基于多目標擾動觀測器的不確定機器人滑模自適應軌跡跟蹤控制*

劉樹博，劉國權，周煥銀，羅先喜，楊 波，江思懿

(東華理工大學 a.江西省新能源工藝及裝備工程技術研究中心；b.機械與電子工程學院，南昌 330013)

0 引言

機器人是一類具有高度非線性、強耦合性和時變性的系統(tǒng)，且在工作中會受到所在環(huán)境、摩擦、負載擾動等因素的影響，因此機器人是一個典型的非線性不確定系統(tǒng)，其精確的數(shù)學模型往往難以得到，給機器人軌跡跟蹤控制帶來了一定的困難。

針對機器人的跟蹤控制問題，國內(nèi)外學者進行了大量研究，并取得了一些顯著的研究成果[1-5]。滑?？刂剖且活愄厥獾姆蔷€性控制，對系統(tǒng)模型的不確定性和外界擾動具有高度的魯棒性，已被成功應用于機器人跟蹤控制中。文獻[6-7]提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡補償?shù)幕Ｗ兘Y構控制，增強了系統(tǒng)魯棒性，達到了良好的跟蹤效果。文獻[8]對機器人軌跡全局滑模魯棒自適應控制進行研究，仿真結果表明了該算法的有效性。文獻[9-10]提出了一種自適應滑模軌跡跟蹤控制器，成功地解決了系統(tǒng)中未知參數(shù)、外界擾動和負載給機器人帶來的不利影響。

到目前為止，大量的機器人控制策略，都是在系統(tǒng)動力學及其相關信息已知的前提下進行的。然而在實際工程中，機器人特性往往無法精確獲取，甚至是完全未知的，使原有控制策略無法有效執(zhí)行，從而降低了其實用性和有效性。因此，研究一種實用性較強，不依賴于機器人先驗信息的控制策略，具有十分重要的意義。

擾動觀測器技術，可用于逼近系統(tǒng)中的不確定干擾，對抑制機器人系統(tǒng)擾動和增強系統(tǒng)魯棒性，起到了促進作用[11-12]。結合滑模控制和干擾觀測器的各自優(yōu)點，本文將二者相結合，以不確定機器人為研究對象，利用系統(tǒng)可測輸出，提出一種不依賴系統(tǒng)先驗信息的非抖振滑模自適應控制策略，通過與已有算法進行比較，進一步驗證了該算法的實用性與有效性。

1 機器人軌跡跟蹤問題描述

考慮具有n個關節(jié)的剛性機器人系統(tǒng)，其動力學方程可描述如下：

(1)

(2)

式中，x=[x1,x2]T∈R2n×1為系統(tǒng)狀態(tài)變量；

f(x,t)=-M-1(x1)·[-C(x1,x1)x2-G(x1)]∈Rn×1；ω(x,t)=-M-1(x1)·Γ(x1,x2,t)∈Rn×1；

b(x,t)=M-1(x1)∈Rn×n。

機器人是典型的非線性不確定系統(tǒng)，在實際工程中獲取其精確的模型難度較大，即便是標稱模型也是十分難得。因此，設計一種新型實用的數(shù)學模型，對機器人跟蹤控制問題的研究，具有十分重要的意義。鑒此，將模型(2)進行修改，可得如下形式：

(3)

其中，kc為待定時變正數(shù)，

d=ω(x,t)+f(x,t)+[b(x,t)-kc]u(t)為n×1階集總擾動向量。

(4)

本文研究的問題可描述如下：為機器人系統(tǒng)設計滑?？刂埔?guī)律，考慮所有的外界擾動和內(nèi)部不確定性，設計不基于系統(tǒng)先驗信息的滑模自適應控制律u，使得對于任意初值(e1(0)，e2(0))，當t→∞時，e1→0且e2→0，使機器人關節(jié)實現(xiàn)對給定信號的跟蹤。

2 滑模跟蹤控制器設計

為了實現(xiàn)機器人的軌跡跟蹤控制，本節(jié)首先根據(jù)機器人軌跡跟蹤目標，設計出合適的切換函數(shù)，其次基于切換函數(shù)設計擾動觀測器來實現(xiàn)對擾動向量的估計，最后基于Lyapunov方法設計自適應滑?？刂破?，實現(xiàn)機器人關節(jié)對給定信號的有效跟蹤。

2.1 滑?？刂坡傻奶岢?/h3>

設計以下復合滑模面s：

(5)

其中，In為n階單位矩陣；s∈Rn×1，K1=k1In∈Rn×n，K2=k2In∈Rn×n；k1>0，k2>0為待定常數(shù)。將式(4)代入式(6)，可得：

(6)

假設2 ：給定期望跟蹤軌跡xr光滑，且其三階導數(shù)存在。

對式(6)進行求導，可得：

(7)

假定系統(tǒng)(4)的狀態(tài)變量可測，采用指數(shù)趨近律，基于式(7)設計得到滑?？刂坡扇缦拢?/p>

(8)

(9)

式(8)是一個關于控制輸入u的微分方程，通過對不連續(xù)切換項進行積分運算，可對抖振現(xiàn)象起到了較好地抑制效果。

2.2 多目標擾動觀測器的設計

2.2.1 觀測器結構設計

在控制律(8)中，由于存在擾動估計向量，因此設計擾動觀測器是十分必要的。設計擾動觀測器結構如下：

(10)

(11)

基于式(11)，進一步推導可得：

(12)

(13)

2.2.2 觀測器多目標設計方法

(14)

引理2：根據(jù)極點配置理論[14]，系統(tǒng)(13)的閉環(huán)極點處于Θ(qc,ra)中，當且僅當存在2n階對稱正定矩陣Σ2，滿足以下不等式

(15)

基于定理1，最優(yōu)觀測器矩陣Q*可以通過求解以下優(yōu)化問題獲得：

minρs.t. 式(14～15)

(16)

多目標設計方法兼顧了觀測器的穩(wěn)定性和動態(tài)性能，與已有報道[15-16]相比，具有更加優(yōu)異的動態(tài)性能。

對于優(yōu)化問題(16)的求解，有以下兩方面值得注意：首先，Q由矩陣T和F相加而成，其特殊結構并不利于直接利用LMI方法進行求解。其次，在Σ1=Σ2的前提下進行求解，勢必會給求解帶來一定的保守性。因此，針對具有特定結構的矩陣Q，采用一種非保守的求解方法，是十分必要的。本文采用了將差分進化算法和LMI相結合的方法，對其優(yōu)化問題(16)進行求解，獲得的最優(yōu)觀測矩陣為Q*=arg infρ。算法具體步驟詳見文獻[17-19]，流程圖如圖1所示。

圖1 求解算法流程圖

2.3 滑模自適應控制律設計

定理2:針對機器人系統(tǒng)(1)及復合滑模面(5)，選取滑?？刂坡?8)及以下自適應控制律：

(17)

式中，α和β為自適應學習率。若控制律(8)中的切換增益滿足條件ks=kc+k+ε，其中ε為任意正數(shù)，則跟蹤誤差系統(tǒng)(4)全局漸進穩(wěn)定，即t→∞時，系統(tǒng)的位置跟蹤誤差e趨近于零。

(18)

對V進行求導可得：

(19)

將式(9)代入式(19)中，可得:

(20)

再將式(17)代入式(20)中，可得

(21)

3 仿真分析

將本文控制算法應用于雙連桿機器人中[20]，其狀態(tài)方程如下：

(22)

仿真中需要設定參數(shù)如下：首先，選取qc=200和ra=40，使用MATLAB中的LMI工具箱求解優(yōu)化問題(17)，可得最優(yōu)觀測器矩陣為：

其次，滑模面參數(shù)為K1=K2=4I2；最后，自適應率選為α=0.03，β=0.01，ε=0.5。

文獻[20]基于機器人回歸矩陣模型，利用新型的Nussbaum函數(shù)設計了自適應跟蹤控制律。為了進一步說明控制效果，與文獻[20]的方法進行對比，仿真結果如圖2、圖3所示。從圖中的對比可以發(fā)現(xiàn)：在本文算法控制下，機器人關節(jié)響應速度更快，且具有更小的穩(wěn)態(tài)誤差，因此能夠更好地實現(xiàn)對給定信號曲線的跟蹤，達到了更好的控制效果。由于本文算法只以系統(tǒng)輸出信號為反饋，不依賴系統(tǒng)的模型結構，因此具有更強的實用性。

圖2 關節(jié)1位置及速度跟蹤誤差曲線

圖3 關節(jié)2位置及速度跟蹤誤差曲線

4 結論

以非線性不確定機器人為研究對象，使用多目標擾動觀測器逼近系統(tǒng)的建模誤差和不確定干擾項，在此基礎上研究了非抖振滑模自適應跟蹤控制策略，并通過Lyapunov方法設計了自適應控制律，確保了系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。最后，通過與已有文獻的結果相比，驗證了所提控制策略的實用性和有效性。