賦Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間的k一致凸點(diǎn)

段麗芬，楊德清，陳洪亮

自1979年，Sullivan［1］引入局部k一致凸的概念以來，因其不但與空間的自反性、超自反性和正規(guī)結(jié)構(gòu)等理論密切相關(guān)［2］，而且在逼近論等領(lǐng)域有重要應(yīng)用得到關(guān)注［3-6］.同時，針對Orlicz函數(shù)空間而言，與其相應(yīng)的點(diǎn)態(tài)性質(zhì)的刻畫都已獲得［7-8］.賦Luxemburg范數(shù)Orlicz序列空間的k一致凸點(diǎn)判據(jù)也已查明［9］.本文對賦Orlicz范數(shù)Orlicz序列空間的k一致凸點(diǎn)展開研究，得到了賦Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間的k一致凸點(diǎn)的判別準(zhǔn)則.

1 預(yù)備知識

設(shè)X是Banach空間，X′是其共軛空間，S(X)表示X的單位球面.

定義1［7］x(0)∈S(X)被稱為k一致凸點(diǎn)是指若則其中

如果S(X)上每一點(diǎn)都是k一致凸點(diǎn)，則稱X是局部k一致凸的.

定義2［4］若非負(fù)函數(shù)M是偶的連續(xù)凸函數(shù)，并且滿足則稱映射M:R→[0,∞)為N-函數(shù).

用M(u)、N(v)表示一對互余的N-函數(shù)，p(u)為M(u)的右導(dǎo)數(shù).M∈Δ2指存在常數(shù)c＞0，使得M(2x)≤cM(x)對較小的x成立.M∈?2?N∈Δ2.稱閉區(qū)間[a,b]為M的線性區(qū)間是指M在[a,b]上是線性的，但對任何ε＞0，M在[a-ε,b]和[a,b+ε]上都不是線性的.用{ }[ai,bi]i表示M的線性區(qū)間全體，記

定義p-(v)為：p-(0)=0,p-(v)=sup{p(u):0≤u＜v}(v＞0).線性集

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)M是N-函數(shù)，是k一致凸點(diǎn)的充要條件是：

（i）M∈Δ2??2；

這里h0滿足

證明 必要性.因k一致凸點(diǎn)必為k強(qiáng)端點(diǎn)，利用文獻(xiàn)［10］的定理1和定理3，只需證明M∈?2及（ii）之（1）和（2）式即可.

首先證明M∈?2.若不然，則存在正數(shù)列vn↓0，滿足

取正整數(shù)mn,使得mnN(vn)≤1/nk＜(mn+1)N(vn).因M∈Δ2，可找到足夠大的in,使得

令

則

但由于對一切l(wèi)=1,2,…,k,都有

其次證明（ii）之（1）式.若不然，則存在h0∈H(x（0）)和j∈N，使得，但

這里[a,b]為M的線性空間.文獻(xiàn)［4］定理1.80指出，v∈LN是x（0）的支撐泛函的充要條件是ρN(v)=1 ，且

因此

但可取f(s)∈lN(s=1,2,…,k)，使得

則

產(chǎn)生矛盾.（ii）之（2）式可類似證得，不再贅述.

因M∈Δ2??2，所以自反，的有界元列存在弱收斂的子列，仍記為，設(shè)因M∈Δ2，則具有H性 質(zhì) ，進(jìn) 而，且

即

故

考慮到A(x(0),x(1)n,…,x(k)n)的連續(xù)性及（4）式有

若記h=,其中h0∈H(x(0)),hl∈H(x(l))(l=1,2,…,k),則

于是，對一切i∈N，都有

故對一切i∈N，h0x(0)(i),h1x(1)(i),…,hkx(k)(i)都在M的同一線性區(qū)間.

有非零解，記為(s0,…,sk),便有

當(dāng)μ{i∈N:h0x（0）(i)∈RSM}≤k-1 時，可假定I={i∈N:h0x（0）(i)∈RSM}={1,…,k-1}. 則當(dāng)i≥k時，因h0x(0)(i),h1x(1)(i),…,hkx(k)(i)都在M的同一線性區(qū)間，可類似文獻(xiàn)［11］分四種情況 推知h0x（0）(i)=h1x(1)(i)=…=hkx(k)(i)(i≥k).結(jié)合齊次線性方程組

也有非零解(s0,…,sk),便有這說明無論條件中的哪種情況成立，都可得到線性相關(guān)的結(jié)論，從而A(x(0),x（1）,…,x(k))=0,與（5）式產(chǎn)生矛盾.

由定理1立即可得定理2.

定理2設(shè)M是N-函數(shù)，l0M是局部k一致凸的充要條件是M∈Δ2??2且M在[0,πM(1/k)]上嚴(yán)格凸，其中 πM(α)=inf{t＞0:N(p(t))≥α}.

3 結(jié)論

論文給出了由N-函數(shù)生成的賦Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間的k一致凸點(diǎn)的一個判別準(zhǔn)則，進(jìn)而得到了該空間局部k一致凸的一個充要條件.