關(guān)注識(shí)圖能力，提高復(fù)習(xí)效率

南京東山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 羅素云

九年級(jí)下學(xué)期伊始，我校進(jìn)行了一次調(diào)研，主要意義有兩方面：一是三年的新課全部結(jié)束，對(duì)綜合教學(xué)效果進(jìn)行評(píng)估，二是為第一輪復(fù)習(xí)的教學(xué)提供必要的數(shù)據(jù)分析和策略指導(dǎo)。因此，結(jié)合本次試卷當(dāng)中出現(xiàn)的幾何證明問(wèn)題做了一點(diǎn)思考，與讀者共享。

一、學(xué)生答題情況簡(jiǎn)析

例題：如圖1，等腰三角形ABC中，AB=AC，中線BD和CE相交于點(diǎn)F。求證：

（1）∠ABD=∠ACE；

（2）過(guò)點(diǎn)A，F(xiàn)的直線垂直平分線段BC。

圖1

圖2

分析：第（1）題通過(guò)證明△ABD≌△ACEC(SAS)即可，屬于基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力范圍，第（2）題則異彩紛呈，方法較多，通過(guò)全年級(jí)試卷的批改，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的證法主要有以下四種：

證法1：如圖2，由三角形三條中線交于一點(diǎn)的性質(zhì)，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H，得出AH也是BC的中線。

證法2：證了四次全等，先證△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，BD=CE，再證△BEF≌△CDF，△AEF≌△ADF，前三次全等都是為了第四次全等準(zhǔn)備條件，最后才有△ABH≌△ACH,得出AF垂直平分BC。

證法3：通過(guò)證明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，BD=CE，再得到∠FBH=∠FCH，根據(jù)等角對(duì)等邊，則有FB=FC，根據(jù)邊角邊，進(jìn)而證明△ABF≌△ACF,得到AF平分∠BAC,再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得出AF垂直平分BC。

證法4：通過(guò)證明FB=FC,且AB=AC,由線段垂直平分線的判定方法，得出AF垂直平分BC。

錯(cuò)因分析：

（1）信息加工偏差，導(dǎo)致目標(biāo)不明確。部分學(xué)生目標(biāo)指向不明確，信息加工指向需證明多次全等，說(shuō)明這部分學(xué)生有思維定勢(shì)，不能靈活識(shí)別出圖中還有等腰三角形、線段的垂直平分線，繞了彎路，雖然方法正確（比如證法2），但是浪費(fèi)了很多時(shí)間，使后續(xù)題目的解決增加了緊張的情緒，無(wú)法靜心做后面的能力題。

（2）課本定理和真命題混淆。部分學(xué)生把“三角形三條中線交于一點(diǎn)”作為定理，直接在證明過(guò)程中使用，學(xué)生沒(méi)能弄清楚課本上的定理性質(zhì)有哪些，一些性質(zhì)雖然是經(jīng)過(guò)探索、發(fā)現(xiàn)的新結(jié)論，卻不可以作為定理在解題中直接使用(比如證法1)。在教學(xué)中，定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，它的逆命題是真命題，卻不可以用來(lái)判定直角三角形。所以對(duì)于這些易混淆的定理和真命題，要反復(fù)強(qiáng)調(diào)。

（3）沒(méi)有學(xué)會(huì)分析和綜合的思考方法。在解題過(guò)程中，靈活運(yùn)用分析法和綜合法能降低解題難度，提高解題速度。本題需要證明線段的垂直平分線，那么應(yīng)該聯(lián)想到垂直平分線的判定，判定的條件是什么，然后再看證明這兩組線段相等需要什么（比如證法4）。不僅要由已知想可知，還要善于由未知找需知，教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從多角度觀察圖形，善于把復(fù)雜圖形分解為基本圖形，不斷提高學(xué)生發(fā)散思維和演繹推理能力。證法3 屬于一般的思路，學(xué)生容易想到。

二、 結(jié)合學(xué)生的答卷情況作出教學(xué)調(diào)整

1.重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

在學(xué)業(yè)水平考試與中考命題建議中，明確要求關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的達(dá)成，考查學(xué)生的思維力。近年來(lái)的中考試卷對(duì)平面幾何的考查中，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查也是各地中考命題的熱點(diǎn)，數(shù)學(xué)作為研究思維的學(xué)科，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，平面幾何的教學(xué)是推動(dòng)思維發(fā)展的第一載體，數(shù)學(xué)知識(shí)作為一個(gè)顯性載體，數(shù)學(xué)思想隱含于圖形性質(zhì)的考查之中。本文的第一個(gè)案例考查了幾何直觀、轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想。

傅種孫先生指出“平面幾何的教學(xué)不在知其然，而在知其所以然，幾何的教學(xué)在于啟發(fā)學(xué)生，示以思維之道爾”。學(xué)生在平時(shí)的思考中也暴露了幾點(diǎn)問(wèn)題：思維混亂、選擇性矛盾。教師可以在幾何學(xué)習(xí)的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生有序思考，擇優(yōu)而入，按照一定的邏輯規(guī)律展開思考，抓住問(wèn)題的主要矛盾開展一系列探究，在一題多解時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況分析哪一種方式更簡(jiǎn)捷。

2.重視對(duì)數(shù)學(xué)基本概念和定理的教學(xué)

目前平面幾何的學(xué)習(xí)存在一個(gè)現(xiàn)狀，就是學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的概念和定理的引入一知半解，僅僅停留在用概念和定理來(lái)解題的層面，當(dāng)條件發(fā)生變化時(shí)，學(xué)生就不能分析出有關(guān)的概念和所能用的定理。比如本文中的第一個(gè)案例，學(xué)生不能分析圖中可以使用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)或者垂直平分線的判定。在平面幾何概念的教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生直觀理解概念，生活實(shí)際可以幫助學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)建構(gòu)過(guò)程。數(shù)學(xué)概念之間也存在橫向聯(lián)系和縱向聯(lián)系，比如《四邊形》這一章，平行四邊形、矩形、菱形、正方形，若從橫向比較，各種概念的形成和判定與性質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系，若從縱向比較，彼此之間有一般到特殊的關(guān)系。再比如《圓》一章的內(nèi)容可以分為三塊，一是與圓有關(guān)的概念，從線段、曲線、角的角度來(lái)定義相關(guān)概念，二是研究直線與圓的三種位置關(guān)系，推理證明了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，三角形的外接圓、內(nèi)切圓，切線長(zhǎng)定理，有一定的系統(tǒng)性與連貫性，三是與圓有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，與圓有關(guān)的正多邊形的計(jì)算問(wèn)題，三角形或四邊形與圓相交產(chǎn)生的線段的計(jì)算。

3.用好學(xué)生的錯(cuò)題資源

關(guān)注學(xué)生對(duì)當(dāng)前知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)程度，在會(huì)而不對(duì)的學(xué)生中去體會(huì)他們的思維過(guò)程和障礙。我經(jīng)常在學(xué)生做練習(xí)時(shí)進(jìn)行巡視，體會(huì)他們的問(wèn)題所在點(diǎn)，然后改善自己的教學(xué)策略，及時(shí)對(duì)一些學(xué)生給予知識(shí)方面的鞏固和方法的指導(dǎo)。在一輪專題復(fù)習(xí)時(shí)，可以采用典型的錯(cuò)題復(fù)習(xí)重要知識(shí)點(diǎn)，在易混淆處可以采用小組討論，引導(dǎo)他們歸納錯(cuò)誤的原因，以加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。也可以用類比的思想方法展示給學(xué)生看，然后歸納總結(jié)。在平時(shí)的講義中，充分運(yùn)用錯(cuò)題來(lái)檢查學(xué)生是否掌握牢固，強(qiáng)化中考考點(diǎn)。

4.滲透研究幾何與圖形的一般規(guī)律，為學(xué)生過(guò)渡到高中幾何的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)

在高中學(xué)習(xí)階段，圖形的研究從平面圖形過(guò)渡到空間圖形，從二維到三維轉(zhuǎn)化，但是研究空間圖形的方法又是轉(zhuǎn)化為平面圖形的研究方法。在能力要求方面，對(duì)于證明和計(jì)算，立體幾何初步的要求是不高的，但是對(duì)于解析幾何的要求比較高，也就是說(shuō)在初中階段要加強(qiáng)平面幾何的計(jì)算的要求，包括拋物線有關(guān)的計(jì)算。另外，在培養(yǎng)能力方面，注重能夠培養(yǎng)和形成的主要幾何學(xué)習(xí)能力和思想方法，尤其是幾何直觀和數(shù)學(xué)運(yùn)算。