與函數(shù)零點有關(guān)的證明問題解決之我見

徐敏亞

(江蘇省梅村高級中學(xué) 214112)

2018年9月10號，全國教育大會在北京召開.這次大會主要研究培養(yǎng)什么人，怎樣培養(yǎng)人，為誰培養(yǎng)人這一根本問題，而高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的頒布指明了在數(shù)學(xué)學(xué)科方面通過高中教育我們培養(yǎng)的學(xué)生具有什么樣的核心素養(yǎng)以及怎樣培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)這兩個問題，它是全國教育大會精神在數(shù)學(xué)學(xué)科方面的具體體現(xiàn).高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)分析這六個方面，其中數(shù)學(xué)抽象放在了第一位，可見其重要性.數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程，它貫穿于高中教育階段數(shù)學(xué)教育的全過程，甚至可以延續(xù)到大學(xué)、研究生階段的數(shù)學(xué)教育，而教會學(xué)生掌握并使用這個核心素養(yǎng)去解決問題正是培養(yǎng)什么人的關(guān)鍵.

眾所周知，與函數(shù)零點有關(guān)的證明問題在近幾年的高考和各種?？贾凶鳛闊狳c以壓軸題的形式給出，很多學(xué)生對待此類問題往往是束手無策，而且此類問題變化多樣，有些題型是不含參數(shù)的，但更多的題型又是含有參數(shù)的.此類問題處理的手段有很多，方法也有很多，但其實最常見的處理方法就兩種，下面我們通過兩個例題一一來探索.

一、消去參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性解決問題

設(shè)x1,x2是函數(shù)y=f(x)的兩個零點，且x1

證明∵x1,x2是y=f(x)的兩個零點,

要證x1x2-x2

∵x10,

∴g(t)在t∈(1,+∞)上單調(diào)遞增.

∴g(t)>g(1)=ln1+1-1=0,

又設(shè)h(t)=lnt-t+1(t>1)即證h(t)<0.

∴h(t)在t∈(1,+∞)上單調(diào)遞減.

∴h(t)

即lnt-t+1<0,得證.

綜上：x1x2-x2

招式分析函數(shù)零點的證明問題其實就是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡潔，涉及函數(shù)的雙零點和一個參數(shù)，是一個多元的數(shù)學(xué)問題，我們面對這類問題很自然地就會想方設(shè)法消去參數(shù)，從而使得多元問題變?yōu)殡p元問題.不管待證的是兩個變量的不等式還是導(dǎo)函數(shù)值的不等式，解決的策略都是把雙變量的問題轉(zhuǎn)化為一元變量的問題求解，而途徑就是通過換元構(gòu)造一個新的一元函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性解決問題.

二、保留參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用原函數(shù)和新函數(shù)的兩次單調(diào)性解決問題

例2設(shè)函數(shù)f(x)=ax-lnx-1(a>0).

證明∵f(x)=ax-lnx-1，

∵a>0,x>0,

又∵f(x1)=f(x2)=0,且x1>x2,

又f(x1)=f(x2),

招式分析此類問題也稱之為極值點的偏移問題，由于思 路固定，所以通常情況下求導(dǎo)比較復(fù)雜，計算時需細(xì)心.解決口訣：極值偏離“對稱軸”，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)隨其后.

總之，在高考創(chuàng)新試題層出不窮的大環(huán)境下，學(xué)生首先要掌握基本的知識方法和解題策略，就是我們一直強(qiáng)調(diào)的通性通法，對新題、難題的突破，就是需要在掌握好雙基的前提下用數(shù)學(xué)能力提煉抽象出問題的本質(zhì)，淡化特殊技巧，重視通性通法，去模式化的解題策略，以不變應(yīng)萬變，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.只有學(xué)生學(xué)會自我分析，用數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，從而用熟知的知識方法去解決未知的創(chuàng)新試題，這樣才能真正培養(yǎng)學(xué)生的能力，才是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)教育的真正體現(xiàn).