平均數(shù)教學(xué)的實踐與思考

臺州學(xué)院 丁虹尹

平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)整體情況集中趨勢的代名詞，應(yīng)用于數(shù)學(xué)的方方面面。雖然不是實質(zhì)的數(shù)字，但又的確來源于個體數(shù)據(jù)，反應(yīng)真實情況。平均數(shù)算法的多樣化，其算理和算法作為知識起點衍生出的內(nèi)容，以及平均數(shù)與個體數(shù)之間的聯(lián)系，都是值得思考的地方。

本文的靈感來源于錦園小學(xué)兩位老師分別執(zhí)教的《平均分》和《平均數(shù)》，聽完后我對于“平均數(shù)”進行了一些思考，并將自己的想法整理記錄下來。文章將圍繞“平均數(shù)”與“個體數(shù)”，對它們的兩種計算方法（移多補少、總數(shù)均分）以及相互關(guān)系進行討論。

一、個體數(shù)與平均數(shù)在不同學(xué)段的呈現(xiàn)方式

（一）低段教學(xué)，出現(xiàn)平均數(shù)概念，但不突顯

在小學(xué)階段，學(xué)生初次接觸到平均的概念是二年級學(xué)習(xí)“平均分”的時候。平均分意味著把總數(shù)分成若干份，使得每份都一樣。舉一個例子：“將15個桃子平均分給3個小朋友，每人可以得到幾個桃子？”我們知道答案是每個小朋友都可以得到5個桃子，然而我覺得，這5個桃子還有一個更深層次的作用，它應(yīng)該讓小朋友意識到，這樣的分法的的確確做到了公平公正、數(shù)量一樣，所以這個5不單是每人分到的桃子的個數(shù)，即我們稱之為“個體數(shù)”，它還體現(xiàn)了每個小朋友都是分到一樣多，是平均的，所以這個5也是這些小朋友所擁有的桃子數(shù)量的“平均數(shù)”。因此，在平均分的過程當(dāng)中，個體數(shù)和平均數(shù)在數(shù)值上是相等的。與平均數(shù)類似性質(zhì)的還有在高年級的時候會學(xué)到的分?jǐn)?shù)，例如1/3，就是把1平均分成3份，1/5就是把1平均分成5份，每份都是一樣多的。而大部分的學(xué)生為什么都會有這樣的感覺：1/3+1/5的結(jié)果應(yīng)該不是把分子和分子相加，分母和分母相加，即得到2/8，就是因為這樣的加法違背了“平均”的概念，兩個個體數(shù)之間不存在直接的關(guān)系，由此想到把1/3和1/5都分得再細一些，再小一些，而且使得每一份的數(shù)量都要一樣，因此把個體數(shù)都變成1/15，1/30,1/45，…，使得兩個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位達到“平均一致化”，然后再相加，即得出方法：異分母分?jǐn)?shù)相加，應(yīng)該先通分。

（二）高段教學(xué)，突顯“平均數(shù)”的意義

學(xué)生初次接觸到“平均數(shù)”的概念是在四年級下冊第90頁例一：小紅、小蘭、小亮、小明各收集了 14、12、11、15 個瓶子，整個小隊平均每人收集了多少個？在剛才低年級的情境中我們可以知道：“5”這個數(shù)字既可以代表每個小朋友分得的桃子數(shù)量，也可以用來表示他們每人分得桃子的整體情況；而在這個情境當(dāng)中，想要用一個數(shù)字來表示4個同學(xué)收集瓶子的整體情況，“平均數(shù)”的意義和作用就自然而然地顯現(xiàn)了出來，因為平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，是反應(yīng)數(shù)據(jù)集中趨勢的一個指標(biāo)，形象地說，是很多不同個體數(shù)形成集合的“法人代表”。正因為平均數(shù)在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，由此也衍生出了“算術(shù)平均數(shù)”、“幾何平均數(shù)”、“調(diào)和平均數(shù)”、“加權(quán)平均數(shù)”、“平方平均數(shù)”、“指數(shù)平均數(shù)”等，每一種平均數(shù)都有著其獨特的計算方法和作用。而在小學(xué)數(shù)學(xué)中，我們所講的平均數(shù)一般指的是算術(shù)平均數(shù)。

二、求平均數(shù)的兩種方法的區(qū)別和聯(lián)系

這里面就涉及到了兩種求平均數(shù)的方法，一種方法是“移多補少”，另一種方法是利用“總數(shù)÷數(shù)量”（我們簡稱“總數(shù)均分”）得到。利用這兩種方法都可以求得平均數(shù)，因此我們在教平均數(shù)的時候都會習(xí)慣性地把這兩種方法一起說，但是仔細思考之后，我認為兩種方法其實是不太相同的，因為求平均數(shù)的操作有兩步，分別為“分”和“數(shù)”，兩種方法的區(qū)別也就在此體現(xiàn)。

（一）“移多補少”是先分后數(shù)的過程

舉一個生活中的例子，如何把一堆總數(shù)不知道的硬幣平均分成4份（假設(shè)正好能夠分完）。我們可以采用“移多補少”的方法：先把這堆硬幣疊起來任意分成4份，然后通過對每一堆進行增加或者減少達到平均分配。但其實我們在分好了之后并不知道每一堆硬幣到底有幾枚，只不過我們知道這樣的分法的確已經(jīng)使得每一堆的數(shù)量都一樣了，至于平均數(shù)到底是多少，我們還是要通過“數(shù)一數(shù)”的辦法去驗證。因此我認為“移多補少”準(zhǔn)確地來說是先均衡個體差異，而非直接求出平均數(shù)的大小。在現(xiàn)實生活中，類似的例子還有不少，比如挑扁擔(dān)、分試卷等，這種方法比較適合于實際操作，或者能估出平均數(shù)的情況。

（二）“總數(shù)均分”是先數(shù)后分的過程

例如：求全班這一次數(shù)學(xué)測試的平均分是多少？我們肯定會選擇數(shù)全班同學(xué)的分?jǐn)?shù)相加再除以全班的人數(shù)，得到班級平均分。因為這時候，“移多補少”這樣的方法在實際中就有很大的局限性：第一，將抽象的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成可以進行移補操作的圖，需要花費很長的時間；第二，數(shù)據(jù)太復(fù)雜，平均數(shù)估不出來，而且極大可能出現(xiàn)除不盡的情況。生活當(dāng)中很多平均數(shù)的問題都是像這樣個體數(shù)龐大、平均數(shù)又不是整數(shù)的，所以“總數(shù)均分”這種方法是求平均數(shù)最通用、最直接的辦法。和“移多補少”比較，它的特點是不需要考慮個體數(shù)之間數(shù)量、大小的差異，因此比較適合于個體數(shù)量較多，比較抽象，或者不容易直接看出平均數(shù)的時候。

（三）在不同題型中，兩種算法的優(yōu)化對比

例如：例1：甲班43人，乙班35人，那么這兩班的平均人數(shù)是幾人？

算式：①（43+35）÷2=39（人）（總數(shù)均分）

②43-35=8 8÷4=2 43-4=39（移多補少）

例2：甲班43人，乙班35人，丙班42人，那么這三班的平均人數(shù)是幾人？

算式：①（43+35+42）÷3=40（人）（總數(shù)均分）

②42-39=3（人）3÷3=1（人） 39+1=40（人）（移多補少）通過例1、例2，我們可以發(fā)現(xiàn)：在計算平均數(shù)時，“總數(shù)均分”較為簡單，“移多補少”比較麻煩。

再例如：例3：甲、乙兩班平均39人，甲班43人，比乙班多幾人？

算式：①39×2-43=35（人）43-35=8（人）（總數(shù)均分）

②（43-39）×2=8（人）（移多補少）

例4：甲乙兩班平均39人，甲班新來2人，這時兩班平均幾人？

算式：①（39×2+2）÷2=40（人）（總數(shù)均分）

②2÷2+39=40（人）（移多補少）

通過例3、例4，我們可以發(fā)現(xiàn)：在計算個體數(shù)、局部個體數(shù)變化求平均數(shù)時，“總數(shù)均分”較為麻煩，“移多補少”比較簡單。

因此，歸納起來就是：“移多補少”體現(xiàn)的是個體差異，最適應(yīng)于求個體數(shù)問題，“總數(shù)均分”最適用于求平均數(shù)問題。但兩個方法也可以互通，因為平均數(shù)和個體數(shù)之間存在著互相依存的關(guān)系，我們在計算中，需要根據(jù)具體情況選擇合適的方法。

另外，結(jié)合高年級的二元一次方程來看，兩種方法也有共通的地方。舉一個例子：A+B=40，A-B=18，求A,B各是多少？如果我們把（A+B），（A-B）都看成一個整體的話，那么求A的方法就是（40+18）÷2=29，也就是說，A 就是（A+B）和（A-B）的平均數(shù)，這個求法體現(xiàn)的就是“總數(shù)均分”的方法；那么求B的最簡方法呢？應(yīng)該是用（40-18）÷2=11，這個方法在實質(zhì)上體現(xiàn)了“移多補少”的思想，B就是（A+B）需要取出來補給（A-B）的那部分。

（四）對于“平均數(shù)”起始課的一點想法

實習(xí)期間曾經(jīng)聽兩位不同年級的班主任聊起她們兩班的人數(shù)：老師甲：“我們班 35 人，你們班呢？”老師乙：“43?！比绻菑膬晌话嘀魅蔚慕嵌瘸霭l(fā)，她們自然而然想到的是“我們兩個班相差8人”，但作為一個局外人，又是一名未來的數(shù)學(xué)老師，我想到的問題還有“那么她們兩個班的平均人數(shù)是多少？”然后腦子里面的第一反應(yīng)就是：43-35=8 8÷4=2 43-4=39，35+4=39。相信有不少的老師在遇到類似的問題時也會有和我一樣的想法，只不過在我們的教材當(dāng)中沒有體現(xiàn)出來。因為我們在教平均數(shù)的第一節(jié)課，出現(xiàn)的就是4個個體求平均數(shù)，學(xué)生基本上會采用“總數(shù)均分”的方法。因為個體數(shù)量太多的原因，使得“移多補少”變成了只是讓學(xué)生體會“用平均數(shù)可以表示這4個數(shù)據(jù)的整體情況”這個概念，但在真正計算的時候卻沒有將算理轉(zhuǎn)化成算法，弱化甚至消除了“移多補少”算法的可行性。

因此結(jié)合學(xué)生的認知起點和學(xué)情分析，我在實習(xí)過程中嘗試上了一節(jié)技能練習(xí)課，內(nèi)容是《利用移多補少方法求3個數(shù)的平均數(shù)》，感覺對于學(xué)生思維的拓展有一定好處。所以有個想法就是，在四年級學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)平均數(shù)的時候，是不是可以先從個體數(shù)為2個的開始教起，這樣在不影響學(xué)習(xí)“平均數(shù)”意義的基礎(chǔ)上，更能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，感悟兩種計算方法的思維邏輯區(qū)別。

聯(lián)系以后要學(xué)的很多數(shù)學(xué)內(nèi)容，我們會發(fā)現(xiàn)很多知識都是在研究2個個體和它們的平均數(shù)之間的關(guān)系。舉幾個例子：①求等差數(shù)列的平均數(shù)：例如1、2、3…99、100的平均數(shù)，實質(zhì)上就是求1和100或者2和99…這些由2個數(shù)組成的數(shù)組的平均數(shù)；②濃度問題：甲瓶酒精溶液濃度為50%，乙瓶酒精溶液濃度為30%，混合后溶液的酒精濃度為35%，請問甲乙兩瓶溶液的體積之比是多少？其中混合液濃度的實質(zhì)也就是兩瓶酒精溶液濃度的平均值；③函數(shù)對稱：若點（x1，y1）和點（x2，y2）關(guān)于直線y=kx+b對稱，那么x1，和x2的平均數(shù)x0以及y1，y2的平均數(shù)y0肯定落在這條直線上；④解二元一次方程：對于ax2+bx+c=0，利用十字相乘法進行因式分解其實就是以b作為平均數(shù)，然后調(diào)節(jié)a和c這兩個系數(shù)的因數(shù)，使其符合要求。

三、個體數(shù)與平均數(shù)相互依存的對應(yīng)關(guān)系

（一）個體數(shù)對平均數(shù)的影響

1.從大小上看，個體數(shù)對平均數(shù)的影響是相同的

若一組數(shù)據(jù) 1、2、3、…n，不管當(dāng)中的某個數(shù)據(jù)增加 a，則平均數(shù)也會增加，增加的大小為a/n；反之，某個數(shù)據(jù)變小b，平均數(shù)也會變小b/n，即六年級將會初步接觸到的反比例函數(shù)。

2.從數(shù)量上看，個體數(shù)會影響平均數(shù)的穩(wěn)定性

個體數(shù)越多則單個個體對平均數(shù)造成的影響就越少；反之，個體數(shù)越少，平均數(shù)就越容易受到影響。這個也很好理解，若個體變化量為a，則平均數(shù)的變化量為a/n，當(dāng)n越大，那么a/n的值就越小。

3.從大小、數(shù)量所形成的變化來看

我們可以用一組對比題型說明：

（1）張叔叔前一小時跑了4400m，后一小時跑了4000m，平均每小時跑了多少米？

（2）李叔叔前1小時跑了4300m，后兩小時每小時跑4100m，平均每小時跑了多少米？

題（1）只涉及到大小對于平均數(shù)的影響，題（2）還涉及到了數(shù)量對于平均數(shù)的影響，這也是很多同學(xué)容易做錯的地方。生活當(dāng)中還有一些類似的判斷題：箱子里有20袋面包，每袋面包的凈含量為100g±5g，那么這些面包每袋的平均凈含量是100g。這道判斷題是錯誤的，但可能會有不少學(xué)生只考慮個體大小卻沒有考慮數(shù)量而導(dǎo)致做錯。

另外，“數(shù)量”還可以衍生到別的詞，例如百分比：商場一等獎的得獎率是5%，獎金100元，二等獎的得獎率是15%，獎金50元，三等獎的得獎率是25%，獎金10元，我們就可以根據(jù)已知信息得到中獎的期望值；此外濃度問題也是相當(dāng)于把數(shù)量看成百分比，這里就不再舉例。

（二）平均數(shù)對個體數(shù)的反饋作用

1.平均數(shù)反映了個體數(shù)集合的整體情況

在統(tǒng)計中，平均數(shù)常用于表示統(tǒng)計對象的一般水平，是描述數(shù)據(jù)集中位置的一個統(tǒng)計量。用它既可以反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的一般情況和平均水平，更可以用來進行比較不同組數(shù)據(jù)的比較，以看出組與組之間的差別。例如比較小明和小紅兩人的1分鐘跳繩成績平均分：小明的五次成績?yōu)椋?21、143、130、132、141，小紅因為生病少跳一次，四次成績?yōu)椋?27、131、145、138。在兩人的測試次數(shù)不相同的情況下，比較平均數(shù)就成了較為公平的方法。

另外還要補充一點，就是比較平均數(shù)必須是在每一次機會均等的情況下，不然也是有失偏頗的：例如把這五次的跳繩成績看成滿分為150分的數(shù)學(xué)測試，因為測驗的難度有別，假設(shè)小紅缺考的這次正好是試卷比較簡單（或者比較難）的，那么單求平均數(shù)的方法就不太公平，應(yīng)該根據(jù)難度對試卷進行權(quán)重計算求出平均數(shù)，這個計算也屬于平均數(shù)對于個體數(shù)集合的反映。

2.在數(shù)軸上，平均數(shù)使得所有個體數(shù)距離它的左趨近和右趨近之和相等

假設(shè)數(shù)軸上有兩個點為a和b，且a＜b，它們的平均數(shù)是c，則 a，b 是關(guān)于 c點對稱的，且 c-a=b-c。

（1）舉一個簡單的例1：若兩個數(shù)的平均數(shù)是1008，一個數(shù)是1006，則另一個數(shù)是（1010）（括號中為題目應(yīng)該填寫的答案）。因為在數(shù)軸上，1006在1008的左邊，比1008少2，那么想要使得有個數(shù)和1006相結(jié)合得到平均數(shù)1008，這個數(shù)必須在1008的右邊，而且比1008多2才行，因此是1010。

（2）接下來把兩個點換成三個點變成例2：若三個數(shù)的平均數(shù)是1008，第一個數(shù)是1006，第二個數(shù)是1005，則第三個數(shù)是（1013），因為左趨近之和為（1008-1006）+（1008-1005）=5，所以右趨近之和也要等于5，即1008+5=1013。當(dāng)然用1008×3-1006-1005也是可以的，這種計算方法的特點是適合個體數(shù)比較大，但和平均數(shù)又比較接近的時候，中學(xué)知識里面有一塊求平均數(shù)的內(nèi)容就運用到了與此相關(guān)的知識。

（3）例1還可以稍微變形成例3：若兩個數(shù)的平均數(shù)是1008，一個數(shù)比1006小，則另一個數(shù)（比1010大），這樣可以通過一個不等式，將所有合理的數(shù)據(jù)進行歸納。

3.平均數(shù)無法表示個體數(shù)

盡管研究平均數(shù)對于一個整體有著非常重要的作用，但平均數(shù)的理論意義大過現(xiàn)實意義，因此單單看平均數(shù)是不夠的，不然我們就會被它“欺騙”。例如：一個池塘的平均水深是1.1m，那么小明身高1.3m是不是下去就沒有危險了？我們都知道答案是否定的，因為池塘的最大水深可以完全可以超過1.3m，例如最大水深1.6m也是合理的，盡管這個個體數(shù)值和平均數(shù)1.1m相差了很多，屬于極端數(shù)，但也是我們需要考慮的因素。這就有些類似“價格圍繞價值上下波動”，但也不妨礙有些產(chǎn)品因為特殊的原因賣出天價。我們要根據(jù)實際的情況進行極端數(shù)的取舍，例如剛才的問題，我們需要通過平均數(shù)去思考極端數(shù)，而在一些比賽打分上，可能會用去掉“最大最小數(shù)”的方法來消弭極端數(shù)對于平均數(shù)的影響。

綜上所述，“平均數(shù)”涵蓋的方面很廣泛，是很多知識的起點，其中涉及到了數(shù)據(jù)計算、函數(shù)圖像、解方程、概率分析等。在我看來，平均即一種“平衡感”和“公正感”，每個人都會有這樣的感覺，而我們需要做的就是不斷讓學(xué)生在不同的年齡層次深化這種感覺，加強數(shù)感，提升數(shù)學(xué)思維和精細化的計算能力。目前平均數(shù)的教學(xué)到了四年級就戛然而止，因此學(xué)生只習(xí)慣了利用“總數(shù)均分”求平均數(shù)，但是對于“移多補少”方法的學(xué)習(xí)，以及反過來利用平均數(shù)求個體數(shù)的能力比較缺乏，這種只會套用公式計算以及從“個體數(shù)”到“平均數(shù)”的單向性思考模式使得兩者間形成了因果而不是雙向聯(lián)系。而正如上面所說，“平均數(shù)”與“個體數(shù)”之間的關(guān)系應(yīng)該是互相依存的，它們的計算方法也是很多數(shù)學(xué)思維的載體。在提倡培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的大環(huán)境下，基于學(xué)生的認知和學(xué)情分析，我覺得我們更應(yīng)該有的放矢，不單要在四年級引導(dǎo)學(xué)生體會“平均數(shù)”的本質(zhì)涵義，也要在更高的學(xué)段圍繞這個概念，對于“平均數(shù)”、“個體數(shù)”之間的換算問題找到多樣化的解決方法。