光滑圓柱與粗糙板的彈塑性接觸的有限元分析

高飛翔

(福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州 350116)

0 引言

滾動(dòng)軸承由于表面存在微凸體以及潤(rùn)滑狀況不佳，而處于邊界潤(rùn)滑，滾子與滾道的一部分區(qū)域可能發(fā)生直接接觸，導(dǎo)致局部的接觸應(yīng)力很大，可能造成塑性變形或者損傷。彭朝林等[1]在采用脂潤(rùn)滑的滾動(dòng)軸承失效分析中發(fā)現(xiàn)滾道表面磨損、剝落和塑性變形失效形式占比超過80%。張永振等[2]在滾動(dòng)軸承失效分析中發(fā)現(xiàn)摩擦條件和潤(rùn)滑狀態(tài)與密封技術(shù)是主要的影響因素。因此探究無潤(rùn)滑狀況下粗糙表面的接觸有實(shí)際意義。

在接觸過程中，物體可能發(fā)生彈性變形、彈塑性變形和完全塑性變形中的一種或幾種[3-5]。Hertz[6-7]基于接觸物體的表面至少是二階連續(xù)、非共形的小變形的無表面摩擦接觸的假設(shè)，分析接觸的應(yīng)力和變形，在[8]中提到Hertz接觸常見的例子是剛性球和彈性光滑表面的接觸。1966年,Greenwood和Williamson[9]提出了分析光滑表面和粗糙表面的彈性和彈塑性接觸的統(tǒng)計(jì)模型，探究了載荷與接觸面積、真實(shí)平均接觸壓力的關(guān)系，并提出用塑性指數(shù)作為接觸的物體發(fā)生塑性變形程度的判斷方法，但其假設(shè)微凸體頂端半徑均相等過于理想。Chang W R等[10]基于雙粗糙面可以簡(jiǎn)化為單粗糙面和光滑剛性平面的接觸,第一次提出彈塑性變形接觸的CEB模型，在塑性變形期間基于微凸體的體積守恒計(jì)算。對(duì)于粗糙面間的接觸，可以簡(jiǎn)化為等效的彈塑性粗糙面和剛性表面接觸[10-16],文獻(xiàn)[15-16]研究彈塑性的滾動(dòng)體與剛性光滑表面的接觸，文獻(xiàn)[17-19]研究雙粗糙面的彈塑性接觸。對(duì)粗糙面間的彈塑性接觸，簡(jiǎn)化為彈塑性的粗糙面與彈塑性的光滑表面的接觸，雖和通常做法有偏差，但簡(jiǎn)化了模型，亦不作為等效粗糙面的探究，對(duì)于探究的問題只是定性研究，這種簡(jiǎn)化有一定意義。大多數(shù)文獻(xiàn)探究了載荷和接觸面積的關(guān)系，但很少探究滾動(dòng)體在粗糙面接觸過程中是否存在接觸不均的現(xiàn)象。

文獻(xiàn)[5,14,20]建立了二維的彈塑性接觸模型。本文基于修正的兩變量的分形函數(shù)建立三維彈塑性接觸有限元模型，考慮微凸體相互作用，探究算術(shù)平均高度對(duì)接觸過程中的產(chǎn)生的最大Mises應(yīng)力及接觸面積的影響。

1 建立彈塑性接觸的有限元模型

1.1 建立三維分形表面

機(jī)加工表面具有分形特征[6,21]。修正的兩變量三維W-M分形函數(shù)的表達(dá)式[22]如下：

(1)

(2)

其中，C是尺度系數(shù)，L是模擬表面的尺寸大小；G是高度比例系數(shù)；D是分形維數(shù)(2

本文中分形維數(shù)D=2.4，獲得表面的算術(shù)平均高度Sa分別是0.445μm、2.6088μm、4.3476μm、5.55696μm的點(diǎn)坐標(biāo)。把所有的z坐標(biāo)除以1000，使得它從μm轉(zhuǎn)化為mm，并把數(shù)據(jù)導(dǎo)出到文件中，在Pro/e wildfire 5.0生成粗糙表面，生成實(shí)體并裝配，最后導(dǎo)入到ABAQUS軟件中進(jìn)行建模。

1.2 建立接觸的有限元模型

假設(shè)：材料各向同性；圓柱都是光滑的；接觸是無摩擦的；粗糙板上只有接觸表面是粗糙的。

為了節(jié)省計(jì)算資源，以及在寬度方向有更多采樣點(diǎn)，圓柱體直徑2mm,寬0.4mm,板的尺寸為1.16mm×0.5mm×0.4mm。圓柱和粗糙板的材料都是GCr15,文獻(xiàn)[23] 中材料的應(yīng)力和應(yīng)變分別是工程應(yīng)力和工程應(yīng)變，需要轉(zhuǎn)化成真實(shí)應(yīng)力與真實(shí)應(yīng)變[24-25], 材料數(shù)據(jù)見表1。采用接觸對(duì)，參與接觸的兩表面單元數(shù)量差距懸殊，為確保數(shù)值準(zhǔn)確性，接觸中采用懲罰接觸算法。約束下方的板狀物體，在初始條件及之后使其不能移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而對(duì)于上方的圓柱體，約束5個(gè)自由度，不對(duì)施加力的方向施加位移約束，使圓柱體在力的作用下與粗糙面接觸，如圖1a所示。

考慮到在力的作用下探究應(yīng)力場(chǎng)的分布，本文采用施加恒力載荷。在圓柱兩底面的一部分圓形區(qū)域使用了分布耦合約束，它的參考點(diǎn)在圓柱幾何中心，并施加名義接觸面的法向力。至于網(wǎng)格劃分，圓柱體分成三塊，接觸區(qū)域的種子大小為0.01，圓柱厚度方向邊種子大小為0.01，單元總數(shù)量約295512；板的接觸區(qū)域尺寸大小為0.01,約53280個(gè)單元。單元采用線性縮減積分六面體單元C3D8R，并在接觸區(qū)域采用精細(xì)的網(wǎng)格，模型網(wǎng)格如圖1b所示。經(jīng)過驗(yàn)證，接觸區(qū)域的單元尺寸0.01可以滿足計(jì)算要求，誤差在10%以內(nèi)。

表1 GCr15的材料參數(shù)

(a) 邊界條件 (b) 網(wǎng)格劃分 圖1 模型的邊界條件和網(wǎng)格劃分

1.3 彈性極限

由于微凸體的存在，表面并不光滑，接觸只發(fā)生在部分凸峰區(qū)域，由此產(chǎn)生的應(yīng)力分布和應(yīng)力大小千差萬別。由于接觸區(qū)域面積小并且受力不均，可能很小的載荷就導(dǎo)致了Mises應(yīng)力超過屈服強(qiáng)度使得材料發(fā)生了塑性流動(dòng)。由于接觸的存在和材料的非線性，使得接觸力學(xué)的數(shù)值計(jì)算很復(fù)雜，甚至是沒法得到解析解[7]。數(shù)值方法為解決這類問題開辟了一條新道路。有限元方法具有求解精度高，能較好解決非線性問題并獲取滿意的數(shù)值解。根據(jù)塑性變形應(yīng)用Tresca準(zhǔn)則和 Mises準(zhǔn)則的對(duì)比實(shí)驗(yàn)[26]，使用Mises準(zhǔn)則更接近實(shí)際結(jié)果。von-Mises準(zhǔn)則公式[6]如下：

(3)

其中，σ1 、σ2和σ3是主應(yīng)力，k是純剪切的屈服應(yīng)力，Y是簡(jiǎn)單拉伸(或壓縮)的屈服應(yīng)力。

2 結(jié)果分析與討論

2.1 不同粗糙度的板與光滑圓柱的接觸

基于三維分形函數(shù)生成粗糙表面的板，與光滑的圓柱組成一個(gè)單粗糙面接觸模型,并與光滑表面間接觸模型相對(duì)比。對(duì)圓柱施加恒定的接觸表面名義上的法向載荷3N，在每個(gè)模型中都賦予了材料的彈塑性力學(xué)性能。在光滑接觸模型中，光滑圓柱與光滑板的接觸均是發(fā)生彈性變形，由于Mises應(yīng)力遠(yuǎn)低于屈服強(qiáng)度，材料的塑性參數(shù)并未使用。然而單粗糙面接觸模型，由于表面凹凸不平，初始接觸面積比較小，在載荷的作用下，初始接觸區(qū)域的Mises應(yīng)力不斷增大，如果接觸過程中最大Mises應(yīng)力超過了屈服應(yīng)力，材料會(huì)發(fā)生塑性流動(dòng)，因而接觸面積還會(huì)增大。變形增大，增加接觸面積，直到光滑圓柱與粗糙板的接觸系統(tǒng)達(dá)到平衡。由于微凸體的存在，在圓柱寬度(高度)方向上仍存在著局部區(qū)域不參與承載。單粗糙面接觸模型中光滑圓柱的Mises應(yīng)力均已超過了屈服強(qiáng)度，甚至達(dá)到了最大屈服強(qiáng)度。從圖2和圖3中可知，對(duì)圓柱施加3N的力，光滑圓柱與光滑板均發(fā)生彈性變形；在相同載荷下，與粗糙表面相接觸的光滑圓柱都發(fā)生了塑性變形，除了算術(shù)平均高度Sa為0.445μm的粗糙板未發(fā)生塑性變形外，其它粗糙板都發(fā)生了塑性變形；隨著算術(shù)平均高度的增加，光滑圓柱的最大Mises的最大應(yīng)力大致呈現(xiàn)出先增加后穩(wěn)定的趨勢(shì)，粗糙板的最大Mises應(yīng)力也呈現(xiàn)出先增加后穩(wěn)定的趨勢(shì)，接觸面積呈現(xiàn)出先增加再減小又增加的不穩(wěn)定變化規(guī)律。對(duì)比表面算術(shù)平均高度Sa分別是0和0.445μm的兩接觸模型，粗糙接觸模型的接觸面積大于光滑接觸模型的接觸面積，但粗糙模型中兩接觸物體的最大Mises應(yīng)力卻更大，只有粗糙面接觸模型中的光滑圓柱發(fā)生了塑性變形，可知接觸面積不是主因，而是因?yàn)槲⑼贵w的存在造成表面凹凸不平導(dǎo)致接觸不均，接觸面積雖然增加，但是接觸不均造成局部的最大Mises應(yīng)力很大。在表面算術(shù)平均高度Sa分別是 2.6088μm與4.3476μm的兩接觸模型對(duì)比中，可知后者的接觸面積雖然增加了，但后者中粗糙板的最大Mises應(yīng)力略有增加，因此后者接觸模型存在局部接觸不均。對(duì)比表面Sa為2.6088μm與Sa為5.55696μm兩接觸模型的接觸面積，后者的接觸面積接近于前者接觸面積的兩倍，但是兩模型的圓柱和粗糙板的最大Mises應(yīng)力很接近，因此后者在局部也存在著接觸不均。隨著表面算術(shù)平均高度的增加，表面凹凸不平的趨勢(shì)增加，接觸的兩物體發(fā)生接觸不均的機(jī)率也在增加。

圖2 最大Mises應(yīng)力與算術(shù)平均高度Sa的變化關(guān)系曲線

圖3 接觸面積與算術(shù)平均高度Sa的變化關(guān)系曲線

2.2 光滑圓柱在算術(shù)平均高度Sa 為2.6088μm的粗糙面上不同位置的彈塑性接觸

為進(jìn)一步探究，在表面算術(shù)平均高度Sa為2.6088μm的接觸模型中發(fā)現(xiàn)了類似的現(xiàn)象。對(duì)粗糙板重新劃分網(wǎng)格，接觸表面上的網(wǎng)格大小都是0.01,并且數(shù)據(jù)都是重新計(jì)算的，如圖4所示。

圖4 光滑圓柱與表面Sa為2.6088的粗糙板的接觸模型

位置光滑圓柱最大Mises應(yīng)力(MPa)粗糙板最大Mises應(yīng)力(MPa)接觸面積(mm2)原位置187816940.0151665左移0.2187815040.0261248右移0.1187815110.0266217

在表2中，隨著接觸面積增大，最大Mises應(yīng)力呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，但接觸面積增加到1.755倍，而最大Mises應(yīng)力減少到原來的89.2%；在接觸面積相近的情況下，兩模型中相對(duì)應(yīng)的接觸物體的Mises應(yīng)力都非常接近；在接觸面積最大和第二大的模型中，粗糙板與光滑圓柱之間的接觸存在接觸不均。由于微凸體的存在，表面凹凸不平，圓柱與曲面在有一定曲率的凹處相接觸，剛接觸時(shí)由于接觸面積小，應(yīng)力增大；當(dāng)應(yīng)力超過了彈性極限后，使得材料向周圍發(fā)生塑性流動(dòng)，由于曲率中心在接觸面的同一側(cè)，發(fā)生塑性變形的材料可能與圓柱接觸，這既能使部分邊緣的接觸區(qū)域參與承載，也能增加接觸面積，但接觸應(yīng)力不大，承載偏小，因而在接觸的核心區(qū)域應(yīng)力仍然很大。因此，微凸體的存在、弧形曲面以及材料的塑性變形使得接觸更加不均。

3 結(jié)論

(1)施加相同的小載荷，光滑圓柱和光滑板的接觸發(fā)生彈性變形，但光滑圓柱與粗糙板的接觸中，光滑圓柱都發(fā)生了塑性變形，多數(shù)粗糙板也發(fā)生了塑性變形。

(2)隨著表面算術(shù)平均高度的增加，光滑圓柱和粗糙板的最大Mises應(yīng)力呈現(xiàn)出先增加后穩(wěn)定的趨勢(shì)，接觸面積有不穩(wěn)定的變化，接觸不均的機(jī)率增加。

(3)在光滑圓柱與表面Sa為2.6088μm的粗糙板的接觸模型中，改變接觸位置，發(fā)現(xiàn)接觸不均。微凸體的存在、弧形曲面的接觸以及材料的彈塑性變形，可能發(fā)生接觸不均。