重關聯，明變化，找分別
——淺析二次函數不同解析式的聯系與區(qū)別

☉江蘇省無錫市第一女子中學初中部 項 菲

二次函數的解析式是研究二次函數問題的基礎，在教學過程中，學生往往對三種不同形式的解析式的表示方法應用自如，而對它們之間的聯系與區(qū)別不能做到十分明晰，尤其是如何進行推演的過程更是一知半解，從而出現孤立記憶的情形.因此，教師有必要讓學生從本源上來認識和理解三者之間的區(qū)別與聯系，真正做到對二次函數知識的全面掌握.為了清楚地說明這些問題，不妨先借助函數圖像，從最基本的問題談起：

問題1：函數y=ax2與y=x2的圖像之間存在怎樣的關系？

為了研究這一問題，我們可以先畫出y=2x2、y=、y=-2x2的圖像，通過這些函數圖像與函數y=x2的圖像之間的關系，推導出函數y=ax2與y=x2的圖像之間所存在的關系.先畫出函數y=x2、y=2x2的圖像.列表：

表1

從表1中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應的x2的值擴大兩倍就可以了.

再描點、連線，就分別得到了函數y=x2、y=2x2的圖像（如圖1所示），我們可以得到這兩個函數圖像之間的關系：函數y=2x2的圖像可以由函數y=x2的圖像各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫?

圖1

通過上面的研究，我們可以得到以下結論：

二次函數y=ax2（a≠0）的圖像可以由y=x2的圖像各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到.在二次函數y=ax2（a≠0）中，二次項系數a決定了圖像的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大小.

問題2：函數y=a（x+h）2+k與y=ax2的圖像之間存在怎樣的關系？

同樣地，利用幾個特殊的函數圖像之間的關系來研究它們之間的關系.可以作出函數y=2（x+1）2+1與y=2x2的圖像（如圖2所示），從函數的圖像不難發(fā)現，只要把函數y=2x2的圖像向左平移1個單位，再向上平移1個單位，就可以得到函數y=2（x+1）2+1的圖像.這兩個函數圖像之間具有“形狀相同，位置不同”的特點.類似地，還可以通過畫函數y=-3x2、y=-3（x-1）2+1的圖像，研究它們圖像之間的相互關系.

圖2

通過上面的研究，可以得到以下結論：

二次函數y=a（x+h）2+k（a≠0）中，a決定了二次函數圖像的開口大小及方向；h決定了二次函數圖像的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數圖像的上下平移，而且“k正上移，k負下移”.

利用上面的結論，我們可以得到研究二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像的方法：

所以，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像可以看作將函數y=ax2的圖像作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）具有下列性質：

（1）當a＞0時，函數y=ax2+bx+c的圖像開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線；當時，y隨著x的增大而減??；當時，y隨著x的增大而增大；當時，函數取最小值

（2）當a＜0時，函數y=ax2+bx+c的圖像開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線；當時，y隨著x的增大而增大；當時，y隨著x的增大而減??；當時，函數取最大值

圖3

圖4

上述二次函數的性質可以分別通過圖3和圖4直觀地表示出來.

有了以上的演變過程，二次函數的兩種基本解析式形式之間的關聯和演變已經非常明晰了，下面先寫出這兩種二次函數解析式的形式：

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；

（2）頂點式：y=a（x+h）2+k（a≠0），其中頂點坐標是（-h，k）.

除了上述兩種表示方法，還可以用交點式的形式來表示.為了研究交點式的表示方式，我們先來研究二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的交點個數.

當拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交時，其函數值為0，于是有ax2+bx+c=0 ①.

并且方程①的解就是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點的橫坐標（縱坐標為0），于是，不難發(fā)現，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點個數與方程①的解的個數有關，而方程①的解的個數又與方程①的根的判別式Δ=b2-4ac有關，由此可知，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點個數與根的判別式Δ=b2-4ac存在下列關系：

（1）當Δ＞0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點；反過來，若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，則Δ＞0也成立.

（2）當Δ=0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有一個交點（拋物線的頂點）；反過來，若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有一個交點，則Δ=0也成立.

（3）當Δ＜0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸沒有交點；反過來，若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸沒有交點，則Δ＜0也成立.

于是，若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點A（x1，0）、B（x2，0），則x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩根，所以

由上面的推導過程可以得到下面的結論：

若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，則其函數關系式可以表示為y=a（x-x1）（xx2）（a≠0）.

這樣，也就得到了表示二次函數的第三種表示方法：

（3）交點式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），x1、x2是二次函數的圖像與x軸的交點的橫坐標.

今后，在求二次函數的表達式時，我們可以根據題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交點式這三種表達形式中的某一形式來解題.下面不妨看兩道例題：

例1已知二次函數的圖像過點（-3，0）、（1，0），且頂點到x軸的距離等于2，求此二次函數的表達式.

解法1：由二次函數的圖像過點（-3，0）、（1，0），可設二次函數為y=a（x+3）（x-1）（a≠0）.

展開得y=ax2+2ax-3a.

由于二次函數圖像的頂點到x軸的距離為2，則|-4a|=2，即

解法2：由二次函數的圖像過點（-3，0）、（1，0），得其對稱軸為直線x=-1.

由頂點到x軸的距離為2，得頂點的縱坐標為2或-2.

于是可設二次函數為y=a（x+1）2+2，或y=a（x+1）2-2.

由于函數圖像過點（1，0），則0=a（1+1）2+2，或0=a（1+1）2-2.

說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當的方法來解決問題.

例2二次函數的圖像過點（-1，-22）、（0，-8）、（2，8），求此二次函數的表達式.

解：設該二次函數為y=ax2+bx+c（a≠0）.

由函數圖像過點（-1，-22）、（0，-8）、（2，8），可得：

解得a=-2，b=12，c=-8.

則所求的二次函數為y=-2x2+12x-8.

通過上面兩個例題，不妨歸納一下：在什么情況下，分別利用函數的一般式、頂點式、交點式來求二次函數的表達式？

在解題時，根據題目的已知條件，求解二次函數的解析式，需要遵循簡便、易行的方式，靈活地選取方法，一般遵循以下原則：

（1）不知道特殊點的坐標時，常用一般式來表示；

（2）知道頂點的坐標時，常用頂點式來表示；

（3）如果知道圖像與x軸的交點坐標，常用交點式來表示.

綜上所述，上述三種情況要靈活運用才能更全面也更好地理解二次函數的解析式.W