例析立體幾何中體積問題的解題策略

張得南

(甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué) 737200)

一、分割法

例2 如圖2,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1和CC1的中點(diǎn)，求四棱錐A1-EBFD1的體積．

點(diǎn)評(píng)“分割”的目標(biāo)是：化陌生問題為熟悉問題，化復(fù)雜問題為簡(jiǎn)單問題，其實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

二、補(bǔ)形法

例3 如圖3,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面三角形PAD的面積為3，點(diǎn)C到平面PAD的距離為1，求四棱錐P-ABCD的體積．

例4 如圖4,在多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，求多面體ABCDE的體積．

點(diǎn)評(píng)“補(bǔ)形”的策略是構(gòu)造熟悉且容易求解的幾何體，其本質(zhì)是一種構(gòu)造法．

三、轉(zhuǎn)化法

例5 (如圖5)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱BB1和CD的中點(diǎn)，求三棱錐F-A1ED1的體積．

例6 如圖6,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=6，E為CC1的中點(diǎn)，O為下底面正方形的中心，求三棱錐O-A1B1E的體積．

點(diǎn)評(píng)這里的“轉(zhuǎn)化”與“變化”，只不過換了一個(gè)角度觀察，換了一種方法思考，從而達(dá)到解決或容易解決問題的目的．例5中把求VF-A1ED1的問題轉(zhuǎn)換為求VD1-A1GE；而例6中把求VO-A1B1E的問題轉(zhuǎn)換為求VA1-MB1E.

四、借助截面

例7 如圖7,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)棱AA1=6，并且AA1與 底面兩邊A1B1、A1C1都成60°角，求三棱錐A-A1B1C1的體積．

例8 如圖8,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1上的一點(diǎn)，BD1∥截面EAC,并且截面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB=2,求三棱錐B1-EAC的體積．

點(diǎn)評(píng)上面兩例，看似與截面無關(guān)，但根據(jù)題目的特征恰當(dāng)?shù)刈龀隽讼嚓P(guān)截面，使復(fù)雜問題得到了簡(jiǎn)化，隱含條件得到了顯化，為解題帶來了方便．

五、引進(jìn)變量或選擇參數(shù)

例9 如圖9,在四面體ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=1，求此四面體體積的最大值．

例10 如圖10,圓錐的軸截面是等腰直角三角形，母線長(zhǎng)為2，P、Q分別是底面圓周上和圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且OQ⊥PQ，又E是SP的中點(diǎn)，F(xiàn)是點(diǎn)O在SQ上的射影．

(1)求證：OF⊥平面SPQ；

(2)求三棱錐S-OEF體積的最大值．

解析(1)(解法略)

點(diǎn)評(píng)例9與例10都是體積最值問題，通過引進(jìn)變量或選擇參數(shù)，建立目標(biāo)函數(shù)，分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用不等式性質(zhì)和三角函數(shù)的有界性來解之，明顯來的巧妙、方便．

六、特殊化處理

例12如圖12,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,動(dòng)點(diǎn)E、F在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P、Q在棱AD，CD上若EF=1,DP=a，求四面體PEFQ的體積．

點(diǎn)評(píng)立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題，貌似讓人捉摸不定，不知從何處入手，其實(shí)問題的關(guān)鍵是如何分析題設(shè)條件，如何在原圖基礎(chǔ)上化“動(dòng)”為“靜”，化“立體”為“平面”，增添必要的平面輔助圖，并合理運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，如例11中把M定在A1處，例12中把E定在A1處，問題便迎刃而解．