傳輸矩陣法在大學(xué)物理波動光學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

王 輝 朱 浩 樊代和 吳 平 何 鈺 馬小娟

(西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 611756)

1 提出問題

在現(xiàn)代光學(xué)技術(shù)中，從基本的光學(xué)元件增反膜和增透膜[1]，到超快光路中用來補償飛秒激光色散的啁啾鏡，以及半導(dǎo)體微腔領(lǐng)域中廣泛使用的分布式布拉格反射器(DBR)[2]，這些光學(xué)元件基本的特征是具有均勻各向同性的多層介質(zhì)結(jié)構(gòu)，其基本原理是線性光學(xué)范圍內(nèi)的電磁波的疊加干涉原理[3]。

對于多層介質(zhì)光學(xué)系統(tǒng)，由于電磁波在介質(zhì)分界面上的多次反射和折射，形成了復(fù)雜的多光束疊加干涉。多光束的疊加干涉是大學(xué)物理波動光學(xué)中的重點教學(xué)內(nèi)容。在大學(xué)物理的教學(xué)過程中，對于多光束的疊加干涉一般以闡述光程差為主，相應(yīng)的明暗條紋分布公式也相對抽象，不利于直觀地反映光學(xué)系統(tǒng)的光學(xué)特性[4]。如何更直觀地反映電磁波在多層介質(zhì)上的傳播性質(zhì)，對于深入理解物理基本概念、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和“學(xué)以致用”的能力具有重要意義。

傳輸矩陣法在薄膜光學(xué)中廣泛用于處理多層介質(zhì)的光學(xué)特性，在光學(xué)器件的設(shè)計和應(yīng)用中起到了重要的作用[5-7]。傳輸矩陣法采用矩陣形式處理復(fù)雜的多光束疊加干涉的過程，最終從反射系數(shù)和透射系數(shù)的角度來衡量光學(xué)系統(tǒng)對電磁波幅度和相位的調(diào)制，從而能更直觀地反映光學(xué)系統(tǒng)的工作原理和光學(xué)特性，同時更清晰地闡述電磁波相干疊加的物理意義及其應(yīng)用。

我們通過向?qū)W生布置小課題的形式，讓學(xué)生應(yīng)用Matlab軟件解決、研究具體物理問題。Matlab是美國MathWorks公司開發(fā)的一套高性能的數(shù)值計算和可視化軟件，由于其具有豐富的計算功能和科學(xué)計算數(shù)據(jù)的可視化能力，在大學(xué)物理教學(xué)和培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)方面具有重要的應(yīng)用價值[8-11]。我們以“增反膜”為研究起點，同時鼓勵本科生進階到較復(fù)雜的“分布式布拉格反射器(DBR)”光學(xué)系統(tǒng)的研究。通過建立物理模型，基于傳輸矩陣思想以及Matlab編程讓本科生對大學(xué)物理波動光學(xué)中電磁波的相干疊加進行了深入研究。實現(xiàn)了多層介質(zhì)系統(tǒng)中傳輸矩陣的數(shù)學(xué)算法，直觀形象地展示了電磁波在多層介質(zhì)分界面上的傳播性質(zhì)和光學(xué)器件的光學(xué)特性。

2 多層均勻平板介質(zhì)系統(tǒng)的傳輸矩陣原理

多層均勻平板介質(zhì)系統(tǒng)的傳輸矩陣的基本思想是將電磁波的電場分量和磁場分量所遵循的麥克斯韋方程組在邊界上分解為線性方程組，電場分量和磁場分量的振幅和相位的改變通過其系數(shù)，即矩陣元來改變，因此出射電磁波的場分量和入射電磁波的場分量通過傳輸矩陣相聯(lián)系。假設(shè)系統(tǒng)含有n層介質(zhì)，如圖1所示。

圖1 傳輸矩陣示意圖

最終從第一層介質(zhì)反射的波Er與入射波復(fù)振幅的比值為系統(tǒng)的總反射系數(shù)r，從第n層透射的波Et與入射波復(fù)振幅的比值為系統(tǒng)的總透射系數(shù)t：

Er=r·Ein，Et=t·Ein

(1)

(2)

其中rn-1,n，tn-1,n為第(n-1)和第n層分界面上的反射系數(shù)和透射系數(shù)，它們可由菲涅耳公式給出[12，13]。對于理想的無損耗介質(zhì)，介質(zhì)內(nèi)的傳播矩陣只改變在其中的傳播波的相位，因此與傳播相位因子相聯(lián)系：

(3)

其中β為傳播相位因子，由第(n-1)層的介質(zhì)厚度dn-1、折射率nn-1以及角度θn-1給出：

(4)

界面矩陣和傳播矩陣共同作用在入射波上來調(diào)制入射波的振幅和相位，因此對應(yīng)系統(tǒng)的總的傳輸矩陣為

(5)

有了傳輸矩陣S，總的反射系數(shù)r和透射系數(shù)t，可由傳輸矩陣的矩陣元給出：

(6)

上述公式默認(rèn)存在2個以上的介質(zhì)分界面，即n≥3。對于n=2的情況，即單一分界面，不存在傳播矩陣，傳輸矩陣S退化為單一的界面矩陣H1,2，這時系統(tǒng)的總的反射系數(shù)和透射系數(shù)就是菲涅耳公式給出的單一界面的求解公式[12-13]。

3 實例分析

3.1 研究案例1：增反膜

在大學(xué)物理教學(xué)中，對于“增反膜”內(nèi)容的教學(xué)一般是圍繞干涉相長和相消的條件展開，學(xué)生接受起來比較抽象，不利于直觀地反映光學(xué)系統(tǒng)的光學(xué)特性。在我們給學(xué)生布置的“增反膜”小課題中，基于傳輸矩陣思想，通過Matlab編程，從反射率、透射率的角度，直觀展示了增反膜的反射率、透射率隨入射波長及介質(zhì)膜厚度的變化規(guī)律，同時直觀展示了能量守恒定律。

我們以設(shè)計的 “空氣+介質(zhì)膜(TiO2)+玻璃(SiO2)+空氣”增反膜結(jié)構(gòu)為例展開研究，其中增反膜結(jié)構(gòu)中空氣折射率n1=1、介質(zhì)膜(TiO2)折射率n2=2.45、玻璃(SiO2)折射率n3=1.5。

3.1.1 反射率、透射率隨入射波長的變化規(guī)律

川端康成將女性當(dāng)作是圣潔的化身與純潔愛情的象征，對少女美的執(zhí)著與追求，使其成為審美的主體，并且毫不掩飾地對這種美進行贊譽與褒獎。作者還會將女性的美當(dāng)作是現(xiàn)實社會中的精神救贖者，因此展現(xiàn)出女性的生命意義與價值，《睡美人》將女性生命的意義表現(xiàn)得淋漓盡致，并詮釋了女性的價值，男性崇拜與敬畏此種女性特有的救贖意義，這也讓其作品具有了更為深刻的理性探索價值。

選取可見光波段λ(390～730nm)，入射角為30°，介質(zhì)膜厚度為150nm，玻璃厚度為5mm。反射率、透射率隨入射波長的變化如圖2、圖3所示。

圖2 反射率隨入射波長的變化

圖3 透射率隨入射波長的變化

從圖2、圖3可以看出，在入射角度和介質(zhì)膜厚度確定的條件下，增反膜的反射率隨入射波長大體上呈先增后減的趨勢，在波長460nm附近達到最大值0.58；透射率隨入射波長大體上呈先減后增的趨勢，在波長460nm附近達到最小值0.42。圖3中透射率的變化和圖2中反射率的變化趨勢相反，但透射率和反射率的和始終等于1。

3.1.2 反射率、透射率隨介質(zhì)膜厚度的變化規(guī)律

設(shè)定入射波長為600nm，入射角為30°，介質(zhì)膜厚度為100～190nm，反射率、透射率隨介質(zhì)膜厚度的變化規(guī)律如圖4、圖5所示。

圖4 反射率隨介質(zhì)膜厚度的變化

圖5 透射率隨介質(zhì)膜厚度的變化

如圖4所示，反射率隨介質(zhì)膜厚度的變化大體上呈現(xiàn)先減后增再減的趨勢。在介質(zhì)膜厚度為115nm時反射率最小；在115～180nm之間，反射率隨介質(zhì)膜厚度的增大而增大，并在介質(zhì)膜厚度為180nm時達到最大值，最大值為0.5左右。在180～190nm之間，反射率又隨著介質(zhì)膜厚度的增大而減小。如圖5所示，透射率的變化規(guī)律和反射率的變化規(guī)律相反，但反射率和透射率之和仍然為1。

3.2 研究案例2：分布式布拉格反射器

在“增反膜”研究的基礎(chǔ)上，我們鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生進一步進行拓展、深入研究。例如，我們構(gòu)建了由砷化鎵GaAs和鋁化砷AlAs組成的分布式布拉格反射器(DBR)。為了更好地模擬實際情況，我們考慮了組成DBR的GaAs和AlAs的實驗測定的折射率。設(shè)定入射波長范圍為800～1100nm, 在此范圍內(nèi)GaAs和AlAs的折射率隨波長緩慢變化。我們選取其折射率的平均值來設(shè)計DBR中GaAs和AlAs的厚度，設(shè)定為相應(yīng)光學(xué)波長的1/4：

d1=λ0/4n1，d2=λ0/4n2

(7)

其中，n1=3.54和n2=2.97分別為GaAs和AlAs的平均折射率；d1和d2為每層GaAs和AlAs的厚度；λ0為真空中的波長。在Matlab編程中，菲涅爾公式采用p偏振光入射的情況。

以λ0=950nm為例，設(shè)置腔體長度為429nm，前后兩端的DBR的周期數(shù)為M=N=15，微腔的反射率隨波長的變化規(guī)律如圖6所示：

圖6 微腔的反射率隨波長的變化曲線

從圖6可以看出，微腔在900nm到1020nm的范圍內(nèi)出現(xiàn)了接近于1的反射率，重要的是電磁波的干涉疊加造成了微腔在970nm處出現(xiàn)了帶寬很窄的共振峰，實現(xiàn)了很好的選頻特性。

4 結(jié)論

我們基于傳輸矩陣法的基本原理，通過Matlab編程實現(xiàn)了多層均勻介質(zhì)系統(tǒng)(增反膜和分布式布拉格反射器)中傳輸矩陣的數(shù)學(xué)算法，從反射率、透射率的角度直觀展示了電磁波在復(fù)雜多層介質(zhì)中的傳播，為本科生進行大學(xué)物理波動光學(xué)部分的深入、探究式學(xué)習(xí)提供了范例。通過上述研究案例可以看到，在大學(xué)物理的教學(xué)過程中，如果將數(shù)值仿真和理論知識有機融合，并對研究內(nèi)容進行適當(dāng)拓展，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的“參與者”而非“旁觀者”，可以有效提高學(xué)生解決問題的能力和“學(xué)以致用”的能力，為本科生進行后續(xù)專業(yè)的學(xué)習(xí)和研究“留接口、開窗口”，這也是提升“大學(xué)物理課程”在新時代人才培養(yǎng)中的地位和作用的有益探索。