改進(jìn)的Duffing振子逆相變?nèi)跣盘?hào)檢測(cè)

冀常鵬 許素娜 冀雯靖

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，葫蘆島，125105；2.遼寧省露天礦山裝備工程研究技術(shù)中心，阜新，123009；3.遼寧工程技術(shù)大學(xué)研究生院，葫蘆島，125105；4.香港中文大學(xué)（深圳），深圳，518172）

引 言

近年來(lái)，信息科學(xué)發(fā)展迅速，提取真實(shí)世界的信息是它的重要任務(wù)之一，比如在控制工程、通信、軍用電子和其他范疇的應(yīng)用中，總是需要根據(jù)某種規(guī)律來(lái)確定微弱周期信號(hào)[1]（即有用信號(hào)）是否存在。通常所提的微弱周期信號(hào)不僅指幅度很小的信號(hào)，也指存在于噪聲背景下的信號(hào)。在實(shí)際工程應(yīng)用中，有用信號(hào)的幅度和噪聲信號(hào)相比要小得多，因此對(duì)有用信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)是一個(gè)難題，為此人們進(jìn)行了長(zhǎng)期的研究。以往人們所研究的微弱周期信號(hào)檢測(cè)方法是通過(guò)消除噪聲[2]或應(yīng)用濾波，例如小波分析[3-4]、相關(guān)積分等，但這些方法在信噪比較低時(shí)容易失效并且對(duì)有用信號(hào)有一定的損害。目前使用比較頻繁的方法是Duffing振子混沌檢測(cè)系統(tǒng)，不同于以往方法的是它對(duì)有用信號(hào)進(jìn)行提取時(shí)并未對(duì)噪聲進(jìn)行抑制[5-7]。當(dāng)應(yīng)用Duffing振子混沌檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)微弱周期信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，因?yàn)镈uffing振子對(duì)微弱周期信號(hào)特別敏感，使其易于檢測(cè)有用信號(hào)；同時(shí)Duffing振子對(duì)噪聲信號(hào)免疫，所以可以使用Duffing振子混沌檢測(cè)系統(tǒng)來(lái)完成對(duì)混雜在噪聲中的微弱有用信號(hào)的檢測(cè)。

應(yīng)用Duffing振子混沌系統(tǒng)檢測(cè)有用信號(hào)的前提條件是確定系統(tǒng)相變的閾值，這直接決定該檢測(cè)系統(tǒng)的有效性和準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[8]通過(guò)直接觀察相軌跡圖來(lái)確定相變閾值（即臨界閾值），缺乏量化判斷依據(jù)。文獻(xiàn)[9]所給出的定量檢測(cè)手段，是在忽略噪聲影響的前提下實(shí)現(xiàn)的，而實(shí)際上噪聲會(huì)對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)有一定的影響。文獻(xiàn)[10]所提出的微弱周期信號(hào)檢測(cè)方法的可檢信噪比為-33.2 dB，但在更低的信噪比情況下不一定能檢測(cè)出微弱周期信號(hào)或者對(duì)檢測(cè)結(jié)果形成誤判。文獻(xiàn)[11]所構(gòu)造的檢測(cè)系統(tǒng)仿真模型，雖然該仿真模型能夠檢測(cè)出被覆蓋在強(qiáng)噪聲中的微弱周期信號(hào)，獲得了相對(duì)滿(mǎn)意的仿真效果，但這種仿真模型是針對(duì)頻率ω=1 rad/s進(jìn)行檢測(cè)的，沒(méi)有討論待檢信號(hào)角頻率ω≠1 rad/s的情況。上述文獻(xiàn)均是基于正向相變檢測(cè)（從混沌狀態(tài)到大尺度周期狀態(tài)），但正向相變?cè)谟苫煦鐮顟B(tài)躍遷為大尺度周期狀態(tài)時(shí)極其容易受到過(guò)渡帶影響。

根據(jù)以上所提到對(duì)微弱周期信號(hào)檢測(cè)的不足，提出Duffing振子逆相變的檢測(cè)方法，同時(shí)給出了改進(jìn)后的檢測(cè)系統(tǒng)仿真模型。改進(jìn)后的仿真模型可以檢測(cè)出任意已知頻率的微弱周期信號(hào)，并利用最大Lyapunov特性指數(shù)得到檢測(cè)系統(tǒng)產(chǎn)生相變的臨界閾值，然后將改進(jìn)后的Duffing振子混沌檢測(cè)系統(tǒng)與高階累積量相結(jié)合，通過(guò)求待檢信號(hào)的高階累積量對(duì)角切片能夠降低噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響。通過(guò)理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)，證明該方法可以檢測(cè)出任意已知頻率的微弱周期信號(hào)，其檢測(cè)信噪比約-50.97 dB。

1 基于Lyapunov指數(shù)的微弱信號(hào)檢測(cè)原理

1.1 Duffing振子檢測(cè)原理

為了檢測(cè)微弱周期信號(hào)，構(gòu)造一個(gè)對(duì)微弱周期信號(hào)極其敏感的檢測(cè)系統(tǒng)是非常有必要的，這是信號(hào)檢測(cè)的前提條件。近幾年常用的是著名的由Duffing方程構(gòu)成的Duffing振子混沌檢測(cè)系統(tǒng)。其形式如式(1)所示。

式中：k為檢測(cè)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)，αx(t)+βx3(t)為檢測(cè)系統(tǒng)的非線性項(xiàng)，γcos(ωt)為檢測(cè)系統(tǒng)的內(nèi)置周期策動(dòng)力，γ和ω分別為其幅度和頻率。

為了檢測(cè)微弱周期信號(hào)，應(yīng)用的是對(duì)式(1)改進(jìn)后的Duffing系統(tǒng)方程[12]，表達(dá)式為

為了說(shuō)明式(2)所對(duì)應(yīng)Duffing系統(tǒng)的工作原理，在k取定值0.5，ω=1 rad/s的情況下，當(dāng)內(nèi)置周期策動(dòng)力幅值γ產(chǎn)生變化時(shí)檢測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)輸出相圖也會(huì)隨之改變，依次為同宿軌道狀態(tài)、分叉狀態(tài)、混沌狀態(tài)、大尺度周期狀態(tài)。當(dāng)γ=0時(shí)，檢測(cè)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)焦點(diǎn)(+1,0)，(-1,0)和一個(gè)鞍點(diǎn)(0,0)，系統(tǒng)的相點(diǎn)最終會(huì)停在這兩個(gè)焦點(diǎn)中的一個(gè)；隨著周期策動(dòng)力γ的繼續(xù)加大，且當(dāng)γ大于混沌閾值γc時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)混沌狀態(tài)，系統(tǒng)的輸出相圖會(huì)在之后的一段時(shí)間內(nèi)仍然保持這一狀態(tài)，此時(shí)再增加周期策動(dòng)力幅值γ使其大于另一閾值γd時(shí)，檢測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)就會(huì)發(fā)生改變即變成大尺度周期狀態(tài)。系統(tǒng)的輸出相圖在這兩個(gè)狀態(tài)的差異非常明顯，所以一般選取檢測(cè)系統(tǒng)的輸出相圖從混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)的轉(zhuǎn)變來(lái)檢測(cè)微弱信號(hào)。

Duffing振子混沌系統(tǒng)傳統(tǒng)的檢測(cè)方法是：調(diào)整內(nèi)置周期策動(dòng)力的幅值γ=γd，這一時(shí)刻檢測(cè)系統(tǒng)輸出相圖為臨界狀態(tài)；之后把淹沒(méi)在噪聲中的微弱周期信號(hào)作為內(nèi)置周期策動(dòng)力的補(bǔ)充加入到檢測(cè)系統(tǒng)中，如果微弱周期信號(hào)是與內(nèi)置周期策動(dòng)力同頻的且疊加后的幅值超過(guò)臨界閾值γd，那么檢測(cè)系統(tǒng)的輸出相圖就會(huì)呈現(xiàn)大尺度周期狀態(tài)，故能夠通過(guò)相圖是否發(fā)生變化來(lái)檢測(cè)微弱周期信號(hào)的存在。

由于正向相變檢測(cè)（混沌狀態(tài)到大尺度周期狀態(tài)）容易受到過(guò)渡帶的影響，因此提出逆相變檢測(cè)。先調(diào)整內(nèi)置周期策動(dòng)力幅值γ為臨界閾值γd，使檢測(cè)系統(tǒng)的輸出軌跡相圖呈現(xiàn)臨界狀態(tài)。之后把待檢信號(hào)傳進(jìn)到檢測(cè)系統(tǒng)中，若待檢信號(hào)中存在和內(nèi)置周期策動(dòng)力頻率一樣相位相反的微弱信號(hào)，那么相加后的幅值就會(huì)比γd小，檢測(cè)系統(tǒng)的輸出軌跡相圖就會(huì)變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)，即產(chǎn)生了逆相變，從而可以檢測(cè)出微弱有用信號(hào)。檢測(cè)系統(tǒng)由臨界狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)的相圖如圖1所示。

1.2 基于Lyapunov指數(shù)計(jì)算臨界閾值

Duffing振子混沌系統(tǒng)檢測(cè)微弱周期信號(hào)的前提是確定臨界閾值γd，目前確定臨界閾值的方法有直接觀察相軌跡圖法、Melnikov方法[13]和Lyapunov特性指數(shù)方法。采用直接觀察相圖法的缺點(diǎn)是如果仿真時(shí)間過(guò)短會(huì)造成誤判，很有可能會(huì)把仿真時(shí)剛開(kāi)始呈現(xiàn)的形態(tài)錯(cuò)認(rèn)為周期狀態(tài)，如果再增加仿真時(shí)間才會(huì)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，但如果加長(zhǎng)仿真時(shí)間則會(huì)降低工作效率；基于Melnikov方法來(lái)計(jì)算臨界閾值的準(zhǔn)確性比較低并且誤差也比較大；所以采用基于Lyapunov特性指數(shù)來(lái)準(zhǔn)確計(jì)算臨界閾值γd，這是一種定量的判斷標(biāo)準(zhǔn)，便于實(shí)際應(yīng)用。利用Lyapunov指數(shù)判定檢測(cè)系統(tǒng)從混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變到大尺度周期狀態(tài)的原理是：當(dāng)Lyapunovmax＞0時(shí)，Duffing振子檢測(cè)系統(tǒng)輸出混沌狀態(tài)的相軌跡圖；當(dāng)檢測(cè)系統(tǒng)的Lyapunovmax＞0跳變?yōu)長(zhǎng)yapunovmax＜0時(shí)，檢測(cè)系統(tǒng)的輸出相軌跡圖由混沌態(tài)轉(zhuǎn)換為大尺度周期態(tài)，這一時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的內(nèi)置周期策動(dòng)力幅值即為所求的臨界閾值。

圖1 Duffing振子檢測(cè)相圖Fig.1 Duffing oscillator detection phase diagram

Duffing方程形成的是一個(gè)二維非自治系統(tǒng)，采用變量代換令z=t將其改成相應(yīng)的三維自治系統(tǒng)，故將式(2)改寫(xiě)為式(3)。其線性變分方程為

然后再對(duì)F進(jìn)行QR分解，即

式中：Q為一個(gè)正交矩陣，R為一個(gè)上三角矩陣。將式(5)代入式(4)得到

在式(6)的等式兩端左乘QT，右乘R-1可得

因?yàn)镈uffing振子系統(tǒng)是一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)，Geist等人結(jié)合Lyapunov特性指數(shù)定義[14]證明出

由以上的推導(dǎo)過(guò)程，基于Lyapunov特性指數(shù)計(jì)算臨界閾值γd的具體步驟如下：

（1）給定時(shí)間步長(zhǎng)；

（2）選取內(nèi)置周期策動(dòng)力幅值γ的范圍，修改其步長(zhǎng)Δγ；

（3）計(jì)算每次迭代中的J，Q；

（4）對(duì)每次出現(xiàn)的F進(jìn)行QR分解；

（6）計(jì)算每次的LCEi=LCEi+(ln(Rii))'；

（7）找到最大的LCEmax；

（8）如果LCEmax＞0，就返回步驟(2)，反之跳出循環(huán)，就可以得到臨界閾值 γd。

在初始值設(shè)置完成并計(jì)算出臨界閾值γd之后，將待檢信號(hào)作為內(nèi)置周期策動(dòng)力的補(bǔ)充輸入到Duffing振子檢測(cè)系統(tǒng)得到輸出時(shí)間序列，基于FFT算法來(lái)獲取該模型輸出時(shí)間序列的平均周期；再將模型的輸出時(shí)間序列，通過(guò)C-C方法來(lái)計(jì)算延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)并進(jìn)行相空間重構(gòu)；最后利用重構(gòu)的相空間，再次計(jì)算檢測(cè)系統(tǒng)的最大Lyapunov特性指數(shù)，因?yàn)檫\(yùn)用的是逆相變過(guò)程，所以是通過(guò)判斷檢測(cè)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)是否小于零。如果其值小于零，就調(diào)整周期策動(dòng)力的幅值，并且重新計(jì)算調(diào)整后的Lyapunov特性指數(shù)，直到某一時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov特性指數(shù)剛好由小于零變成大于零，這樣就計(jì)算出輸入待檢信號(hào)后新的周期策動(dòng)力幅值γd'。

2 改進(jìn)方法

2.1 Duffing方程改進(jìn)

上述過(guò)程討論了微弱周期信號(hào)頻率ω=1 rad/s的情況，但所要檢測(cè)的微弱周期信號(hào)頻率不都為1 rad/s。所以有必要對(duì)方程進(jìn)行改進(jìn)，使得改進(jìn)后的方程能夠檢測(cè)頻率不是1 rad/s的微弱周期信號(hào)。對(duì)式(2)進(jìn)行改進(jìn)，暫不考慮待檢信號(hào)。如

寫(xiě)成狀態(tài)方程

根據(jù)式(10)所構(gòu)造的Simulink仿真模型如圖2所示。

在圖2的仿真模型中，F(xiàn)cn是函數(shù)發(fā)生器，Sine wave可以生成內(nèi)置周期策動(dòng)力，Add 1，Add 2是加法器；Integrator 1,Integrator 2是積分器；Gain 1,Gain 2是增益器；XY Graph是相軌跡顯示器。下面討論測(cè)量不同的待檢頻率ω值，臨界閾值是否受到影響。

討論 Duffing 方程 x¨(t)+kx˙(t)-x3(t)+x5(t)= γcos(t)，現(xiàn)令 t=ωτ，則

圖2 Simulink仿真模型Fig.2 Simulink simulation model

然后將式(11)代入Duffing方程中，可以得到系統(tǒng)方程為

可見(jiàn)此時(shí)式(12)是以時(shí)間尺度τ為自由變量的一個(gè)方程，由以上的推導(dǎo)過(guò)程可以看出Duffing振子混沌檢測(cè)系統(tǒng)中的參數(shù)ω對(duì)臨界閾值沒(méi)有影響，若待檢信號(hào)頻率不等于1 rad/s，只要通過(guò)調(diào)整模型中的ω即可。比如當(dāng)想測(cè)量ω=10 rad/s的微弱周期信號(hào)時(shí)，只需要在模型中將放大器Gain 1的放大倍數(shù)設(shè)置為100，放大器Gain 2中放大倍數(shù)設(shè)置為5即可，表明給出的模型可以檢測(cè)任意已知頻率的微弱信號(hào)。

2.2 噪聲對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)的影響

在檢測(cè)過(guò)程中是基于混沌系統(tǒng)對(duì)微弱周期信號(hào)的敏感并且對(duì)噪聲免疫的特性，因此在檢測(cè)微弱信號(hào)時(shí)經(jīng)常會(huì)忽視噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響，但經(jīng)過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)噪聲會(huì)使檢測(cè)系統(tǒng)的相軌跡圖變得粗糙，如圖3所示。并且當(dāng)噪聲功率比較大時(shí)即使待檢信號(hào)里含有微弱周期信號(hào)也不能被檢測(cè)出來(lái)。

為了提高檢測(cè)系統(tǒng)的性能，可以先對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，即通過(guò)求待檢信號(hào)的高階累積量[15]降低噪聲功率之后，再作為周期策動(dòng)力攝動(dòng)輸入到檢測(cè)系統(tǒng)。那么需要保證待檢信號(hào)經(jīng)過(guò)抑制高斯白噪聲之后，信號(hào)的特征并未發(fā)生變化或者按照已知的可逆的規(guī)律改變，才能從所測(cè)得的信號(hào)參量中恢復(fù)出抑制高斯白噪聲之前的原始有用的微弱周期信號(hào)（諧波信號(hào)），從而達(dá)到信號(hào)檢測(cè)的目的。

待檢信號(hào)y(n)=x(n)+s(n)，表達(dá)式y(tǒng)(n)中的s(n)為高斯白噪聲，x(n)為要檢測(cè)的微弱周期信號(hào)。具體情況分析如下：

圖3 噪聲對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)影響Fig.3 Influence of noise on detection system

（1）高斯白噪聲的二階累積量不為零，但是其三階和四階累積量等于零；

（2）微弱周期信號(hào)的二階和四階累積量不為零，然而其三階累積量等于零。

通過(guò)上面的分析可知不能利用二階累積量和三階累積量。只可以利用四階累積量，四階累積量對(duì)噪聲的抑制非常明顯，但僅僅對(duì)噪聲有抑制作用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還必須保證對(duì)信號(hào)無(wú)根本上的影響。下面探討四階累積量對(duì)微弱周期信號(hào)和高斯白噪聲的影響。

取x=[x1,x2,…,xk]T為一個(gè)隨機(jī)矢量，并且s=[s1,s2,…,sk]T，因此隨機(jī)矢量x的第一特征函數(shù)[16]（即矩生成函數(shù)）為

由式(13)可得到x的累積量生成函數(shù)表達(dá)式為

x的(v,v,…,v)階矩和累積量分別可由第一特征函數(shù)和累積量生成函數(shù)在,,…,處進(jìn)行

12k泰勒級(jí)數(shù)處展開(kāi)得到，即

式中滿(mǎn)足v=v1+v2+…+vk。

在v1=v2=…=vk=1的條件下，隨機(jī)矢量x的矩和累積量分別等于

隨機(jī)過(guò)程的高階矩和高階累積量便是基于式(17)進(jìn)行定義的。

定義：若{x(n)}為一個(gè)k階隨機(jī)過(guò)程，則其k階矩和k階累積量分別為

根據(jù)式(18)可知，隨機(jī)過(guò)程的k階矩和k階累積量即為x1=x(n),x2=x(n+τ1),…,xk=x(n+τk-1)之后的隨機(jī)矢量[x(n),x(n+τ1),…,x(n+τk-1)]T在v1=v2=…=vk=1條件下的矩和累積量。

依據(jù)該定義，可以得到隨機(jī)過(guò)程{x(n)}的k階矩和k階累積量，如式(19—22)所示。

當(dāng)不存在頻率耦合時(shí)，只有前3項(xiàng)，如式(24)所示。

但是由式(24)可以看出此時(shí)四階累積量的計(jì)算仍然非常復(fù)雜。因此為了方便計(jì)算同時(shí)不能損失有用信息，經(jīng)常通過(guò)計(jì)算其對(duì)角切片。四階累積量對(duì)角切片[17]實(shí)際上是讓c4x(τ1,τ2,τ3)表達(dá)式中τ1=τ2=τ3=τ所得的四階累積量，簡(jiǎn)化表示為 c4x(τ)，將 τ1=τ2=τ3=τ代入式(24)得到

s(n)為一高斯過(guò)程，根據(jù)表達(dá)式(19—22)并結(jié)合高斯過(guò)程的特點(diǎn)，能夠證明其矩和累積量為

從式(27)可以看出，高斯過(guò)程的四階累積量為零。

由高階累積量的性質(zhì)可知

由以上分析可以看出，四階累積量對(duì)角切片對(duì)微弱周期信號(hào)的影響只是幅度的影響，并且知道幅度變化的規(guī)律，但經(jīng)過(guò)計(jì)算四階累積量可以使高斯白噪聲得到抑制，所以可以利用求待檢信號(hào)的四階累積量對(duì)角切片來(lái)消除高斯白噪聲對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)的影響，從而可以提高檢測(cè)信噪比。然后再通過(guò)諧波信號(hào)幅度變化式(28)來(lái)計(jì)算實(shí)際的諧波信號(hào)幅度。

基于以上分析本文檢測(cè)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方案如圖4所示。

圖4 檢測(cè)系統(tǒng)總體方案Fig.4 Overall plan of detection system

3 仿真實(shí)驗(yàn)

根據(jù)上述討論，首先取k=0.5，不加入待檢信號(hào)，先計(jì)算臨界閾值。然后按照求臨界閾值的方法，設(shè)置時(shí)間步長(zhǎng)h=0.01，初值設(shè)置成（0,0,0），初始周期策動(dòng)力幅值取0.720，迭代步長(zhǎng)Δγ=0.001，以上參數(shù)全部設(shè)置完成后開(kāi)始運(yùn)行程序，結(jié)果見(jiàn)圖5。

運(yùn)行程序求得γd=0.732 0。將基于Lyapunov指數(shù)求得的臨界閾值所用時(shí)間和另兩種方法進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。

圖5 周期策動(dòng)力幅值γ和最大Lyapunov指數(shù)的關(guān)系圖Fig.5 Relationship between the amplitude of periodic power γ and the maximum Lyapunov index

表1 3種方法結(jié)果比較Tab.1 Comparison of three methods

由表1可以看出，基于Lyapunov指數(shù)求臨界閾值不僅精確度比較高，所用時(shí)間也最短，再一次說(shuō)明了Lyapunov的高效性和準(zhǔn)確性。

在求出臨界閾值γd之后將待檢信號(hào)y(t)=x(t)+s(t)作為周期策動(dòng)力的補(bǔ)充加入到檢測(cè)系統(tǒng)。其中，x(t)有 3 種情況，分別為 x1(t)=0.01cos(2πt)，x2(t)=0.02cos(2πt)，x3(t)=0.05cos(2πt)。s(t)是均值為 0、方差為2.5的高斯白噪聲（Noise-92[18]），3組實(shí)驗(yàn)均基于MATLAB平臺(tái)進(jìn)行仿真。具體過(guò)程如下：

（1）先對(duì)待檢信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理即通過(guò)計(jì)算待檢信號(hào)的四階累積量對(duì)角切片，此處理方法可以很好地濾除高斯白噪聲。

（2）在仿真模型中，先不輸入經(jīng)過(guò)處理的待檢信號(hào)，只加入內(nèi)置周期策動(dòng)力，設(shè)置其幅值γ=γd=0.732 0，此時(shí)檢測(cè)系統(tǒng)的輸出相圖是臨界狀態(tài)。

（3）將經(jīng)過(guò)處理后的待檢信號(hào)作為周期策動(dòng)力的補(bǔ)充加入到逆相變檢測(cè)系統(tǒng)中，此時(shí)檢測(cè)系統(tǒng)輸出相圖就會(huì)變成混沌狀態(tài)。經(jīng)過(guò)對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)的輸出時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)并再次計(jì)算檢測(cè)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)，求出當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)由小于零到大于零符號(hào)轉(zhuǎn)變的那一刻所對(duì)應(yīng)的策動(dòng)力幅值 γd'，微弱信號(hào)為x1(t)時(shí)所對(duì)應(yīng)的 γ1d'=0.732 000 003 72，通過(guò)計(jì)算可得輸入信號(hào)幅值A(chǔ)1為3.72×10-9；微弱信號(hào)為x2(t)時(shí)所對(duì)應(yīng)的γ2d'=0.732 000 053 117，通過(guò)計(jì)算可得輸入信號(hào)幅值A(chǔ)2為5.311 7×10-8；微弱信號(hào)為x3(t)時(shí)所對(duì)應(yīng)的γ3d'=0.732 002 517 1，通過(guò)計(jì)算可得輸入信號(hào)幅值A(chǔ)3為2.517 1×10-6。

（4）由輸入信號(hào)幅值為A=0.375a4，可以分別求出待檢信號(hào)幅值a1，a2，a3。和用基于正相變未進(jìn)行高階累積量預(yù)處理的直接觀察法得到的幅度估計(jì)值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示。由表2可看出本文方法和直接觀察法相比對(duì)待檢信號(hào)幅值的估計(jì)結(jié)果相對(duì)誤差更小。

要檢測(cè)信號(hào)的原始波形和含有噪聲的信號(hào)波形以及抑制高斯白噪聲之后的信號(hào)波形如圖6所示。

表2 兩種方法幅值估計(jì)結(jié)果Tab.2 Amplitude estimation results of two methods

由圖6可以看出，對(duì)待檢信號(hào)進(jìn)行求四階累積量一維切片可以消除高斯白噪聲的影響，使噪聲的功率降低，從而提高檢測(cè)的信噪比。這里有一個(gè)問(wèn)題，在實(shí)際工程應(yīng)用中所檢測(cè)的微弱周期信號(hào)幅值根本達(dá)不到10-2，量級(jí)一般為10-7或10-8，此時(shí)的檢測(cè)系統(tǒng)不可以直接用來(lái)檢測(cè)這樣的信號(hào)，由前面的推導(dǎo)過(guò)程，10-2的信號(hào)經(jīng)過(guò)計(jì)算四階累積量之后，就變?yōu)?0-8。但是可以先將處理后的待檢信號(hào)經(jīng)過(guò)一個(gè)信號(hào)放大器，這樣幅度就得到了放大，之后再加入到檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行檢測(cè)。

圖6 信號(hào)波形Fig.6 Waveform of the signal

然后將沒(méi)有經(jīng)過(guò)處理的待檢信號(hào)也加入到逆相變的檢測(cè)系統(tǒng)中，發(fā)現(xiàn)檢測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)沒(méi)有發(fā)生變化仍然是臨界狀態(tài)。將經(jīng)過(guò)處理后的待檢信號(hào)輸入到逆相變系統(tǒng)，此時(shí)檢測(cè)系統(tǒng)的輸出相圖由臨界狀態(tài)變成混沌狀態(tài)，結(jié)果如圖7所示。由圖7可以看出，經(jīng)過(guò)處理后的待檢信號(hào)可以被有效地檢測(cè)。在這之后又進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)再次證明了本文所提方法的有效性。將待檢信號(hào)沒(méi)有被處理和經(jīng)過(guò)處理的檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如表3所示。由表3能夠看出和沒(méi)有經(jīng)過(guò)計(jì)算高階累積量的傳統(tǒng)Duffing振子檢測(cè)系統(tǒng)相比，本文所提出的方法可以檢測(cè)更低信噪比條件下的微弱信號(hào)。

圖7 采用高階累積量對(duì)信號(hào)處理前后檢測(cè)系統(tǒng)輸出相圖Fig.7 Output phase diagram before and after signal processing by high-order cumulants

表3 處理前后檢測(cè)的比較結(jié)果Tab.3 Comparative results of before and after processing

4 結(jié)束語(yǔ)

本文是將常規(guī)的微弱信號(hào)檢測(cè)方法（高階累積量）和Duffing振子方法相結(jié)合并且基于逆相變對(duì)微弱信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)。首先選取的是改進(jìn)后的仿真模型，該仿真模型可以檢測(cè)任意已知待檢信號(hào)頻率，在推導(dǎo)出仿真模型中的相關(guān)參數(shù)和待檢信號(hào)頻率之間的關(guān)系后設(shè)置該待檢信號(hào)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。然后基于最大Lyapunov指數(shù)得到檢測(cè)系統(tǒng)的臨界閾值，該方法提高了求解臨界閾值的速度和精確性；確定臨界閾值后將待檢信號(hào)輸入到檢測(cè)系統(tǒng)中進(jìn)行檢測(cè)，此時(shí)的待檢信號(hào)是經(jīng)過(guò)處理的已經(jīng)降低了噪聲對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)的影響。最后的仿真結(jié)果證明所提方法可以有效檢測(cè)出被強(qiáng)噪聲淹沒(méi)的微弱信號(hào)，為檢測(cè)任意未知的微弱信號(hào)提供出新的思路。