用幾何拼裝法推導(dǎo)拉普拉斯算符在幾種坐標(biāo)系中的表達(dá)式

李品鈞

(湛江幼兒師范?？茖W(xué)校信息科學(xué)系，廣東 湛江 524037)

拉普拉斯算符是物理學(xué)中較為常見的一種算符，在本、?？莆锢韺W(xué)教材中即已常見[1-5]。其在直角坐標(biāo)系中的定義式為

(1)

在特定的問題中，為了數(shù)學(xué)處理上的方便，常需將其變換到不同的參考系。文獻(xiàn)[6]、[7]利用正交曲面坐標(biāo)系的特性進(jìn)行了簡潔優(yōu)美的計算，其法要求學(xué)習(xí)者對數(shù)理方法有較深厚的基礎(chǔ)功底和較良好的空間想象力。文獻(xiàn)[8]用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法直接在上述兩個坐標(biāo)系中變換，工作量較為繁復(fù)?；谏鲜龇N種原因，許多初學(xué)者在其他坐標(biāo)系中使用該算符時，都是采用查手冊的方式直接使用。然而，從下面介紹的變換方法中可以看出，在將拉普拉斯算符從直角坐標(biāo)系變換到其他坐標(biāo)系的推導(dǎo)過程中，可以獲得較多的數(shù)學(xué)圖像體驗。其次，若選擇適當(dāng)?shù)募记?，較大幅度地減少計算量也是可能的。本文從不同坐標(biāo)系之間的幾何關(guān)系入手，推導(dǎo)拉普拉斯算符在極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)中的表達(dá)式，以期讓初學(xué)者獲得較為簡潔形象的圖像體驗。

圖1 x、y、ρ、φ關(guān)系圖

1 拉普拉斯算符在極坐標(biāo)中的表達(dá)式

(2)

(3)

同時

(4)

于是有

(5)

將式(3)、式(5)代入式(2)便得

(6)

即

(6*)

(7)

(8)

將式(3)、(5)、(6)諸式代入式(8)并整理得

(9)

即

(9*)

同法可得

最后，將式(9*)、式(11)相加，即得

(12)

上式右邊即為拉普拉斯算符在極坐標(biāo)中的表達(dá)式。

2 拉普拉斯算符在柱坐標(biāo)中的表達(dá)式

(13)

上式右邊即為拉普拉斯算符在柱坐標(biāo)系中的表達(dá)式。

3 拉普拉斯算符在球坐標(biāo)系中的表達(dá)式

圖2反映了直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系幾種坐標(biāo)系之間自變量之間的幾何關(guān)系。圖中ρ是r在xOy平面上的投影。即

ρ=rsinθ

(14)

圖2 x、y、z、ρ、φ、r、θ關(guān)系圖

由前面的討論可知，當(dāng)自變量從x、y變換為ρ、φ時，式(10)、式(12)成立。注意到，在zOρ平面上，自變量z、ρ與r、θ之間的對應(yīng)關(guān)系與xOy平面上自變量x、y與ρ、φ之間的對應(yīng)關(guān)系相同。也就是說，球坐標(biāo)系(r，θ，φ)可看成是兩個極坐標(biāo)(ρ，φ)和(r，θ)拼裝而成。這樣，將式(10)、式(12)中的x、y、ρ、φ換為z、ρ、r、θ，等式仍然成立，即

將式(16)代入式(13)左邊并整理，可得

(17)

將(14)、(15)兩式代入式(17)右邊，得到拉普拉斯算符在球坐標(biāo)中的表達(dá)式：

(18)

稍加整理即可得到其常用形式

(19)

4 結(jié)語

利用坐標(biāo)系之間的幾何關(guān)系，可以直觀地求解兩坐標(biāo)系變量之間的微分關(guān)系，柱坐標(biāo)可以拆分成極坐標(biāo)和z軸，球坐標(biāo)可以拆分成為兩個極坐標(biāo)。這樣，復(fù)雜的計算就可化為簡單的拆分和組合，極大地減少了計算量。