Hilbert空間中K-框架的構(gòu)造

杜丹丹, 朱玉燦

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 福建 福州 350108)

0 引言

Hilbert空間中的框架是標(biāo)準(zhǔn)正交基的一種推廣, 框架的一些性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)正交基類似, 但是也有明顯的區(qū)別. 比如: Hilbert空間中的元素用框架展開的表達(dá)式是不唯一的, 而用標(biāo)準(zhǔn)正交基展開的表達(dá)式是唯一的, 因此框架和標(biāo)準(zhǔn)正交基本質(zhì)上是不同的, 從而研究框架的性質(zhì)是很有必要的. 國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者對(duì)框架理論進(jìn)行系統(tǒng)研究, 具體成果可參見文獻(xiàn)[1-2]. 框架在諸如采樣理論[3]、 壓縮感知[4]等應(yīng)用領(lǐng)域也起著重要的作用.

文獻(xiàn)[5]在Hilbert空間中研究有界線性算子時(shí)引入了一種稱之為K-框架的推廣框架.K-框架與框架本質(zhì)上并不相同, 文獻(xiàn)[5]證明了序列{fj}j∈J為H的K-框架當(dāng)且僅當(dāng){fj}j∈J為H的Bessel序列且其合成算子Tf滿足R(K)?R(Tf), 而序列{fj}j∈J為H的框架當(dāng)且僅當(dāng){fj}j∈J為H的Bessel序列且其合成算子Tf為滿射. 正是因?yàn)镵-框架與框架之間存在的差異性, 國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者開始對(duì)其進(jìn)行研究, 并且已經(jīng)取得了一系列成果[6-9].

構(gòu)造框架這一問題有很多學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行研究, 比如文獻(xiàn)[2]用已有的框架經(jīng)過有界線性算子擾動(dòng)構(gòu)造新的框架, 文獻(xiàn)[10]用一個(gè)框架和一個(gè)Bessel序列構(gòu)造框架, 在此基礎(chǔ)上, 文獻(xiàn)[11]采用強(qiáng)分離性框架的概念給出了構(gòu)造框架的另外一種方法. 在K-框架概念被提出后, 許多學(xué)者開始思考是否構(gòu)造框架的相關(guān)結(jié)論仍然適用于構(gòu)造K-框架, 比如文獻(xiàn)[8-9]已討論了用兩個(gè)K-框架構(gòu)造K-框架的方法. 本研究在此基礎(chǔ)上討論用兩個(gè)Bessel序列構(gòu)造K-框架的方法, 當(dāng)取K為恒等算子時(shí), 可得到構(gòu)造框架的相關(guān)結(jié)論. 文獻(xiàn)[7]中已經(jīng)指出一個(gè)框架經(jīng)算子K擾動(dòng)后是K-框架, 那么K-框架經(jīng)有界線性算子T1擾動(dòng)后是否是T1-框架? 本研究討論更加一般的情形, 即用兩個(gè)Bessel序列構(gòu)造T1-框架或T2-框架. 最后， 將用兩個(gè)K-框架構(gòu)造P-框架或Q-框架.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[2]設(shè)序列{fj}j∈J?H, 若存在正數(shù)A和B使得對(duì)于?f∈H, 有：

則稱{fj}j∈J為H的框架, 其中A和B分別稱為框架的下界和上界. 若只有右邊的不等式成立, 則稱序列{fj}j∈J為H的Bessel序列, 并且可以定義有界線性算子Tf如下：

定義2[5]設(shè)序列{fj}j∈J?H, 若存在正數(shù)A和B使得對(duì)于?f∈H, 有：

則稱{fj}j∈J為H的K-框架, 其中A和B分別稱為K-框架的下界和上界. 特別地, 當(dāng)K=I時(shí),K-框架就是通常的框架.

2 主要內(nèi)容及結(jié)論

為了證明主要結(jié)論， 先給出兩個(gè)引理.

引理1[2]設(shè)H1,H2是兩個(gè)復(fù)Hilbert空間,T:H1→H2是具有閉值域的有界線性算子, 則存在唯一的算子T+:H2→H1滿足：

稱算子T+為T的偽逆算子.

引理2[6]設(shè)H1,H2是兩個(gè)復(fù)Hilbert空間,T:H1→H2是具有閉值域的有界線性算子, 則

則{T1fj+T2gj}j∈J是H2的K2-框架, 其框架算子為：

證明 因?yàn)閧fj}j∈J和{gj}j∈J是H1的Bessel序列, 不妨設(shè)其界分別為B1和B2, 所以對(duì)于?f∈H1, 有

由閔可夫斯基不等式可知, 對(duì)于?g∈H2, 有：

假設(shè)條件1)成立, 設(shè){fj}j∈J為H1的K1-框架, 其下界為A1, 由引理2 可知， 對(duì)于?g∈H2有：

綜上所述序列{T1fj+T2gj}j∈J是H2的K2-框架.

同理可證當(dāng)滿足條件2)時(shí)，結(jié)論也是成立的.并且其框架算子為：

證畢.

Kf=〈f,e1〉e1+〈f,e3〉e2

注1由定理1可推出文獻(xiàn)[2]的推論5.32和文獻(xiàn)[12]的定理3.3, 可改進(jìn)文獻(xiàn)[8]的定理4.1、 文獻(xiàn)[9]的定理2.12、 文獻(xiàn)[10]的定理3.2以及文獻(xiàn)[11]的定理2.1.

證明 滿足條件時(shí), 根據(jù)定理1的證明得{T1fj+T2gj}j∈J是H的Bessel序列, 且對(duì)于?f∈H, 有

當(dāng)滿足條件I)時(shí), 設(shè){fj}j∈J是H的K-框架, 其下界為A1, 則由引理2可知， 對(duì)于?f∈H, 有：

則{T1fj+T2gj}j∈J是H的T1-框架. 同理可證當(dāng)滿足條件II)時(shí)， {T1fj+T2gj}j∈J是H的T2-框架. 證畢.

下面通過具體例子, 說明存在不滿足定理1的條件但滿足定理2的條件并且為T2-框架的序列{T1fj+T2gj}j∈J.

K:H→H,Kf=〈f,e1〉e1+〈f,e3〉e2+〈f,e2〉e3(f∈H)

注2由定理2可推出文獻(xiàn)[7]的命題3.6, 可改進(jìn)文獻(xiàn)[10]的定理3.2.

① 若K具有閉值域,P=T1+T2且R(P*)?R(K), 則{T1fj+T2gj}j∈J是H的P-框架.

② 若K具有閉值域,Q=T1-T2且R(Q*)?R(K), 則{T1fj+T2gj}j∈J是H的Q-框架.

證明 若滿足條件, 設(shè){fj}j∈J和{gj}j∈J的K-框架, 其下界分別為A1和A2. 根據(jù)定理1的證明過程, 可知{T1fj+T2gj}j∈J是H的Bessel序列, 且對(duì)于?f∈H, 有：

當(dāng)滿足條件①時(shí), 取λ=min{A1,A2}, 由內(nèi)積空間中平行四邊形公式和引理2, 得對(duì)于?f∈H, 有：

從而{T1fj+T2gj}j∈J是H的P-框架. 同理可證當(dāng)滿足條件②時(shí), {T1fj+T2gj}j∈J是H的Q-框架. 證畢.

注3由定理3可推出文獻(xiàn)[7]的命題3.6. 下面舉例說明定理2條件不蘊(yùn)含定理3條件.

K:H→H,Kf=〈f,e1〉e1+〈f,e2〉e3(f∈H)