基于最優(yōu)化方法電流優(yōu)化的SRM轉(zhuǎn)矩控制研究*

黨選舉，王涵正,姜 輝

(桂林電子科技大學(xué) 電子工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣西 桂林 541004)

0 引言

開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)(SRM)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低、起動(dòng)轉(zhuǎn)矩大、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，在機(jī)械加工、新能源汽車等領(lǐng)域具有良好的發(fā)展前景。但由于SRM特有的雙凸級(jí)結(jié)構(gòu)，電機(jī)運(yùn)行時(shí)存在著高度的磁路飽和，轉(zhuǎn)矩與電流、轉(zhuǎn)子位置之間有著復(fù)雜的非線性和高度的耦合關(guān)系[1]，使SRM產(chǎn)生強(qiáng)烈的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)和噪聲問(wèn)題，限制了SRM在新能源汽車等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。

目前對(duì)于SRM的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)控制方法主要有：電流斬波控制(CCC)[2]、直接轉(zhuǎn)矩控制(DTC)[3]、直接瞬時(shí)轉(zhuǎn)矩控制(DITC)[4]等。轉(zhuǎn)矩分配函數(shù)法(TSF)將期望轉(zhuǎn)矩通過(guò)分配函數(shù)分配為各相繞組的單相轉(zhuǎn)矩，使各相繞組產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩之和等于期望轉(zhuǎn)矩，以此減少系統(tǒng)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)[5-7]。

在工業(yè)領(lǐng)域中，在變量有約束條件的條件下尋找目標(biāo)函數(shù)在解空間內(nèi)最值，常用的方法有拉格朗日乘子法[8-9]、罰函數(shù)法[10]等。拉格朗日乘子法是尋找多元函數(shù)在約束條件下全局極值的方法，被廣泛應(yīng)用于最優(yōu)化問(wèn)題求解。出于對(duì)控制目標(biāo)與分析問(wèn)題角度的不同，目標(biāo)函數(shù)的選取往往沒(méi)有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，而是根據(jù)實(shí)際被控對(duì)象的特點(diǎn)進(jìn)行確定。如文獻(xiàn)[9]利用拉格朗日乘子法簡(jiǎn)化了機(jī)械臂模型，減少了力矩誤差。

文獻(xiàn)[11]以電機(jī)設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)以及總體效率為優(yōu)化目標(biāo)，在開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)有限元分析模型的基礎(chǔ)上使用人群搜索算法對(duì)電機(jī)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，并得到了比使用遺傳算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)更低的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。文獻(xiàn)[12]使用差分進(jìn)化算法、大爆炸算法及粒子群算法三種典型的優(yōu)化算法對(duì)所提出的電流分配方法中的PI控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化、整定，并比較最后的轉(zhuǎn)矩輸出結(jié)果。然而由于SRM內(nèi)部的強(qiáng)非線性以及需要尋優(yōu)的參數(shù)數(shù)量較多，尋優(yōu)過(guò)程中參數(shù)的解空間難以確定，參數(shù)之間的耦合性也可能導(dǎo)致求解陷入局部最優(yōu)。文獻(xiàn)[13]提出使用了優(yōu)化方法對(duì)換相區(qū)間中的兩相電流進(jìn)行優(yōu)化分配的思想，直接以電流作為變量，針對(duì)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)以及效率設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)借助拉格朗日乘子法求解電流的最優(yōu)值；在目標(biāo)函數(shù)中，同時(shí)約束項(xiàng)無(wú)法兼顧復(fù)雜性與最終轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)抑制效果。

傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩分配函數(shù)是將參考轉(zhuǎn)矩利用固定的函數(shù)進(jìn)行對(duì)稱的分配，忽略了電機(jī)復(fù)雜的電磁特性；同時(shí)，已有的研究沒(méi)有將SRM轉(zhuǎn)矩分配方法置于優(yōu)化思想的框架下進(jìn)行深入探索，因此無(wú)法同時(shí)保證分配結(jié)果的準(zhǔn)確性和計(jì)算簡(jiǎn)便性。本文充分考慮了電機(jī)運(yùn)行時(shí)電感飽和引起的電流-轉(zhuǎn)矩之間的非線性關(guān)系，將電感的準(zhǔn)線性(近似非線性)模型引入優(yōu)化中，作為拉格朗日乘子法的約束項(xiàng)對(duì)轉(zhuǎn)矩進(jìn)行分配，以此得到更準(zhǔn)確的離線優(yōu)化電流分配函數(shù)。同時(shí)，系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩誤差進(jìn)行預(yù)處理后，通過(guò)迭代學(xué)習(xí)控制得到補(bǔ)償電流,與優(yōu)化電流共同作為電流滯環(huán)的參考輸入，實(shí)現(xiàn)減小轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的目標(biāo)。

1 開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)數(shù)學(xué)模型

1.1 開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)模型

開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)[3]的勵(lì)磁過(guò)程遵循磁阻最小原理。在忽略磁路飽和及渦流損耗的理想線性模型下，SRM的電壓方程為：

(1)

式中，Uk為第k相產(chǎn)生的電壓，ik為第k相繞組的相電流，θ為轉(zhuǎn)子位置，Ω為轉(zhuǎn)子角速度。電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式為：

(2)

(3)

其中，Lk(ik,θ)為第k相電感，Ttol為各相轉(zhuǎn)矩之和，n為相數(shù)。

1.2 SRM電感準(zhǔn)線性模型

(4)

(5)

Lk(ik,θ)=L0(θ)+L1cos(Nrθ+π)

(6)

根據(jù)式(6)，得到電感對(duì)角度θ的偏導(dǎo)為：

NrL1(ik)sin(Nrθ)

(7)

簡(jiǎn)化后得到：

(8)

基于傅里葉函數(shù)建立SRM電感的準(zhǔn)線性模型，相較于線性電感模型，包含更多電機(jī)運(yùn)行時(shí)的非線性特征；同時(shí)準(zhǔn)線性模型所需要的參數(shù)數(shù)據(jù)可以通過(guò)測(cè)量法或通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得到，消耗的計(jì)算資源比基于有限元分析的仿真模型更少。

因此本文所提出的算法用傅里葉函數(shù)建立電感準(zhǔn)線性模型，簡(jiǎn)化了運(yùn)算的同時(shí)保證了模型具有較高的準(zhǔn)確性，即：在對(duì)電流進(jìn)行最優(yōu)化迭代求解時(shí)，求解空間范圍更加精確，同時(shí)避免引入過(guò)多限制條件而降低優(yōu)化效率。

2 基于拉格朗日乘子法的離線轉(zhuǎn)矩-電流函數(shù)優(yōu)化

2.1 SRM電流二次型目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)

在多元函數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題中，拉格朗日乘子法在變量有約束的條件下建立拉格朗日函數(shù)，以此求解多元函數(shù)的最優(yōu)問(wèn)題[8]。根據(jù)式(2)中轉(zhuǎn)矩和電流的函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)矩的波動(dòng)與電流平方直接相關(guān)，因此在兩相電流的平方和最小時(shí)，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)實(shí)現(xiàn)最??；同時(shí)，考慮兩相電流的變化率，抑制電流的波形波動(dòng)，使電流變化優(yōu)化結(jié)果更平滑，進(jìn)一步減小轉(zhuǎn)矩波動(dòng)。根據(jù)文獻(xiàn)[13]，設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)并確定系數(shù)形式：

(9)

s.t.

(10)

其中，Ia表示前一相電樞繞組的電流，Ib表示后一相電樞繞組的電流，θn表示當(dāng)前時(shí)刻的轉(zhuǎn)子位置，θn-1表示上一時(shí)刻的轉(zhuǎn)子位置。

此目標(biāo)函數(shù)只需要確定換相區(qū)開(kāi)始的起始角角度，并利用準(zhǔn)線性電感模型限制轉(zhuǎn)矩與電流間函數(shù)關(guān)系，通過(guò)求解目標(biāo)函數(shù)的最小值得到優(yōu)化電流的函數(shù)，通過(guò)優(yōu)化自動(dòng)解得兩相電流重疊的導(dǎo)通角以及關(guān)閉角。

2.2 基于傅里葉準(zhǔn)線性模型的分段電流優(yōu)化

2.2.1 分段電流

根據(jù)開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的傅里葉準(zhǔn)線性模型及公式(7)，SRM工作時(shí)不同轉(zhuǎn)子位置的電感變化將導(dǎo)致SRM的電流-轉(zhuǎn)矩特性變化；在換相區(qū)，由相鄰兩相電樞繞組對(duì)應(yīng)著各自的電流-轉(zhuǎn)矩特性產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩。因此，本文采用分段的方法，將換相區(qū)的復(fù)雜非線性特性簡(jiǎn)化。圖1為目標(biāo)轉(zhuǎn)矩為5Nm時(shí)，根據(jù)電感的變化情況，以8.5°作為分段的邊界，將轉(zhuǎn)子前一相與后一相分別記為A相、B相。

圖1 期望轉(zhuǎn)矩為5Nm時(shí)分段優(yōu)化區(qū)間圖

為了能使電流平穩(wěn)分配，因此分段優(yōu)化第一階段(5≤θn-1<θn≤8.5)的拉格朗日優(yōu)化方程表示為：

L(Ia,Ib,λ,φ1,φ2)=

(11)

其中，q1=0.005，r1=2，5≤θn-1<θn≤8.5。

第二階段中，減少A相轉(zhuǎn)矩的輸出，同時(shí)使B相轉(zhuǎn)矩增加，使系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩輸出逐漸由A相過(guò)渡到B相，因此分段優(yōu)化第二階段(8.5≤θn-1<θn≤20)的拉格朗日優(yōu)化方程：

L(Ia,Ib,λ,φ1,φ2)=

(12)

其中，q2=0.007，r2=5，8.5≤θn-1<θn≤20。

從而最終將非線性電流曲線優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分段線性化的優(yōu)化問(wèn)題，并確定分段的優(yōu)化表達(dá)式。

2.2.2 分段優(yōu)化

(1)第一段優(yōu)化區(qū)間及迭代優(yōu)化過(guò)程

L(Ia,Ib,λ,φ1,φ2)=

(13)

其中，θn、θn-1分別為當(dāng)前時(shí)刻與上一時(shí)刻的轉(zhuǎn)子位置，拉格朗日乘子λ,φ1,φ2≥0。

由于拉格朗日乘子法要求其不等式約束必須滿足：

(14)

在換相區(qū)間內(nèi)，Ia和Ib不可能同時(shí)等于Imax，并且為了防止優(yōu)化時(shí)電流為0無(wú)法迭代運(yùn)算，因此在優(yōu)化開(kāi)始階段賦予Ia和Ib初值。所以，式(11)只有在φ1=φ2=0 時(shí)成立。

分別令式(13)對(duì)變量Ia,Ib,λ的偏導(dǎo)為0，得到：

(15)

(16)

(17)

聯(lián)立式(15)～式(17)，由式(18)、式(19)，離線計(jì)算得到λ值。

(18)

B2E2Gλ4+2(B2EF+BCE2)Gλ3+

(B2F2G+C2E2G-A2E2-B2D2)λ2+

2(BCF2G+C2EFG-A2FE-BCD2)λ+

C2F2G-A2F2-C2D2=0

(19)

其中，

(2)第二段區(qū)間迭代過(guò)程

(20)

故，第二階段拉格朗日函數(shù)為：

(21)

得到偏導(dǎo)：

(22)

(23)

(24)

同第一階段，先對(duì)λ通過(guò)離線計(jì)算得到，再將λ代入式(22)、式(23)得到Ia(θn)、Ib(θn)

3 基于誤差預(yù)處理的開(kāi)環(huán)P型迭代學(xué)習(xí)控制

迭代學(xué)習(xí)控制(Itrative Learning Control，ILC)是一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的控制算法。SRM電機(jī)開(kāi)環(huán)P型迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)控制, 將轉(zhuǎn)矩反饋誤差進(jìn)行預(yù)處理后再作為控制器反饋信號(hào)，開(kāi)環(huán)P型迭代學(xué)習(xí)控制表達(dá)式:

(25)

其中，

(26)

fa(θ)=sin(Nrθ)

(27)

(28)

本文的控制系統(tǒng)整體框圖如圖2所示?？刂葡到y(tǒng)分為3部分：①基于拉格朗日乘子法的離線電流優(yōu)化分配作為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)輸入；②改進(jìn)的迭代學(xué)習(xí)控制閉環(huán)控制策略以恒轉(zhuǎn)矩為目標(biāo)，輸出補(bǔ)償電流；③優(yōu)化電流與補(bǔ)償電流相疊加作為電流滯環(huán)控制的參考輸入電流以最終實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)抑制。由于系統(tǒng)的輸入為離線優(yōu)化得到的電流，無(wú)法構(gòu)成電流在線調(diào)節(jié)的恒轉(zhuǎn)矩閉環(huán)控制系統(tǒng)，因此引入迭代學(xué)習(xí)控制和電流滯環(huán)控制對(duì)系統(tǒng)的電流進(jìn)行補(bǔ)償。

圖2 基于拉格朗日乘子法離線優(yōu)化分配電流的SRM轉(zhuǎn)矩閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖

4 仿真與分析

為了驗(yàn)證所提出的控制策略對(duì)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)抑制的有效性，在Matlab/Simulink仿真軟件中對(duì)所提出算法的效果進(jìn)行仿真和效果驗(yàn)證。本文以12/8型SRM模型[15]為例建立電機(jī)運(yùn)行仿真模型，其中，電機(jī)的主要模型參數(shù)為：定子電阻Rs=0.005Ω，電感最大值Lmax=23.62mH電感最小值Lmin=0.67mH，磁鏈最大值Ψmax=0.48Wb ；以及直流電源電壓VDC=100V，電機(jī)負(fù)載TL=2Nm，給定轉(zhuǎn)矩Td=5Nm。啟動(dòng)時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩為2Nm導(dǎo)通角為5°。通過(guò)對(duì)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的定量分析衡量最終控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)越小，則系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。定義轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)系數(shù)[16]Tripple如下：

(29)

式中，Tmax、Tmin和Tav分別為電機(jī)到達(dá)穩(wěn)態(tài)后的最大瞬時(shí)轉(zhuǎn)矩、最小瞬時(shí)轉(zhuǎn)矩及平均轉(zhuǎn)矩。

由于在優(yōu)化開(kāi)始時(shí)，若Ib=0 則優(yōu)化過(guò)程將無(wú)法進(jìn)行，因此需要賦予Ia,Ib一定初值。本文根據(jù)TSF轉(zhuǎn)矩分配控制策略得到的電流值作為優(yōu)化開(kāi)始時(shí)Ia,Ib的初值。圖3表示了期望轉(zhuǎn)矩分別為5Nm和3Nm時(shí)分段迭代優(yōu)化的電流函數(shù)結(jié)果。圖3的優(yōu)化結(jié)果說(shuō)明，優(yōu)化得到的電流交疊的角度明顯大于傳統(tǒng)TSF。

其中期望轉(zhuǎn)矩為5Nm時(shí)系數(shù)的選取為：

(30)

期望轉(zhuǎn)矩為3Nm時(shí)系數(shù)的選取為：

(31)

圖3 期望轉(zhuǎn)矩為5Nm和3Nm的優(yōu)化電流結(jié)果

圖4的3條曲線分別為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)情況下，離線分段優(yōu)化電流函數(shù)及TSF策略下輸入電機(jī)后的轉(zhuǎn)矩波形，離線分段優(yōu)化電流在期望轉(zhuǎn)矩為5Nm及3Nm時(shí)的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)分別為23.6%、11.3%，傳統(tǒng)轉(zhuǎn)矩分配函數(shù)的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)為 39.5%。從圖4對(duì)比可以看出，在開(kāi)環(huán)控制下，使用拉格朗日乘子法分段優(yōu)化可以明顯抑制系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，且分段優(yōu)化以后電流的曲線可以實(shí)現(xiàn)更小的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。

圖4 轉(zhuǎn)矩離線優(yōu)化分配方法與轉(zhuǎn)矩分配函數(shù)(TSF)的轉(zhuǎn)矩波形對(duì)比

系統(tǒng)輸入離線分段優(yōu)化電流后，SRM產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩輸出并得到轉(zhuǎn)矩誤差，對(duì)誤差進(jìn)行預(yù)處理以后作為開(kāi)環(huán)P型迭代學(xué)習(xí)控制的輸入使控制系統(tǒng)閉環(huán)。最終的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)為：5.76%和7.26%，轉(zhuǎn)矩輸出波形如圖5、圖6所示。

圖5 期望轉(zhuǎn)矩為3Nm時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)

圖6 期望轉(zhuǎn)矩為5Nm時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)

結(jié)合上文分析，給出對(duì)比表格如表1所示。

表1 轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)系數(shù)對(duì)比

對(duì)比圖4、圖5和圖6可知，所提出的控制策略較使用傳統(tǒng)TSF方法疊加普通開(kāi)環(huán)P型的迭代收斂速度更快，且轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)進(jìn)一步得到抑制。

5 結(jié)論

本文對(duì)傳統(tǒng)對(duì)稱轉(zhuǎn)矩分配進(jìn)行改進(jìn)，基于開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)電感準(zhǔn)線性模型，提出了拉格朗日乘子法優(yōu)化的電流分段分配策略；并對(duì)反饋電流引入迭代學(xué)習(xí)，輸出補(bǔ)償電流，與離線優(yōu)化電流疊加作為電流滯環(huán)控制的輸入，以有效抑制轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。仿真結(jié)果表明，對(duì)于給定轉(zhuǎn)矩控制，該優(yōu)化分配電流的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)明顯低于傳統(tǒng)轉(zhuǎn)矩分配控制策略；同時(shí)，改進(jìn)的迭代學(xué)習(xí)使控制系統(tǒng)收斂更快，驗(yàn)證了所提出算法對(duì)開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)抑制的有效性。