1個(gè)力的作用線交于一點(diǎn)，體系幾何不變。

3.2 復(fù)鏈桿概念的延伸

復(fù)鏈桿是一種鏈桿，幾何組成分析時(shí)，常將剛片看成鏈桿或鏈桿看成剛片，那么，這里完全可以將復(fù)鏈桿概念延伸為：連接兩個(gè)以上鉸接點(diǎn)的剛片。圖4中桿(1)、桿(2)、桿(3)組成剛片，該剛片連接三個(gè)鉸接點(diǎn)，實(shí)為廣義的復(fù)鏈桿。作用線法使用前，確定復(fù)鏈桿數(shù)應(yīng)當(dāng)把這種廣義復(fù)鏈桿考慮進(jìn)去。

3.3 三力平衡匯交定理推論

三力平衡匯交定理描述的是某一剛體受共面不平行的三個(gè)力作用而平衡的情形，若作用于復(fù)鏈桿的三個(gè)力，其中兩個(gè)力的作用線平行或共線，那么桿件要想平衡，第三個(gè)力的作用線必定平行或共線于那兩個(gè)力，該結(jié)論可以用反證法證明，實(shí)際上，此時(shí)桿件所受三個(gè)力的作用線匯交于無窮遠(yuǎn)處，完全可以看作三力匯交定理的推論。

4 算例分析

例1對(duì)圖5a)所示體系進(jìn)行機(jī)動(dòng)分析。該體系自由度為0，共有3根復(fù)鏈桿(大地為廣義復(fù)鏈桿)，右側(cè)復(fù)鏈桿通過支座單鏈桿與大地連接，可以使用作用線法。從右側(cè)支座鏈桿開始依次作出桿(1)、桿(2)及大地受力作用線如圖5b)所示，大地受力作用線未匯交于一點(diǎn)，判定體系為幾何不變體系。

例2對(duì)圖6a)所示體系進(jìn)行機(jī)動(dòng)分析。該體系自由度為0，共有5根復(fù)鏈桿，其中一根復(fù)鏈桿連接四個(gè)鉸接點(diǎn)，試用作用線法。從上端單鏈桿開始依次作桿(1)～桿(5)的作用線(見圖6b))，桿(5)所受力均共線，體系幾何可變。

5 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)平面復(fù)鏈桿體系機(jī)動(dòng)分析提出了一種基于零載法的作用線法，該法原理直觀、簡(jiǎn)明，易于理解掌握，增加了結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，可作為結(jié)構(gòu)力學(xué)幾何組成分析教學(xué)的拓展內(nèi)容。但本法的使用也有諸多限制，望讀者從中獲得靈感，找到更加普適的分析方法。