有效破解導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求的四個(gè)策略

郭明龍

(江蘇省南京市高淳高級(jí)中學(xué) 211300)

一、本就無根，重組破之

評(píng)注此類導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求問題的典型特征是導(dǎo)函數(shù)看上去比較復(fù)雜，類型相對不清晰.

處理該類問題首先可以通過直接觀察發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)是否恒正或恒負(fù)，若不能再嘗試將導(dǎo)數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕忍幚恚话闶翘崛」蚴街蟀褜?dǎo)函數(shù)拆成兩個(gè)子函數(shù)之差，分別求出兩個(gè)子函數(shù)的最值或是通過適當(dāng)?shù)姆趴s之后明確各子函數(shù)取值的上下限，然后通過作差判別出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù).當(dāng)然，該類問題也可以通過多次求導(dǎo)實(shí)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的間接判斷.

二、投石問路，先猜后證

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若a=e，

(ⅰ)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(ⅱ)求證：x>0時(shí)，不等式g′(x)≥1+lnx恒成立.

解(1)及(2.ⅱ)略.

評(píng)注該類問題的一個(gè)顯著特征是導(dǎo)函數(shù)一般是個(gè)超越函數(shù)，且其一個(gè)根x0很容易看出來，但是除了這個(gè)易得的根x0導(dǎo)函數(shù)還有沒有其他根卻暫時(shí)無法判別.遇到這種問題我們一般可以用多項(xiàng)式除法把導(dǎo)數(shù)先進(jìn)行因式分解，即有f′(x)=(x-x0)g(x)，接下來我們或是直接看出g(x)根的情況，或是利用導(dǎo)數(shù)繼續(xù)研究g(x)，研究單調(diào)區(qū)間以及極值最值等性質(zhì)，進(jìn)而搞清楚原導(dǎo)函數(shù)的根的情況.

三、設(shè)而不求，韋達(dá)相助

例3 (2017江蘇高考)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值)

(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

(2)證明：b2>3a;

(2)略.

評(píng)注這類問題的最顯著特征就是導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)存在實(shí)根的二次函數(shù)，但是雖然導(dǎo)函數(shù)有實(shí)根，但是這個(gè)根卻是絕對“不能”求的根.遇到這類問題，我們一般需要分析目標(biāo)函數(shù)，看看是否可以通過借鑒解析幾何中的技巧，設(shè)而不求利用韋達(dá)定理實(shí)現(xiàn)避免直接求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn).這種獨(dú)特的二次函數(shù)零點(diǎn)處理方式的應(yīng)用還是特別廣泛的，在平時(shí)的教學(xué)中老師應(yīng)該加強(qiáng)這方面的引導(dǎo)，學(xué)生也應(yīng)注意這種技巧的使用.

四、鎖定區(qū)間，以虛代實(shí)

例4 (2017全國卷(2))已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一極大值點(diǎn)x0，且e-2

解(1)a=1(過程略).

評(píng)注這類問題的本質(zhì)是導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)在定義域內(nèi)存在但無法通過正常手段求出來，這應(yīng)該是我們最不想遇到的情況，無法求出零點(diǎn)就意味著無法透徹研究原函數(shù).這種問題往往需要借助于導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理，以此確定這個(gè)無法求出的零點(diǎn)所在的相對比較小的區(qū)間范圍，同時(shí)一定要注意體現(xiàn)該零點(diǎn)地位的式子即使得導(dǎo)函數(shù)等于零，如上題中的lnx0=2(x0-1).這樣當(dāng)有了導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間以及體現(xiàn)此零點(diǎn)為極值點(diǎn)的式子，我們就可以近似地認(rèn)為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)被“求出來”了.

導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求實(shí)為命題者刻意為之，主要就是為了考查學(xué)生對于高中函數(shù)零點(diǎn)問題的一些常見處理策略是否能夠掌握到位.這就要求我們老師在平時(shí)的教學(xué)中能夠經(jīng)常灌輸這些常見的小技巧、小策略.以期能夠讓學(xué)生達(dá)到“宏觀求聚斂，微觀求發(fā)散的目的”.同時(shí)我們學(xué)生需要多找一些此類型題目做做，其實(shí)難題就那幾種類型，做多了，熟練了這些解題策略就會(huì)內(nèi)化成個(gè)人的一種能力素養(yǎng).本文僅僅就一些常見的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求問題做了點(diǎn)簡單的探究，在這塊問題上還有許多問題值得日后繼續(xù)研究.