平面六桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)仿真研究

張聚濤，王 庚

(唐山學(xué)院 教務(wù)處，河北 唐山 063000)

連桿機(jī)構(gòu)在實(shí)際生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用，其傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法繁瑣復(fù)雜，通過(guò)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)可以實(shí)現(xiàn)連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)和連桿曲線(xiàn)動(dòng)畫(huà)演示[1]，對(duì)提高設(shè)計(jì)速度和質(zhì)量有重要意義。

1 平面六桿機(jī)構(gòu)模型的創(chuàng)建

圖1為平面六桿機(jī)構(gòu)，此六桿機(jī)構(gòu)是在五桿機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上，加入桿2，再在桿1與桿2之間加入一對(duì)齒輪，其他各桿采用鉸接傳動(dòng)。要想對(duì)圖示的六桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，首先要分析其桿1，桿2和桿5在運(yùn)動(dòng)時(shí)曲柄的存在條件。

圖1 平面六桿機(jī)構(gòu)示意圖

2 平面六桿機(jī)構(gòu)中曲柄的存在條件

2.1 曲柄存在的充分條件

六桿機(jī)構(gòu)首先要滿(mǎn)足其裝配條件[2]。當(dāng)圖1的六桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)到極端位置時(shí)，桿3和桿4組成的三角形CDE只要滿(mǎn)足三角形構(gòu)成的邊長(zhǎng)定理，六桿機(jī)構(gòu)即可滿(mǎn)足裝配條件。

l3+l4≥lmax，

|l3-l4|≤lmin。

其中，l3，l4分別為桿3和桿4的長(zhǎng)；lmax，lmin分別為CE兩點(diǎn)間的最大距離和最小距離。

只要圖1六桿機(jī)構(gòu)在不同極端位置時(shí)CE兩點(diǎn)之間的最大距離lmax和最小距離lmin滿(mǎn)足裝配條件，即可確保桿1，桿2和桿5都為曲柄。

設(shè)圖1六桿機(jī)構(gòu)中桿1，桿2，桿5，桿6的長(zhǎng)分別為l1，l2，l5，l6，桿5的旋轉(zhuǎn)半徑為R=l5，桿1和桿2的最大旋轉(zhuǎn)半徑為R1=l1+l2，桿1和桿2的最小旋轉(zhuǎn)半徑為R2=|l1-l2|。下面分情況討論六桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)到極端位置時(shí)，lmax和lmin的大小。

2.1.1 當(dāng)l1+l2≤|l5-l6|時(shí)

情形1

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l6-l1-l2-l5。

情形2

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l5-l1-l2-l6。

2.1.2 當(dāng)|l5-l6|≤l1+l2≤l5+l6時(shí)

情形3

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=0。

情形4

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=0。

2.1.3 當(dāng)l1+l2≥l5+l6且|l1-l2|≤|l5-l6|時(shí)

(1)max(l1，l2)

情形5

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l1+l2-l5-l6。

情形6

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l1+l2-l5-l6。

(2)max(l1，l2)>max(l5，l6)

情形7

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l6+|l1-l2|-l5。

情形8

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l5+|l1-l2|-l6。

2.1.4 |l1-l2|≥|l5+l6|且l1+l2≥l5+l6時(shí)

情形9

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=0。

情形10

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=0。

2.1.5 |l1-l2|≥(l5+l6)時(shí)

情形11

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=|l1-l2|-(l5+l6)。

情形12

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=|l1-l2|-(l5+l6)。

將上述12種情形的極值代入到裝配條件公式，綜合分析可得桿3和桿4的取值范圍。桿3和桿4滿(mǎn)足這個(gè)取值范圍，可保證桿1，桿2與桿5為曲柄，即六桿機(jī)構(gòu)曲柄存在充分條件為：

(1)l1+l2≤|l5-l6|時(shí)，l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l5-l6|-(l1+l2)≥|l3-l4|。

(2)|l5-l6|≤l1+l2≤l5+l6時(shí)，l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l3-l4|≤0。

(3)l1+l2≥l5+l6且|l1-l2|≤|l5-l6|時(shí)，(a)max(l1，l2)max(l5，l6)，則l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l5-l6|-|l1-l2|≥|l3-l4|。

(4)|l1-l2|≥|l5-l6|且l1+l2≥l5+l6時(shí)，l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l3-l4|≤0。

(5)|l1-l2|≥|l5-l6|時(shí)，l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l1-l2|-(l5+l6)≥|l3-l4|。

2.2 曲柄存在的必要條件

平面六桿機(jī)構(gòu)夾角情況如圖2所示。

圖2 平面六桿機(jī)構(gòu)夾角示意圖

C，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：

Cx=l1cosα1+l2cosα2，Cy=l1sinα1+l2sinα2；Ex=l6+l5cosα5，Ey=l5sinα5。

則桿1與桿5兩原動(dòng)件按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，CE之間的距離l滿(mǎn)足：

l2=(Cx-Ex)2+(Cy-Ey)2=l12+l22+l52+l62+2l1l2cos(α1-α2)-2l1l5cos(α1-α5)-2l2l5cos(α2-α5)+2l6l5cosα5-2l6l1cosα1-2l6l2cosα2。

3 平面六桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)演示

依據(jù)連桿機(jī)構(gòu)組成原理，可把圖1六桿機(jī)構(gòu)拆解為一級(jí)桿組和二級(jí)桿組(如圖3所示)，通過(guò)確定一級(jí)桿組和二級(jí)桿組端點(diǎn)位置坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系，來(lái)確定六桿機(jī)構(gòu)各端點(diǎn)的位置[3]，然后編制一級(jí)桿組和二級(jí)桿組的程序進(jìn)行解析計(jì)算，求得D點(diǎn)坐標(biāo)軌跡。

圖3 平面六桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分析

3.1 一級(jí)桿組子程序Crank_w的解析計(jì)算

一級(jí)桿組示意圖如圖4所示。

圖4 一級(jí)桿組示意圖

設(shè)桿長(zhǎng)pq為l，求得桿長(zhǎng)在X，Y軸上的投影方程為：

c(i)=lcosθ，s(i)=lsinθ。

P點(diǎn)坐標(biāo)為：

x(q)=x(p)+c(i)，y(q)=y(p)+s(i)。

3.2 二級(jí)桿組子程序Crank_w的解析計(jì)算

二級(jí)桿組示意圖如圖5所示。設(shè)桿CD的長(zhǎng)度為li，桿DE的長(zhǎng)度為lj，C點(diǎn)的位置為(xc，yc)，E點(diǎn)的位置為(xe，ye)，求D點(diǎn)的位置(xd，yd)。

圖5 二級(jí)桿組示意圖

內(nèi)運(yùn)動(dòng)副D的矢量方程在X，Y軸上的投影方程為：

xd=xc+licosφi=xe+ljcosφj，

yd=yc+lisinφi=ye+ljsinφj。

或?qū)懗桑?/p>

ljcosφj=licosφi-(xe-xc)，

ljsinφj=lisinφi-(ye-yc)。

將上兩式兩邊分別平方后相加整理得：

Aocosφi+Bosinφj-Co=0。

連桿機(jī)構(gòu)能夠裝配，必須同時(shí)滿(mǎn)足曲柄存在條件公式。

又因?yàn)椋?/p>

則原式化為：

實(shí)際中桿1和桿5旋轉(zhuǎn)時(shí)有逆時(shí)針和順時(shí)針兩種運(yùn)動(dòng)情況，因此φi有正負(fù)兩種取值，上式得：

(Ao+Co)。

當(dāng)C，D，E為順時(shí)針排列時(shí)，取m=+1；當(dāng)C，D，E為逆時(shí)針排列時(shí)，取m=-1。

為了求出構(gòu)件lj的角位置，可先求出D點(diǎn)的坐標(biāo)值。

xd=xe+licosφi，

yd=ye+lisinφi。

于是便得到：

φj=arctan[(yd-ye)/(xd-xe)]。

3.3 仿真演示

通過(guò)給定各桿的長(zhǎng)度l1，l2，l3，l4，l5，l6，初相位角φi，φj和角速度ω，以及編制的一級(jí)桿組和二級(jí)桿組子程序Crank_w可得各端點(diǎn)的位置，調(diào)用子程序DRAWLINE可以畫(huà)出各桿的位置和D點(diǎn)的一個(gè)軌跡點(diǎn)，然后用Delphi編程的TIMER控件產(chǎn)生等時(shí)長(zhǎng)的脈沖，不斷地重繪直線(xiàn)和點(diǎn)，從而產(chǎn)生動(dòng)畫(huà)效果，并得到D點(diǎn)的軌跡，如圖6所示。

3.4 D點(diǎn)軌跡曲線(xiàn)的形成

圖6中D點(diǎn)的軌跡曲線(xiàn)是離散點(diǎn)的集合，需要將這些點(diǎn)擬合成一條連續(xù)的曲線(xiàn)作為D點(diǎn)的軌跡曲線(xiàn)。對(duì)于軌跡點(diǎn)的擬合有最小二乘法、貝奇愛(ài)曲線(xiàn)、B樣條曲線(xiàn)等，通過(guò)比較選取B樣條曲線(xiàn)擬合法。

圖6 平面六桿機(jī)構(gòu)仿真演示

由已知D點(diǎn)的型值點(diǎn)(D點(diǎn)的軌跡點(diǎn))，通過(guò)型值點(diǎn)反算可得到B樣條曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)坐標(biāo)，編寫(xiě)相應(yīng)程序，就能對(duì)D點(diǎn)的軌跡點(diǎn)進(jìn)行擬合，擬合后的曲線(xiàn)如圖7所示。

圖7 平面六桿機(jī)構(gòu)D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)擬合軌跡

4 結(jié)論

本文通過(guò)分析平面六桿機(jī)構(gòu)曲柄的存在條件，運(yùn)用Delphi編程實(shí)現(xiàn)了六桿機(jī)構(gòu)和連桿曲線(xiàn)的可視化顯示，通過(guò)改變桿長(zhǎng)、傳動(dòng)比、相位角等參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)不同連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)仿真，對(duì)實(shí)際的連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和教學(xué)演示有一定的意義。