錯(cuò)位相減法的拓展及應(yīng)用

黃冬明

(安徽省合肥市巢湖市第四中學(xué) 238000)

一、錯(cuò)位相減法的背景

在高中數(shù)學(xué)“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”一節(jié)中，給出了等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的推導(dǎo)方法：

Sn=a1+a2+…+an-1+an即

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1①，

等號(hào)兩邊同時(shí)乘以公比q得

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②.

這類前n項(xiàng)和的計(jì)算首先在等式的兩邊同時(shí)乘以公比q，然后將新得到的等式和原等式相減，這種方法叫做錯(cuò)位相減法.

二、什么樣的求和可以運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”

對(duì)于數(shù)列形如cn=an·bn，且{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和問題就可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法.其一般形式的概括如下：

Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn,

即Sn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+an-1b1qn-2+anb1qn-1①,

①×q得

qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+an-1b1qn-1+anb1qn②.

①- ②得

(1-q)Sn=a1b1+d(b1q+b1q2+…+b1qn-2+b1qn-1)-anb1qn.

三、錯(cuò)位相減法的運(yùn)用

例1若數(shù)列cn=n·2n,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式.

分析數(shù)列cn=n·2n可以看成是一個(gè)等差數(shù)列an=n和一個(gè)等比數(shù)列bn=2n的乘積，故可以用錯(cuò)位相減法來計(jì)算.

解Sn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n①,

2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1②.

①- ②，得

-Sn=1×2+22+23+…+2n-n·2n+1,

所以Sn=(n-1)·2n+1+2.

錯(cuò)位相減法計(jì)算出錯(cuò)主要有如下幾個(gè)方面：學(xué)生不知道何時(shí)使用錯(cuò)位相減法，兩式相減時(shí)容易漏項(xiàng)或者符號(hào)出錯(cuò)，最后結(jié)果化簡(jiǎn)時(shí)學(xué)生信心不足.筆者在課下反思如何減少錯(cuò)誤，能否用新方法代替錯(cuò)位相減法.

四、錯(cuò)位相減法的拓展及應(yīng)用——裂項(xiàng)法

我們?nèi)匀灰詂n=n·2n為例，我們將{cn}的表達(dá)式進(jìn)行變形如下n·2n=(an+b)·2n-[a(n+1)+b]·2n+1=2n·(-an-2a-b)，則a=-1,b=2.

因此n·2n=(-n+2)·2n-[-(n+1)+2]·2n+1，則

Sn=(-1+2)×2-(-2+2)×22+(-2+2)×22-(-3+2)×23+…+(-n+2)·2n-[-(n+1)+2]·2n+1.

仔細(xì)觀察這個(gè)式子，這個(gè)式子從第二項(xiàng)開始，前一項(xiàng)和后一項(xiàng)互為相反數(shù)，則Sn=1×2-[-(n+1)+2]·2n+1=(n-1)·2n+1+2.

這個(gè)計(jì)算方法將數(shù)列cn=n·2n變成兩個(gè)數(shù)列的差的形式，且求和時(shí)運(yùn)用到類似裂項(xiàng)求和的思路.前面的變形計(jì)算比錯(cuò)位相減復(fù)雜一些，但求和過程很簡(jiǎn)單.

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式：

(2)方法一：(錯(cuò)位相減法)

故3Tn=-2+3×31+5×32+7×33+…+(2n-3)×3n-2+(2n-1)×3n-1②.

方法二：(裂項(xiàng)法)

如果學(xué)生能夠掌握此法的本質(zhì)，那對(duì)數(shù)列求和真能起到質(zhì)的飛躍，真正做到化“腐朽”為“神奇”． 但筆者認(rèn)為，對(duì)大多數(shù)學(xué)生來講只要認(rèn)清數(shù)列本身的特點(diǎn)，選擇適合的方法即可．